키르히호프 법칙: 전류 및 전압 (KCL & KVL) - 단계별 풀이 예제

KCL & KVL – 키르히호프 제1 & 제2 법칙과 풀이 예제

독일 물리학자 "로버트 키르히호프"가 1847년에 두 가지 중요한 전기 법칙을 발표했습니다. 이 법칙들을 사용하면 복잡한 네트워크의 등가 저항과 서로 다른 도체에 흐르는 전류를 쉽게 구할 수 있습니다. 교류(AC) 및 직류(DC) 회로 모두 이 간단한 법칙들을 사용하여 풀고 단순화할 수 있으며, 이들은 키르히호프 전류 법칙(KCL)과 키르히호프 전압 법칙(KVL)로 알려져 있습니다.

또한 KCL은 전자기학의 전하 연속 방정식에서 유도되며, KVL은 정자기장에 대한 맥스웰-파라데이 방정식(자기장 B의 시간 미분이 0)에서 유도됩니다.

키르히호프 전류 법칙 (KCL):

KCL에 따르면:

어떤 전기 네트워크에서든 한 점으로 들어오는 전류의 대수적 합과 그 점에서 나가는 전류의 대수적 합은 0입니다. 즉, 한 점으로 들어오는 전류는 그 점에서 나가는 전류와 같습니다.

다른 말로 하면, 한 점을 향해 흐르는 전류의 합은 그 점에서 멀어지는 전류의 합과 같습니다. 또는 노드에 들어오는 전류의 대수적 합은 노드에서 나가는 전류의 대수적 합과 같습니다.

KCL 설명:

그림 1.a와 같이 몇 개의 도체가 점 "A"에서 만난다고 가정합니다. 일부 도체에서는 전류가 점 "A"로 들어오고, 다른 도체에서는 전류가 점 "A"에서 나가거나 흘러나갑니다.

들어오거나 진입하는 전류를 점 "A"를 향한 "양수(+)"로, 점 "A"에서 떠나거나 나가는 전류를 "음수(-)"로 간주하면:

I₁ + (–I₂) + (–I₃) + (–I₄) + I₅ = 0

또는

I₁ + I₅ – I₂ – I₃ – I₄ = 0

또는

I₁ + I₅ = I₂ + I₃ + I₄ = 0

즉,

들어오는 전류 = 나가는 전류

또는

ΣI 진입 = ΣI 이탈

예를 들어, 그림 1.b에서 8A가 한 점을 향해 오고 5A와 3A가 그 점을 떠나므로,

8A = 5A + 3A

8A = 8A.

키르히호프 전압 법칙 (KVL):

키르히호프의 제2법칙 또는 KVL은 다음과 같이 기술합니다:

어떤 폐루프(메시라고도 함)에서 인가된 기전력의 대수적 합은 요소들의 전압 강하 대수적 합과 같습니다. 키르히호프의 제2법칙은 전압 법칙 또는 메시 법칙이라고도 합니다.

ΣIR = ΣE

KVL 설명:

두 개의 배터리 E₁과 E₂ 연결을 포함하는 폐회로가 그림에 표시되어 있습니다. 배터리들의 기전력 총합은 E₁-E₂로 표시됩니다. 전류의 가상 방향도 그림에 표시되어 있습니다.

E₁은 양으로 간주되는 방향으로 전류를 구동하는 반면, E₂는 전류 방향에 간섭합니다(즉, 가상의 전류 방향과 반대 방향이므로) 음으로 간주됩니다. 이 폐회로의 전압 강하는 전압과 전류의 곱에 의존합니다.

가상의 전류 방향으로 발생하는 전압 강하는 양의 전압 강하로, 반대 방향은 음의 전압 강하로 간주합니다.

위 그림에서 I₁R₁과 I₂R₂는 양의 전압 강하이고, I₃R₃과 I₄R₄는 음의 전압 강하입니다.

폐회로(또는 각 메시)를 따라가며 도체의 저항과 그에 흐르는 전류를 곱한 값의 합이 회로에 연결된 기전력원의 합과 같습니다.

위 회로의 전체 방정식은:

E₁ – E₂ = i₁R₁ + i₂R₂ – i₃R₃ – i₄R₄

그림에 표시된 가상의 전류 방향으로 가면 IR의 곱을 양으로, 그렇지 않으면 음으로 취급합니다.

알아두면 좋은 점:

전류의 방향:

키르히호프 법칙으로 회로를 풀 때 전류의 방향을 결정하는 것은 매우 중요합니다. 전자 전류와 관습 전류의 경우와 유사합니다.

전류 방향은 시계 방향 또는 반시계 방향으로 가정할 수 있습니다. 한번 전류의 임의 방향을 선택하면, 최종 회로 해답이 나올 때까지 전체 회로에 대해 동일한 방향을 적용하고 유지해야 합니다.

