부울 대수학 소개

수학적 규칙은 처리되는 특정 숫자 수량에 대한 정의 제한을 기반으로 합니다.

1 + 1 =2 또는 3 + 4 =7이라고 말할 때 우리는 정수량의 사용을 의미합니다. 우리 모두가 초등 교육에서 세는 법을 배운 것과 같은 유형의 숫자입니다.

대부분의 사람들이 자명한 산술 규칙(항상 모든 목적에 유효함)이라고 가정하는 것이 실제로는 우리가 숫자를 정의하는 것에 달려 있습니다.

예를 들어, AC 회로에서 수량을 계산할 때 DC 회로 분석에서 우리에게 매우 유용한 "실수" ​​수량은 AC 수량을 나타내는 작업에 부적절하다는 것을 발견했습니다.

우리는 전압이 직렬로 연결될 때 추가된다는 것을 알고 있지만 3볼트 AC 소스를 4볼트 AC 소스와 직렬로 연결하고 결국 5볼트 총 전압(3 + 4 =5)이 되는 것이 가능하다는 것도 압니다. .

이것은 불가침의 자명한 산술 규칙이 위반되었음을 의미합니까?

아니요, 모든 변수에 크기와 위상이 모두 있는 AC 회로에서 발생하는 양의 종류에는 "실수" ​​규칙이 적용되지 않는다는 의미일 뿐입니다.

결과적으로 AC 회로(복잡한 실제가 아닌 숫자 숫자), 이 다른 숫자 체계와 함께 서로 어떻게 관련되어 있는지 알려주는 다른 규칙 세트가 있습니다.

“3 + 4 =5”와 같은 표현 실수의 범위와 정의 내에서는 말도 안되지만 복소수의 범위와 정의에는 아주 잘 맞습니다(3과 4의 반대편과 인접한 변이 있고 빗변이 5인 직각 삼각형을 생각해 보세요).

복소수는 2차원이기 때문에 삼각법으로 1차원 실수처럼 서로 "덧셈"할 수 있습니다. 숫자는 불가능합니다.

수학 법칙 및 "퍼지 논리"

논리는 이 점에서 수학과 매우 유사합니다. 논리의 소위 "법칙"은 명제가 무엇인지 정의하는 방법에 따라 다릅니다.

그리스 철학자 아리스토텔레스는 참과 거짓이라는 두 가지 유형의 명제만을 기반으로 논리 체계를 수립했습니다.

진리에 대한 그의 이가(2가지 방식) 정의는 논리의 네 가지 기본 법칙인 정체성의 법칙으로 이어졌습니다. (A는 A이다); 비모순의 법칙 (A는 A가 아님); 배제된 중간의 법칙 (A 또는 비 A); 및 합리적 추론의 법칙 .

이러한 소위 법칙은 명제가 가능한 두 값 중 하나로 제한되는 논리 범위 내에서 기능하지만 명제가 "참" 또는 "거짓" 이외의 값을 보유할 수 있는 경우에는 적용되지 않을 수 있습니다.

실제로 "다중값" 또는 퍼지에 대해 많은 작업이 수행되었으며 계속 수행되고 있습니다. 논리, 명제가 제한된 정도로 참 또는 거짓일 수 있음 .

이러한 논리 시스템에서 배제된 중간의 법칙과 같은 "법칙"은 단순히 적용되지 않습니다. 왜냐하면 그것들은 이중성을 전제로 하기 때문입니다.

마찬가지로 아리스토텔레스 논리에서 비모순의 법칙을 위반하는 많은 전제는 "퍼지" 논리에서 타당성을 갖습니다. 다시 말하지만, 명제 값의 정의 한계는 기능과 관계를 설명하는 법칙을 결정합니다.

부울 대수의 탄생

영국의 수학자 조지 불(George Boole, 1815-1864)은 아리스토텔레스의 논리 체계에 상징적 형태를 부여하고자 했습니다.

Boole은 1854년에 논리와 확률에 대한 수학적 이론의 기초가 되는 사고의 법칙에 대한 조사라는 제목의 논문을 작성했습니다. , 두 가지 가능한 값(참 또는 거짓, 1 또는 0) 중 하나로 제한된 수학적 양 간의 관계에 대한 여러 규칙을 체계화했습니다.

