전산 회로

누군가가 "컴퓨터"라는 단어를 언급하면 ​​일반적으로 디지털 장치가 떠오릅니다. 디지털 회로는 바이너리의 수치적 양을 나타냅니다. 형식:포화 또는 차단 상태에서 작동하는 다수의 트랜지스터 회로로 표현되는 1과 0의 패턴. 그러나 아날로그 회로는 개별 켜짐/꺼짐 상태 대신 가변 전압 신호를 사용하여 수치적 양을 나타내고 수학적 계산을 수행하는 데 사용할 수도 있습니다.

다음은 숫자 "25"의 이진(디지털) 표현 대 아날로그 표현의 간단한 예입니다.

디지털 회로는 아날로그 원리에 기반한 회로와 매우 다릅니다. 디지털 계산 회로는 엄청나게 복잡할 수 있으며 인간이 연필과 종이를 사용하여 단계적으로 산술 계산을 수행하는 것처럼 최종 답을 얻기 위해 계산은 종종 순차적인 "단계"로 수행되어야 합니다. 반면에 아날로그 계산 회로는 비교적 단순하며 연속적인 실시간 방식으로 계산을 수행합니다. 그러나 아날로그 회로를 사용하여 숫자를 표현하는 데는 부정확하다는 단점이 있습니다. 위에 표시된 디지털 회로는 정확히 숫자 25를 나타냅니다. 위에 표시된 아날로그 회로는 25.000볼트로 정확하게 보정되거나 보정되지 않을 수 있지만 "드리프트" 및 오류가 발생할 수 있습니다.

정밀도가 중요하지 않은 애플리케이션에서 아날로그 계산 회로는 매우 실용적이고 우아합니다. 다음은 아날로그 계산을 수행하기 위한 몇 가지 연산 증폭기 회로입니다.

계산 연산 증폭기 회로

이러한 회로 각각은 다중 계산이 가능한 회로를 생성하기 위해 모듈 방식으로 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 다른 변수에서 한 변수의 특정 부분을 빼야 한다고 가정합니다. 상수로 나누기 회로와 감산기 회로를 결합하여 필요한 기능을 얻을 수 있습니다.

아날로그 컴퓨터라는 기기 일반적으로 기본 방정식이 알려진 일부 물리적 프로세스를 시뮬레이션할 목적으로 수십 개의 연산 증폭기 회로를 제거 가능한 점퍼 와이어와 함께 "패치"하여 수학적 설명을 모델링할 수 있는 대학 및 엔지니어링 상점에서 일반적이었습니다. 디지털 컴퓨터는 아날로그 컴퓨터를 거의 쓸모없게 만들었지만 아날로그 계산 회로는 필요한 구성 요소의 순전한 우아함과 경제성 측면에서 디지털을 능가할 수 없습니다.

아날로그 계산 회로는 미적분 연산 통합을 수행하는 데 탁월합니다. 및 차별화 시간과 관련하여 연산 증폭기 피드백 루프에서 커패시터를 사용합니다. 그러나 이러한 회로의 작동과 응용을 완전히 이해하려면 먼저 이러한 기본 미적분 개념의 의미를 파악해야 합니다. 다행히도 연산 증폭기 회로를 미적분과 관련된 실제 문제에 적용하면 기본 미적분을 가르치는 훌륭한 수단이 됩니다. John I. Smith의 저서인 Modern Operational Circuit Design에서 발췌했습니다. :

“특정 독자에게 격려의 말을 전합니다. 적분 미적분은 연산 [증폭기] 회로가 이용하는 수학 분야 중 하나이며, 그 과정에서 이해를 방해하는 장벽으로 사용됩니다.” (4페이지)

수학을 위한 학습 도구로서 아날로그 회로의 교육학적 가치에 대한 Smith 씨의 감정은 독특한 것이 아닙니다. Sound and Vibration 저널 2000년 8월호에 기고한 기사에서 엔지니어 George Fox Lang의 의견을 고려해 보십시오. , "아날로그는 아님 컴퓨터 상표입니다!”:

“특정 방정식 세트에 의해 제어되는 실제 물리적 개체(회로)를 만들고 그와 상호 작용하면 해당 수학적 진술에 대한 고유한 통찰력을 제공합니다. 물리학과 수학 간의 상호작용에 대한 "직감"을 개발하는 데 그러한 상호작용을 경험하는 것보다 더 좋은 방법은 없습니다. 아날로그 컴퓨터는 강력한 학제 간 교육 도구였습니다. 다양한 분야의 많은 교육자들이 그 진부화를 애도하고 있습니다." (23페이지)

미분은 미적분학을 시작하는 학생들이 일반적으로 배우는 첫 번째 작업입니다. 간단히 말해서, 차별화는 다른 변수와 관련하여 한 변수의 즉각적인 변화율을 결정하는 것입니다. 아날로그 미분기 회로에서 독립 변수는 시간이므로 우리가 다루고 있는 변화율은 시간에 대한 전자 신호(전압 또는 전류)의 변화율입니다.

