반응성 DC 회로에서 전압과 전류 계산

어떤 반응성 DC 회로에서든 전압과 전류가 시간에 따라 어떻게 진화하는지 정확히 결정할 수 있습니다.

반응성 DC 회로에서 값 계산

반응성 구성 요소가 변화를 저항하는 양(커패시터는 전압, 인덕터는 전류)의 초기값과 최종값을 설정하는 것부터 시작합니다. 스위치가 토글되면 구성 요소는 그 양을 전환 전 수준 근처에 유지하며, 이것이 시작점이 됩니다.

최종값은 무한한 시간 후 그 양이 정착하는 값입니다. 커패시터의 경우 커패시터를 개방 회로로 모델링하고, 인덕터의 경우 인덕터를 단락 회로로 처리합니다. 이 표현들은 정상 상태 전압이나 전류를 드러냅니다.

다음으로 회로의 시정수(time constant)를 계산합니다. 이는 과도 상태 동안 양이 시작값에서 최종값으로 약 63% 이동하는 기간입니다. 직렬 RC 회로에서 τ = R × C입니다. 직렬 L/R 회로에서 τ = L / R입니다. 시정수는 초 단위로 측정되며 그리스 문자 τ (타우)로 표시됩니다.

 

 

과도 응답에서 전압과 전류는 최종값에 점근적으로 접근하는 지수 곡선을 따릅니다. 한 τ 후 양은 목표에 약 63%만큼 이동했습니다. 정확한 백분율은 다음 공식으로 주어집니다:

 

 

오일러 상수 e (≈ 2.71828)를 사용하면 n τ 후 변화율은:

 

 

두 τ 후:

 

 

열 τ 후:

 

 

시간이 증가함에 따라 지수 항의 분수가 줄어들어 전체 표현식이 1(100%)에 접근합니다.

범용 시정수 공식

간결한 계산을 위해 지수 항에 최종값과 초기값의 차이를 곱합니다:

 

앞서 보인 직렬 RC 회로에 이를 적용해 봅시다.

 

커패시터가 전압 변화를 저항하므로 전압을 직접 분석합니다. 저항 10kΩ, 커패시터 100µF로 τ = 10kΩ × 100µF = 1초입니다.

 

커패시터가 방전 상태(0V)에서 시작하고 배터리가 15V를 공급한다고 가정하면 범용 공식은:

 

7.25초 후 전압 상승은:

 

 

따라서 커패시터는 7.25초에 14.989V에 도달합니다.

같은 식으로 전류도 구할 수 있습니다. 방전된 커패시터가 단락으로 동작하면 초기 전류는 15V / 10kΩ = 1.5mA입니다. 최종 전류는 커패시터가 개방 회로로 동작하면 0입니다.

 

공식을 적용하면 -1.4989mA 변화가 생겨 7.25초 시점 전류는 1.065µA입니다.

또는 배터리 전압에서 커패시터 전압을 빼고 옴의 법칙 적용: I = (15V - 14.989V) / 10kΩ = 1.065µA로 결과를 확인할 수 있습니다.

 

유도 회로에 범용 시정수 공식 사용

같은 접근법이 RL 회로에도 적용됩니다. L = 1H, R = 1Ω인 예시 L/R 회로를 고려하면 τ = L/R = 1초입니다.

 

여기서 반응성 요소는 전류 변화를 저항합니다. 스위치 개방으로 시작하면 전류는 0입니다. 긴 시간 후 정상 상태 전류는 V/R = 15A입니다.

3.5초 시점 전류를 찾기 위해 범용 공식을 사용합니다:

 

초기 전류가 0이므로 3.5초 시점 전류는 14.547A입니다.

인덕터 양단 전압은 공급 전압에서 저항 강하를 빼서 구합니다. 단일 1Ω 저항에서 강하는 14.547V이므로 3.5초 시점 인덕터 전압은 0.453V입니다.

 

 

복습

• 범용 시정수 공식: ΔQ = (Q_final – Q_initial) · (1 – e^(–t/τ))
• RC 또는 RL 분석 단계:
• 1. τ 계산 (RC 또는 L/R).
• 2. 반응성 양 식별 (커패시터는 전압, 인덕터는 전류).
• 3. 초기값과 최종값 결정.
• 4. 범용 공식에 값 대입하여 변화량 구하기.
• 5. 초기값이 0이면 계산된 변화량이 시간 t에서의 양이고, 아니면 변화량에 초기값을 더함.

관련 워크시트

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