노드 전압법 마스터하기: 정밀 회로 분석을 위한 가이드

노드 전압 분석법은 KCL 방정식 시스템으로 회로 노드에서의 미지 전압을 풉니다. 이 분석은 전압원을 등가 전류원으로 대체하고, 옴 단위 저항을 지멘스 단위 컨덕턴스로 치환(G = 1/R)하기 때문에 이상하게 보일 수 있습니다. 지멘스(S)는 컨덕턴스 단위로, 므호 단위를 대체했습니다. S = Ω^-1. 그리고 S = mho(구식).

노드 전압 계산 방법

기존 전압원을 가진 회로에서 시작합니다. 공통 노드 E₀를 기준점으로 선택. 노드 전압 E₁, E₂를 이 점을 기준으로 계산합니다.

전압원과 연관된 직렬 저항을 등가 전류원과 병렬 저항으로 치환하면 수정된 회로가 됩니다. 저항 옴을 지멘스 컨덕턴스로 치환합니다.

 
 I1 = E1/R1 = 10/2 = 5 A
 I2 = E2/R5 = 4/1 = 4 A
 G1 = 1/R1 = 1/2 Ω = 0.5 S
 G2 = 1/R2 = 1/4 Ω = 0.25 S
 G3 = 1/R3 = 1/2.5 Ω = 0.4 S
 G4 = 1/R4 = 1/5 Ω = 0.2 S
 G5 = 1/R5 = 1/1 Ω = 1.0 S

병렬 컨덕턴스(저항)는 컨덕턴스 덧셈으로 결합 가능. 회로를 다시 그리지는 않겠습니다. 노드 전압법 적용 준비 완료.

 
 GA = G1 + G2 = 0.5 S + 0.25 S = 0.75 S
 GB = G4 + G5 = 0.2 S + 1 S = 1.2 S
 

일반적 노드 전압법을 유도하기 위해, 미지 노드 전압 V₁, V₂로 KCL 방정식 쌍을 한 번 작성합니다. 이는 관찰에 의한 방정식 작성 패턴을 보이기 위함입니다.

 
 GAE1 + G3(E1 - E2) = I1 (1)
 GBE2 - G3(E1 - E2) = I2 (2)
 (GA + G3)E1 - G3E2 = I1 (1)
 -G3E1 + (GB + G3)E2 = I2 (2)
 

위 마지막 방정식 쌍의 계수들은 패턴을 보이도록 재배열되었습니다. 첫 번째 노드에 연결된 컨덕턴스 합이 방정식 (1)에서 첫 번째 전압의 양수 계수. 두 번째 노드에 연결된 컨덕턴스 합이 방정식 (2)에서 두 번째 전압의 양수 계수. 세 번째 전압, 세 번째 방정식 등도 반복. 이 계수들은 대각선에 위치. 다른 모든 계수는 음수로, 노드 간 컨덕턴스를 나타냄. 첫 번째 방정식에서 두 번째 계수는 노드 1에서 노드 2로의 컨덕턴스, 세 번째는 노드 1에서 노드 3로의 컨덕턴스. 다른 방정식도 음수 계수로 채움. 방정식 우변은 각 노드에 연결된 전류원. 이 패턴으로 관찰에 의한 빠른 방정식 작성이 가능. 이는 노드 전압 분석법의 규칙으로 이어집니다.

노드 전압 규칙:

• 직렬 저항과 직렬인 전압원을 병렬 저항과 병렬인 등가 전류원으로 변환.
• 저항값을 컨덕턴스로 변경.
• 기준 노드(E₀) 선택.
• 나머지 노드에 미지 전압 (E₁)(E₂) ... (E_N) 할당.
• 각 노드 1,2,...N에 KCL 방정식 작성. 첫 번째 방정식에서 첫 번째 전압의 양수 계수는 노드에 연결된 컨덕턴스 합. 두 번째 방정식에서 두 번째 전압의 계수는 그 노드에 연결된 컨덕턴스 합. 세 번째 전압, 세 번째 방정식 등 반복. 이 계수들은 대각선에 위치.
• 다른 모든 계수는 음수, 노드 간 컨덕턴스 나타냄. 첫 번째 방정식에서 두 번째 계수는 노드 1에서 노드 2로의 컨덕턴스, 세 번째는 노드 1에서 노드 3로의 컨덕턴스. 다른 방정식도 음수 계수로 채움.
• 방정식 우변은 각 노드에 연결된 전류원.
• 미지 노드 전압에 대한 방정식 시스템 풀이.