최종 값이 양수로 나오면 가정한 전류 방향이 옳았다는 뜻입니다. 음수 값이 나오면 전류 방향이 가정한 것과 반대라는 의미입니다.

키르히호프 법칙을 이용한 회로 분석

KCL과 KVL(키르히호프 법칙) 풀이 예제

예제:

R₁= 10Ω, R₂ = 4Ω, R₃ = 8Ω 저항이 그림과 같이 두 개의 배터리(내부 저항 무시)에 연결되어 있습니다. 각 저항을 흐르는 전류를 구하시오.

해설:

화살표로 표시된 방향으로 전류가 흐른다고 가정합니다.

접점 C와 A에 KCL을 적용합니다.

따라서 메시 ABC의 전류 = i₁

메시 CA의 전류 = i₂

그러면 메시 CDA의 전류 = i₁ – i₂

이제 메시 ABC에 KVL을 적용합니다. 20V가 시계 방향으로 작용합니다. IR 곱의 합을 같게 하면:

10i₁ + 4i₂ = 20 … (1)

메시 ACD에서 12볼트가 시계 방향으로 작용하면:

8(i₁ – i₂) – 4i₂ = 12

8i₁ – 8i₂ – 4i₂ = 12

8i₁ – 12i₂ = 12 … (2)

방정식 (1)에 3을 곱합니다:

30i₁ + 12i₂ = 60

i₁을 구합니다:

30i₁ + 12i₂ = 60

8i₁ – 12i₂ = 12

___________
38i₁ = 72

위 방정식은 소거법 또는 크라머 공식으로도 단순화할 수 있습니다.

i₁ = 72 ÷ 38 = 1.895 암페어 = 10옴 저항의 전류

이 값을 (1)에 대입하면:

10 (1.895) + 4i₂ = 20

4i₂ = 20 – 18.95

i₂ = 0.263 암페어 = 4옴 저항의 전류.

이제,

i₁ – i₂= 1.895 – 0.263 = 1.632 암페어

키르히호프 법칙의 응용

• 키르히호프 법칙은 전류와 전압 같은 미지 값과 이들 값의 흐르는 방향을 결정하는 데 사용됩니다.
• 이 법칙들은 모든 회로에 적용 가능합니다(기사 말미의 키르히호프 법칙의 한계 참조). 하지만 복잡한 회로와 네트워크에서 미지 값을 찾는 데 특히 유용합니다.
• 노드 해석과 메시 해석에서 전류와 전압 값을 찾는 데도 사용됩니다.
• 각 독립 루프의 전류는 KVL(각 루프)로 구하고, 회로의 어떤 요소에 흐르는 전류는 모든 전류를 세어 구합니다(루프 전류법 적용).
• 각 분지의 전류는 KCL(각 접점)과 회로의 각 루프에서 KVL을 적용하여 구합니다(루프 전류법 적용).
• 키르히호프 법칙은 전기 회로를 통한 에너지 전달을 이해하는 데 유용합니다.

알아두면 좋은 점:

키르히호프 법칙으로 전기 회로를 단순화하고 분석할 때 다음 경험 법칙을 고려해야 합니다:

• 시계 방향 전류로 인한 루프의 전압 강하는 양(+)의 전압 강하로 간주합니다.
• 반시계 방향 전류로 인한 루프의 전압 강하는 음(-)의 전압 강하로 간주합니다.
• 시계 방향으로 배터리가 구동하는 전류는 양(+)으로 간주합니다.
• 반시계 방향으로 배터리가 구동하는 전류는 음(-)으로 간주합니다.

키르히호프 법칙의 한계:

• KCL은 전류가 도체와 전선에서만 흐른다는 가정하에 적용됩니다. 하지만 기생 커패시턴스를 더 이상 무시할 수 없는 고주파 회로에서는 도체나 전선이 전송선로 역할을 하여 개방 회로에서도 전류가 흐를 수 있습니다.
• KVL은 폐루프에 연결된 변동 자기장이 없다고 가정합니다. 하지만 고주파 단파장 교류 회로에서 변화하는 자기장이 존재하는 경우, 전기장은 보존적 벡터장이 아닙니다. 따라서 전기장은 어떤 전위의 기울기가 될 수 없으며, 루프를 따른 전기장의 선적분은 0이 아니게 되어 KVL과 직접 모순됩니다. 그래서 KVL은 그러한 조건에서 적용되지 않습니다.
• 자기장에서 전기장으로 에너지가 전달되는 동안 퍼지(fudge)를 도입하여 회로 주위의 전위차(P.d.)를 0으로 만들어야 합니다.

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