복소수를 이용한 교류 전압 덧셈 설명

이 튜토리얼에서는 세 개의 교류(AC) 전압원이 직렬로 연결될 때 어떻게 결합되는지, 복소수 연산을 사용해 순 전압을 결정하는 방법을 탐구합니다. 이 접근법은 모든 익숙한 직류 회로 법칙(옴의 법칙, 키르히호프의 전압 및 전류 법칙, 네트워크 분석 기법)이 모든 양을 페이저(복소수) 형태로 표현하고 모든 전원이 같은 주파수에서 작동한다는 조건 하에 교류 분석에도 그대로 적용됨을 보여줍니다.

아래 다이어그램과 같이 세 전압원을 배열하는 것으로 시작합니다. 극성 표시는 페이저 방향이 직접 더해지도록 선택되어, 총 전압을 단순한 벡터 합으로 쓸 수 있게 합니다:

문제 설명에 명시적 주파수가 없지만, 세 전원 모두 같은 주파수를 공유한다는 암묵적 가정이 있습니다. 이는 위상 관계가 일정하게 유지되도록 하여 직류 스타일의 규칙을 사용할 수 있게 합니다.

총 전압에 대한 대수적 표현은 다음과 같습니다:

V_total = V₁ + V₂ + V₃

그래픽적으로, 페이저 덧셈은 아래 그림과 같이 설명됩니다.

결과 벡터는 22V 전원의 시작점에서 15V 전원의 끝점까지 이어지며, 다음 그림과 같습니다.

다이어그램 없이 결과 벡터의 크기와 위상을 계산하기 위해, 각 극좌표 페이저를 직교 형태로 변환하고 더한 후 다시 극좌표로 변환합니다. 계산 결과:

V_total = 36.8052 V ∠ –20.5018°

실제로는 전압계가 36.8052V 크기만 표시하는 반면, 오실로코프를 사용하면 15V 기준 전원 대비 -20.5018° 위상 변화를 결정할 수 있습니다. 같은 원리가 교류 전류계에도 적용되어 전류의 크기만 보고 위상 각도는 보고하지 않습니다.

직교 표현은 산술에 편리하지만 측정에서 직접적인 경험적 대응물이 없으므로, 실제 계측기와 비교하기 위해 최종 결과를 극좌표 형태로 다시 변환하는 것이 관례입니다.

해석적 결과를 검증하기 위해 간단한 SPICE 시뮬레이션을 실행합니다. 개방 회로 오류를 피하기 위해 10kΩ 저항이 포함되었습니다. 선택된 60Hz 주파수는 저항이 주파수에 독립적이기 때문에 임의적입니다(커패시터나 인덕터 같은 다른 요소는 주파수 의존성을 도입합니다).

v1 1 0 ac 15 0 sin
v2 2 1 ac 12 35 sin
v3 3 2 ac 22 -64 sin
r1 3 0 10k
.ac lin 1 60 60
.print ac v(3,0) vp(3,0)
.end
freq v(3) vp(3)
6.000E+01 3.681E+01 -2.050E+01

시뮬레이션은 해석적 결과를 확인합니다: 총 전압 36.81V ∠ -20.5°. 이 직관에 반하는 결과—직렬로 연결된 15V, 12V, 22V 전원에서 36V 조금 넘는 전압을 얻는 것—은 위상 관계가 교류 회로에서 건설적 또는 파괴적 간섭을 일으킬 수 있음을 보여줍니다.

다음으로 12V 전원의 극성을 반전시키는 효과를 살펴봅니다. 리드를 반전시키면 벡터 방향이 바뀌지만 공칭 위상 각도는 변하지 않습니다. 수학적으로 이는 각도에 180°를 더하는 것(12V ∠ 215°)이나 크기를 음수로 만드는 것(-12V ∠ 35°)으로 표현할 수 있습니다. 두 방법 모두 같은 직교 결과를 낳습니다:

직교 형태로 새로운 합은:

V_total = 30.4964 V ∠ –60.9368°

SPICE로 검증합니다:

ac voltage addition
v1 1 0 ac 15 0 sin
v2 1 2 ac 12 35 sin ; 노드 번호 2와 1 반전
v3 3 2 ac 22 -64 sin
r1 3 0 10k
.ac lin 1 60 60
.print ac v(3,0) vp(3,0)
.end
freq v(3) vp(3)
6.000E+01 3.050E+01 -6.094E+01

복습

• 모든 직류 회로 법칙은 교류 회로에도 적용됩니다(전력 계산 제외). 단, 모든 변수가 복소수 형태여야 하고 공통 주파수를 공유해야 합니다.
• 교류 전원의 극성 반전은 각도에 180°를 더하거나 크기를 음수로 만드는 것으로 표현할 수 있습니다.
• 교류 회로의 측정값은 계산된 페이저의 극좌표 크기에 해당하며, 직교 값은 중간 대수 단계에만 유용합니다.

관련 워크시트

• 교류 네트워크 분석 워크시트
• 키르히호프의 법칙 워크시트
• 옴의 법칙 워크시트