e의 거듭제곱 함수의 도함수

e의 도함수의 예

비례 상수

우리가 관계나 현상이 "기하급수적"이라고 말할 때, 우리는 전류, 이윤, 인구와 같은 일부 양은 양이 증가함에 따라 더 빠르게 증가한다는 것을 의미합니다. 즉, 주어진 변수에 대한 변화율은 그 변수의 값에 비례합니다. 이는 지수 함수의 도함수가 원래 지수 함수에 상수(k ) 비례를 설정합니다.

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}a^x=ka^x$$

비례 상수는 지수 밑의 자연 로그와 같습니다.

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}a^x=\ln(a)\times a^x$$

따라서 밑의 자연 로그가 1과 같으면 함수의 도함수는 원래 함수와 같습니다. 이것은 정확히 e의 거듭제곱 함수에서 발생하는 일입니다. e의 자연 로그는 1이고 결과적으로 $$e^x$$의 도함수는 $$e^x$$입니다.

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}e^x=e^x$$

"체인" 규칙

지수 표현식이 단순히 x가 아닌 경우 연쇄 규칙을 적용합니다. 먼저 전체 표현식의 도함수를 취한 다음 지수에 있는 표현식의 도함수를 곱합니다.

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}e^{x^2+2x}=e^{x^2+2x}\times\frac{\text{d}}{ \text{d}x}(x^2+2x)=(2x+2)e^{x^2+2x}$$

이 기술은 다이오드 전압에 대한 다이오드 전류의 변화율을 찾는 데 사용할 수 있습니다. 다음 방정식은 다이오드를 통과하는 전압($$V_D$$)과 다이오드를 통과하는 전류($$I_D$$) 사이의 대략적인 관계를 제공합니다.

$$I_D=I_S\times e^\frac{V_D}{0.026}$$

(다이오드 전류-전압 방정식에 대한 자세한 내용은 다이오드 및 정류기 페이지를 참조하십시오. 또한 $$I_S$$는 변수가 아닌 상수입니다.) 전압에 대한 전류 변화율을 찾으려면, 파생 상품을 사용합니다.

$$\frac{\text{d}I_D}{\text{d}V_D}=\frac{\text{d}}{\text{d}V_D}(I_S\times e^\frac{V_D}{ 0.026})=I_S\times e^\frac{V_D}{0.026}\times\frac{1}{0.026}$$

따라서 다이오드 전압 $$V_D$$의 주어진 값에서 전압의 점진적 증가는 $$\frac{I_S}{0.026}e^\frac{V_D}{0.026}$$와 같은 전류 증가를 생성합니다. .

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