슈퍼노드 회로 분석 마스터하기: 단계별 튜토리얼과 풀이 예제

슈퍼노드 분석 – 정의, 공식, 단계별 풀이 예제

슈퍼노드 분석이란?

오늘은 단순 노드/노달 회로 분석으로 회로를 단순화할 수 있는데 왜 슈퍼노드 회로 분석을 사용하는지, 그 흔한 질문에 답해보려 합니다.

이전 글에서 슈퍼메시 회로 분석을 단순 메시 분석 대신 사용하는 이유를 다뤘습니다. 그 점을 이해했다면 이번 경우도 같은 맥락입니다. 그렇지 않다면 다음 예제로 설명하겠습니다.

다음 그림 1의 두 회로를 비교해 보세요. 다른 점이 보이나요?

차이점은 노드 2와 노드 3 사이에 7Ω 저항 대신 22V 전압원이 추가되었다는 점입니다. 이것이 핵심입니다.

노드 또는 노달 분석에서는 각 비기준 노드에 KCL(키르히호프 전류 법칙)을 적용합니다. 즉, 그림 1(a)에서 세 노드에 단순 KCL을 한 번씩 적용합니다.

그림 1(b) 회로에 노달 분석을 똑같이 적용하려 하면 노드 1과 노드 2에서 어려움을 겪습니다. 전압원이 포함된 분지의 전류를 알 수 없기 때문입니다. 또한 전압원의 정의가 전압이 전류에 독립적이라는 것이므로, 전류를 전압의 함수로 표현할 방법도 없습니다. 이러한 어려움 때문에 그림 1(b)에서는 노달 분석 대신 슈퍼노드 회로 분석을 사용합니다.

그림 1(b) 회로를 단순화하는 두 가지 방법이 있습니다.

첫 번째는 더 복잡한 방법으로, 전압원이 포함된 분지에 미지 전류값을 할당합니다. 그런 다음 3개 노드 각각에 KCL을 적용합니다(노드당 KCL 방정식 1개). 마지막으로 노드 2와 노드 3 사이에 KVL(키르히호프 전압 법칙) v₃ – v₂ = 22V를 적용합니다. 이 경우 위 예제에서 미지값을 위한 4개 방정식이 나오며 풀기가 다소 복잡합니다.

두 번째 방법은 더 쉬운 슈퍼노드 분석입니다. 이 방법에서는 노드 2, 노드 3, 22V 전압원을 하나의 슈퍼노드로 묶어 두 노드(노드 2, 노드 3)에 KCL을 한 번에 적용합니다.

슈퍼노드는 점선으로 둘러싸인 영역으로 표시됩니다. 이는 노드 2를 떠나는 총 전류가 0이고 노드 3을 떠나는 총 전류가 0이면, 그 조합을 떠나는 총 전류도 0이기 때문에 가능합니다. 이 개념은 다음 그림 2(b)의 슈퍼노드(파선으로 둘러싸인 영역)에 나와 있습니다.

이제 아래 회로를 단계별 슈퍼노드 회로 분석으로 풀고, 전체 슈퍼노드 분석 과정을 요약하겠습니다.

• 관련 글: 슈퍼메시 회로 분석 | 단계별 풀이 예제

슈퍼노드 분석 풀이 예제

예제:

슈퍼노드 분석을 사용하여 다음 그림 3(a)에서 각 전류원 양단 전압, 즉 v₁과 v₂를 구하세요.

해답:

먼저 그림 3(b)와 같이 회로를 다시 그립니다.

노드 1에 KCL 방정식을 작성하며 시작합니다.

4 = 0 + 3v₁ + 3v₃ … → 식 1.

이제 슈퍼노드(노드 1과 노드 2의 조합)를 고려합니다. 하나의 전류원과 세 저항이 연결되어 있습니다. 따라서

슈퍼노드(노드 1 & 노드 2)에 KCL 적용

9 = 2v₂ + 6v₃ + 3v₃ – 3v₁ + 0.

9 = – 3v₁ + 2v₂ + 9v₃ … → 식 2.

미지값이 세 개이므로 추가 방정식이 하나 더 필요합니다. 당연히 노드 2와 3 사이의 5V 전압원을 사용합니다.

v₂ – v₃ = 5 … → 식 3.

크래머 공식(크래머 공식 계산기), 소거법, 가우스 소거법 또는 MATLAB 같은 컴퓨터 지원 프로그램으로 식 1, 2, 3을 풀면,

• v₃ = 0.575V 또는 575mV.
• v₂ = 5.375V.
• v₁ = 1.708V.

슈퍼노드 분석 요약 (단계별)

1. 회로 재작성 (가능한 경우).
2. 회로의 노드 개수 계산.
3. 기준 노드(Reference Node) 지정. 가장 많은 분기가 연결된 노드로 하여 방정식 수를 최소화.
4. 노드 전압 라벨링. 개수는 (N-1)개, N = 노드 수.
5. 슈퍼노드 형성: 회로에 전압원이 있으면 점선으로 소스 단자와 두 단자 사이 연결 요소를 감싸 슈퍼노드 형성. 그림 2(b) 참조.
6. KCL(키르히호프 전류 법칙) 방정식 작성: 각 비기준 노드와 기준 노드를 포함하지 않는 각 슈퍼노드에 대해. 왼쪽에는 전류원에서 슈퍼노드/노드로 유입되는 전류 합, 오른쪽에는 저항을 통해 슈퍼노드/노드에서 유출되는 전류 합. KCL 방정식 작성 및 풀이 시 "-" 부호 고려.
7. 정의된 각 슈퍼노드에 KCL 방정식 1개 필요. 단순 KCL 적용으로 달성. 즉, 각 전압원 양단 전압을 노드 전압과 연관 짓기.
8. 종속 소자가 회로에 있는 경우, 노드 전압 외 추가 미지값(전류/전압)을 적절한 노드 전압으로 표현.
9. 방정식 시스템 정리 및 조직화.
10. 최종적으로 노드 전압(V₁, V₂, V₃ 등) 구하기. (N-1, N = 노드 수)개 해가 나옴. 방정식 풀이 어려우면 위 풀이 예제 참조.

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