그의 수학 시스템은 부울 대수학으로 알려지게 되었습니다.

부울 수량으로 수행된 모든 산술 연산에는 1 또는 0의 두 가지 가능한 결과 중 하나만 있습니다. .

'2 " 또는 "-1 " 또는 "1/2 " 부울 세계에서. 법정화폐로 다른 모든 가능성이 무효화되는 세상입니다.

짐작할 수 있듯이 이것은 수표 책의 균형을 맞추거나 저항을 통해 전류를 계산할 때 사용하려는 종류의 수학이 아닙니다.

그러나 MIT로 유명한 Claude Shannon은 부울 대수가 온앤오프 회로에 어떻게 적용될 수 있는지를 인식했습니다. , 여기서 모든 신호는 "높음 ” (1) 또는 “낮음 ” (0).

릴레이 및 스위칭 회로의 상징적 분석이라는 제목의 1938년 논문 , Boole의 이론적 작업을 Boole이 상상할 수 없는 방식으로 사용하여 디지털 회로를 설계하고 분석하기 위한 강력한 수학적 도구를 제공합니다.

부울 대수 대 "일반 대수"

이 장에서는 부울 대수와 소위 실수를 포함하는 대수 유형인 "정상" 대수 사이에 많은 유사점을 찾을 수 있습니다.

부울 대수를 정의하는 숫자 체계는 범위 측면에서 심각하게 제한되어 있으며 부울 변수에 대해 1 또는 0의 두 가지 가능한 값 중 하나만 있을 수 있다는 점을 명심하십시오.

결과적으로 부울 대수의 "법칙"은 실수 대수의 "법칙"과 종종 다르므로 일반적으로 터무니 없는 것으로 간주되는 1 + 1 =1과 같은 진술이 가능합니다.

부울 대수의 모든 양의 전제는 1과 0의 두 가지 가능성으로 제한된다는 전제와 양적 정의에 따른 법칙의 일반 철학적 원리를 이해하면 부울 대수의 "넌센스"가 사라집니다.

부울 대수 대 "일반 대수"

이 장에서는 부울 대수와 소위 실수를 포함하는 대수 유형인 "정상" 대수 사이에 많은 유사점을 찾을 수 있습니다.

부울 대수를 정의하는 숫자 체계는 범위 측면에서 심각하게 제한되어 있으며 모든 부울 변수에 대해 1 또는 0의 두 가지 가능한 값 중 하나만 있을 수 있다는 점을 명심하십시오.

결과적으로 부울 대수의 "법칙"은 실수 대수의 "법칙"과 종종 다르므로 일반적으로 터무니 없는 것으로 간주되는 1 + 1 =1과 같은 진술이 가능합니다.

부울 대수의 모든 양의 전제는 1과 0의 두 가지 가능성으로 제한된다는 전제와 양적 정의에 따른 법칙의 일반 철학적 원리를 이해하면 부울 대수의 "넌센스"가 사라집니다.

부울 숫자 대 이진 숫자

부울 숫자는 이진 과 같지 않다는 점을 분명히 이해해야 합니다. 숫자.

부울 숫자는 실수와 완전히 다른 수학 시스템을 나타내는 반면 이진법은 실수에 대한 대체 표기법에 불과합니다.

부울 수학과 이진 표기법 모두 1과 0이라는 동일한 두 암호를 사용하기 때문에 둘을 혼동하는 경우가 많습니다.

차이점은 부울 값은 단일 비트(1 또는 0)로 제한되는 반면 이진수는 여러 비트로 구성될 수 있으며 모든 유한 크기의 값에 자릿수 가중치 형식으로 합산될 수 있다는 것입니다.

이진수 10011₂ ("19")는 부울 세계에서 십진수 2₁₀보다 더 이상 자리를 차지하지 않습니다. ("2") 또는 8진수 32₈ (“스물여섯”).

관련 워크시트:

<울>

부울 대수학 워크시트

전기 회로에 대한 기본 대수 및 그래프 워크시트

이진 수학 워크시트