노드 전압법 예제

예제: 위 그림의 수치값으로 방정식 설정하고 노드 전압 풀이.

해:

 
 (0.5+0.25+0.4)E1 -(0.4)E2= 5
 -(0.4)E1 +(0.4+0.2+1.0)E2 = -4
 (1.15)E1 -(0.4)E2= 5
 -(0.4)E1 +(1.6)E2 = -4
 E1 = 3.8095
 E2 = -1.5476
 

두 방정식 풀이는 계산기나 옥타브(미표시)로 수행 가능. 해는 원래 전압원이 있는 회로도 기반 SPICE로 검증. 전류원 회로도 시뮬레이션도 가능.

 
 V1 11 0 DC 10
 V2 22 0 DC -4
 r1 11 1 2
 r2 1 0 4
 r3 1 2 2.5
 r4 2 0 5
 r5 2 22 1
 .DC V1 10 10 1 V2 -4 -4 1
 .print DC V(1) V(2)
 .end

 v(1) v(2)
 3.809524e+00 -1.547619e+00
 

세 노드 예제 하나 더. 회로도에 컨덕턴스를 표시하지 않음. 단, G₁ = 1/R₁ 등.

세 노드에 대해 관찰로 방정식 작성. 계수는 방정식 (1) E₁, 방정식 (2) E₂, 방정식 (3) E₃에서 양수. 이는 노드에 연결된 모든 컨덕턴스 합. 다른 모든 계수는 음수, 노드 간 컨덕턴스 나타냄. 방정식 우변은 연관된 전류원, 노드 1의 0.136092A만 있고 나머지는 전류원 없어 0. 게으름으로 다이어그램 저항 컨덕턴스 계산 안 함. 따라서 아래 첨자 G'들이 계수.

 (G1 + G2)E1 -G1E2 -G2E3 = 0.136092
 -G1E1 +(G1 + G3 + G4)E2 -G3E3 = 0
 -G2E1 -G3E2 +(G2 + G3 + G5)E3 = 0
 

게으름으로 옥타브 'A' 행렬에 역수 저항과 역수 저항 합 입력, 옥타브가 'A=' 후 컨덕턴스 행렬 계산하게 함. 초기 입력 라인이 길어 세 행으로 분할. 이전 예제들과 다름. 입력 'A' 행렬은 대괄호로 구분. 열 요소는 공백 분리. 행은 '새 줄' 분리. 쉼표와 세미콜론 불필요. 단, 'b'의 전류 벡터는 열 벡터 위해 세미콜론 분리.

 
octave:12> A = [1/150+1/50 -1/150 -1/50
> -1/150 1/150+1/100+1/300 -1/100
> -1/50 -1/100 1/50+1/100+1/250]
A =
 0.0266667 -0.0066667 -0.0200000
 -0.0066667 0.0200000 -0.0100000
 -0.0200000 -0.0100000 0.0340000

 octave:13> b = [0.136092;0;0]
 b =
 0.13609
 0.00000
 0.00000

 octave:14> x=A\b
 x =
 24.000
 17.655
 19.310
 

'A' 행렬 대각 계수가 양수, 다른 모든 계수가 음수임을 주목.

해는 'x'의 전압 벡터. E₁ = 24.000V, E₂ = 17.655V, E₃ = 19.310V. 이 세 전압은 이전 메시 전류와 SPICE 해(언밸런스 브리지 문제)와 일치. 우연이 아닌 게, 0.13609A 전류원을 그 문제의 24V 전압원에 맞게 의도적으로 선택했기 때문.

요약

• 컨덕턴스와 전류원 네트워크에서, 노드 전압 회로 분석법은 KCL 방정식으로 미지 노드 전압을 풉니다.
• 위 규칙 참조해 관찰에 의한 방정식 작성 세부사항 확인.
• 컨덕턴스 G 단위는 지멘스 S. 컨덕턴스는 저항의 역수: G = 1/R

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