불 산술: 디지털 논리에서 덧셈, 곱셈, 보수

불 대수 탐구를 숫자 더하기로 시작:

 

 

첫 세 합은 초등 덧셈 아는 누구에게나 완벽히 이해됨. 마지막 합이 디지털 전자공학에서 혼란源 often 되는 이유는 일반 산술 규칙과 모순되어 보이기 때문.

실수 덧셈 규칙엔 모순되지만 불 값엔 모순 아님. 불 대수에서 모든 양은 0 또는 1만 가능; "2" 개념 없음. 따라서 1 + 1 평가 시 결과 0 될 수 없으므로 1이어야 함.

두 항 더하든 여러 항 더하든 패턴 동일:

 

 

OR 게이트

첫 번째 방정식 세트의 두 항 합이 OR 게이트 진리표와 일치함 주목. 불 덧셈은 따라서 논리 OR 연산 대응, 병렬 스위치 접점으로도 표현:

 

 

불 수학에 뺄셈 없음: 뺄셈은 음수 필요, 이 영역에 없음. 나눗셈도 반복 뺄셈이 본질이므로 제외.

 

AND 게이트

불 곱셈은 실수 곱셈과 같은 규칙: 어떤 값에 0 곱하면 0, 1 곱하면 변함없음:

 

 

이 방정식 세트 AND 게이트 진리표 반영. 따라서 불 곱셈은 논리 AND 연산에 직접 매핑, 직렬 스위치 접점으로도 표현:

 

 

관례적 대수처럼 불 대수도 문자로 변수 표현, 항상 대문자. 불 변수 0 또는 1만 가능하므로 여집합(보수) 존재—반대 값. 예: A = 0이면 A의 여집합은 1.

보수는 변수 위 막대바로 표시:

 

NOT 게이트

표기에서 A의 여집합은 Aʹ 또는 A̅로 씀. 막대 기호가 프라임 기호(미적분에도 등장)보다 더 일반적.

보수는 회로에서 NOT 게이트 또는 상시폐쇄 릴레이 접점으로 표현:

 

 

이 정의들로 불 산술 기본 규칙 확립: 덧셈 = OR, 곱셈 = AND, 보수 = NOT. 뺄셈과 나눗셈 정의되지 않음.

다음 섹션에서 불 항등식 탐구.

 

복습:

• 불 덧셈 ⇔ OR 논리, 병렬 스위치 접점.
• 불 곱셈 ⇔ AND 논리, 직렬 스위치 접점.
• 불 보수 ⇔ NOT 논리, 상시폐쇄 릴레이 접점.

 

관련 워크시트:

• 불 대수 워크시트