출발점에서 직선 경로(회전 없음)로 주행하는 자동차의 위치를 ​​측정한다고 가정합니다. 이 측정값을 x라고 부르겠습니다. . 자동차가 "시작"으로부터의 거리가 시간이 지남에 따라 꾸준히 증가하는 속도로 움직이는 경우 해당 위치는 그래프에 선형으로 표시됩니다. 기능(직선):

도함수를 계산한다면 시간에 대한 자동차의 위치(즉, 시간에 대한 자동차의 위치 변화율 결정)를 계산하면 자동차의 속도를 나타내는 양에 도달하게 됩니다. 미분 함수는 분수 표기법 d/d으로 표시됩니다. , 따라서 위치를 구별할 때(x ) 시간(t ), 결과(도함수)를 dx/dt로 표시합니다. :

x 선형 그래프의 경우 시간이 지남에 따라 위치의 파생물(dx/dt ), 그렇지 않으면 일반적으로 속도라고 합니다. , 값이 변하지 않는 평평한 선이 됩니다. 수학 함수의 도함수는 기울기로 그래픽으로 이해할 수 있습니다. 그래프에 그릴 때 위치(x ) 그래프는 기울기가 일정하므로 도함수(dx/dt )는 시간이 지나도 일정해야 합니다.

이제 자동차가 이동한 거리가 시간이 지남에 따라 기하급수적으로 증가했다고 가정합니다. 즉, 느린 이동으로 이동을 시작했지만 시간이 지남에 따라 더 많은 추가 거리를 이동했습니다. 그러면 위치의 미분(dx/dt ), 속도(v라고도 함) ), 시간이 지남에 따라 일정하지 않지만 증가합니다.

속도 그래프의 점 높이는 위치 그래프의 해당 시간에 점의 변화율 또는 기울기에 해당합니다.

이것은 아날로그 전자 회로와 어떤 관련이 있습니까? 음, 아날로그 전압 신호가 자동차의 위치를 ​​나타내도록 하면(와이퍼가 자동차에 부착된 거대한 전위차계를 생각하여 자동차의 위치에 비례하는 전압을 생성함) 미분기 회로를 이 신호에 연결하고 다음을 수행할 수 있습니다. 회로는 지속적으로 계산 미분기 회로의 출력에 연결된 전압계를 통해 결과를 표시하는 자동차의 속도:

미분기 회로는 입력 전압의 시간 경과에 따른 변화율에 비례하는 전압을 출력한다는 마지막 장을 상기하십시오. (d/dt ). 따라서 입력 전압이 일정한 비율로 시간이 지남에 따라 변하는 경우 , 출력 전압은 일정한 값이 됩니다. 자동차가 시간이 지남에 따라 경과된 거리가 일정한 속도로 증가하는 방식으로 이동하면 자동차가 일정한 속도로 이동하고 있음을 의미하며 미분기 회로는 해당 속도에 비례하는 일정한 전압을 출력합니다. 자동차의 시간 경과에 따른 경과 거리가 비정상 방식으로 변경되면 미분기 회로의 출력도 마찬가지로 비정상이지만 항상 시간 경과에 따른 입력의 변화율을 나타내는 수준입니다.

전압계 등록 속도(미분기 회로의 출력에서)는 연산 증폭기의 출력에 "역" 극성으로 연결됩니다. 표시된 미분기 회로가 반전하기 때문입니다. :양의 입력 전압 변화율에 대해 음의 전압을 출력합니다. 전압계가 속도에 대해 양의 값을 등록하도록 하려면 그림과 같이 연산 증폭기에 연결해야 합니다. 거대한 전위차계를 자동차와 같은 움직이는 물체에 연결하는 것이 비현실적일 수 있지만, 개념은 명확해야 합니다. 위치를 나타내는 신호에 미적분 기능을 전자적으로 수행하여 속도를 나타내는 신호를 얻습니다.

미적분학을 시작하는 학생들은 미분을 위한 상징적 기법을 배웁니다. 그러나 이를 위해서는 원래 그래프를 설명하는 방정식을 알아야 합니다. 예를 들어, 미적분학 학생들은 y =3x와 같은 함수를 사용하는 방법을 배웁니다. x에 대한 도함수 찾기 (d/dx ), 3 , 단순히 방정식을 조작하여. 두 함수의 그래프를 비교하여 이 조작의 정확성을 확인할 수 있습니다.

y =3x ² 와 같은 비선형 함수 상징적 수단으로도 구별할 수 있다. 이 경우 y =3x ² 의 도함수 x에 대해 6배입니다. :

그러나 실생활에서 우리는 종종 y =3x와 같은 간단한 방정식으로 물리적 사건의 행동을 설명할 수 없습니다. , 따라서 미적분학 학생들이 배운 유형의 상징적 미분은 물리적 측정에 적용하는 것이 불가능할 수 있습니다. 누군가가 우리의 가상 자동차 위치(dx/dt =속도) 상징적인 수단을 통해 그들은 먼저 실제 실험에서 얻은 위치 측정을 기반으로 시간 경과에 따른 자동차의 위치를 ​​설명하는 방정식을 얻어야 합니다. 위치 그래프. 그러나 아날로그 미분기 회로는 전압, 전류 및 시간에 대한 커패시터의 동작을 이용하여 i =C(dv/dt) , 모든 실제 신호를 시간과 관련하여 자연스럽게 구별하고 순간 속도(dx/dt)에 해당하는 신호를 출력할 수 있습니다. ) 언제든지. 차트 레코더 또는 기타 데이터 수집 장치를 사용하여 미분기의 출력 신호와 함께 차량의 위치 신호를 기록함으로써 두 그래프 모두 검사 및 분석을 위해 자연스럽게 나타납니다.

