자연상수 e를 밑으로 하는 지수함수 미분하기

e의 도함수 예시

비례 상수

어떤 관계가 '지수적'이라고 할 때, 그 양의 변화율이 그 양 자체에 비례한다는 뜻입니다. 따라서 지수함수의 도함수는 원래 함수에 이 비례를 나타내는 상수(k)를 곱한 값이 됩니다.

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}a^x = k a^x$$

비례 상수는 밑의 자연로그입니다:

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}a^x = \ln(a)\times a^x$$

밑이 자연수 e이면 ln(e) = 1이므로 e^x의 도함수는 e^x 자체가 됩니다:

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}e^x = e^x$$

연쇄 법칙 적용

지수가 더 복잡한 표현이면 연쇄 법칙을 적용합니다: 바깥 지수함수를 미분하고 안쪽 함수의 도함수를 곱합니다.

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}e^{x^2+2x} = e^{x^2+2x}\times\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^2+2x) = (2x+2)e^{x^2+2x}$$

이 기법은 다이오드 전류의 전압 민감도 평가에 유용합니다. 쇼클리 다이오드 방정식은 다이오드 양단 전압(V_D)과 전류(I_D)의 근사 관계를 줍니다:

$$I_D = I_S \times e^{\frac{V_D}{0.026}}$$

('다이오드와 정류기' 페이지 참조; I_S는 상수입니다.) 전류가 전압에 어떻게 변하는지 알려면 미분합니다:

$$\frac{\text{d}I_D}{\text{d}V_D} = \frac{\text{d}}{\text{d}V_D}\bigl(I_S \times e^{\frac{V_D}{0.026}}\bigr) = I_S \times e^{\frac{V_D}{0.026}} \times \frac{1}{0.026}$$

따라서 특정 V_D에서 전압이 미소하게 증가하면 전류는 (I_S/0.026) e^{V_D/0.026}만큼 증가합니다.

관련 워크시트:

• 전기 회로를 위한 미적분 워크시트