다른 미분 회로를 사용하여 속도 신호에 미분 원리를 적용함으로써 미분 원리를 한 단계 더 발전시킬 수 있습니다. 즉, 위치 변화율이라고 알고 있는 속도 변화율을 계산하는 데 사용합니다. 이렇게 하면 어떤 실질적인 조치를 취하게 될까요? 이것을 우리가 위치와 속도를 측정하는 데 사용하는 단위로 생각하십시오. 출발점에서 자동차의 위치를 ​​마일 단위로 측정한다면 속도를 시간당 마일 단위로 나타낼 것입니다. (dx/dt ). 속도(시간당 마일로 측정)를 시간과 관련하여 미분하면 시간당 마일 단위가 됩니다. 시간당 . 물리학 입문 수업은 학생들에게 떨어지는 물체의 동작과 미터 단위의 위치 측정에 대해 가르칩니다. , 초당 미터의 속도 , 그리고 초당 미터 수 단위의 시간 경과에 따른 속도 변화 . 이 마지막 측정값을 가속화라고 합니다. :시간 경과에 따른 속도 변화율:

식 d ² x/dt ² 이차 도함수라고 합니다. 위치(x ) 시간(t ). 두 번째 미분기 회로를 첫 번째 출력에 연결하면 마지막 전압계는 가속을 등록합니다.

위치에서 속도를 유도하고 속도에서 가속도를 유도하면 미분 원리가 매우 명확하게 설명됩니다. 이러한 방식으로 서로 관련된 유일한 물리적 측정은 아니지만 아마도 가장 일반적일 것입니다. 미적분학의 또 다른 예는 액체 흐름(q ) 및 액체 부피(v ) 시간이 지남에 따라 선박에 축적됨:

물 저장 탱크에 장착된 "수위 전송기" 장치는 탱크의 수위에 정비례하는 신호를 제공합니다. 이 신호는 탱크 높이 전체에 걸쳐 일정한 단면적이 있는 경우 저장된 물의 양을 직접적으로 동일하게 합니다. 이 볼륨 신호를 시간에 따라 미분하면(dv/dt ), 물 유량에 비례하는 신호를 얻습니다. 물을 탱크로 운반하는 파이프를 통해. 이 볼륨 신호를 수신하는 방식으로 연결된 미분기 회로는 유량에 비례하는 출력 신호를 생성하여 파이프에 설치된 유량 측정 장치("유량 전송기")를 대체할 수 있습니다.

자동차 실험으로 돌아가서 우리의 가상 자동차에 바퀴 중 하나에 회전 속도 발생기가 장착되어 속도에 정비례하는 전압 신호를 생성한다고 가정합니다. 신호를 미분하여 다음과 같이 하나의 회로로 가속도를 얻을 수 있습니다.

본질적으로 타코제너레이터는 시간에 따라 자동차의 위치를 ​​구별하여 시간이 지남에 따라 휠의 각도 위치가 얼마나 빠르게 변하는지에 비례하는 전압을 생성합니다. 이것은 가속 신호를 얻는 데 필요한 단 한 단계의 미분으로 이미 속도를 나타내는 원시 신호를 제공합니다. 물론 속도를 측정하는 타코제너레이터는 물리적 위치를 측정하는 거대한 전위차계보다 자동차 계측의 훨씬 더 실용적인 예이지만 실용성에서 얻은 것은 위치 측정에서 잃는 것입니다. 아무리 미분해도 속도 신호에서 자동차의 위치를 ​​유추할 수 없습니다. 미분 과정이 위치에서 속도, 가속도로 우리를 가져온다면 어떻게든 속도에서 위치로 이동하기 위해 미분의 "역" 과정을 수행해야 합니다. 이러한 수학적 과정이 존재하며 이를 적분이라고 합니다. . "적분기" 회로를 사용하여 시간에 대한 이 적분 기능을 수행할 수 있습니다.

적분기 회로는 시간에 따른 변화율이 입력 전압의 크기에 비례하는 전압을 출력한다는 것을 마지막 장에서 상기하십시오. 따라서 일정한 입력 전압이 주어지면 출력 전압은 변경합니다. 일정한 비율 . 자동차가 일정한 속도로 주행하는 경우(타코제너레이터에서 적분기 회로에 입력되는 정전압) 주행 거리는 시간이 지남에 따라 꾸준히 증가하고 적분기는 해당 거리에 비례하여 꾸준히 변화하는 전압을 출력합니다. 자동차의 속도가 일정하지 않으면 시간 경과에 따른 변화율도 적분기 회로의 출력이 아니지만 출력 전압은 특정 시점에서 자동차가 이동한 거리를 충실히 나타냅니다.