중첩 정리(Superposition Theorem) 마스터: 단계별 회로 분석 실전 예제

중첩 정리(Superposition Theorem) – 단계별 가이드와 풀이 예제

중첩 정리는 무엇인가?

중첩 정리(Superposition Theorem)는 다수 에너지 소스를 가진 복잡한 네트워크 풀이에 사용됩니다. 각 소스 효과를 개별적으로 계산해 회로 소자 양단 전압과 전류를 결정하고, 모든 소스 효과를 합쳐 실제 회로 소자 전압과 전류를 구하는 중요한 개념입니다.

중첩 정리는 다음과 같이 기술합니다:

즉, 한 번에 하나의 독립 소스만 작용하는 것으로 간주합니다. 따라서 다른 소스들을 제거해야 합니다. 이상적 소스에서 전압 소스는 단락, 전류 소스는 개방합니다. 소스 내부 저항이 주어진 경우 회로에 반영해야 합니다.

중첩 정리는 옴의 법칙을 따르는 회로에만 적용 가능합니다.

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중첩 정리 적용 조건

중첩 정리 적용을 위해 네트워크는 다음 요건을 충족해야 합니다.

• 회로에 사용된 소자가 선형(Linear)이어야 함. 저항은 전류가 전압에 비례, 인덕터는 플럭스 링크가 전류에 비례. 따라서 저항, 인덕터, 커패시터는 선형 소자. 다이오드, 트랜지스터는 비선형 소자.
• 회로 소자가 쌍방향(Bilateral) 소자여야 함. 전류 크기가 에너지 소스 극성에 독립적.
• 중첩 정리로 소자 통과 전류, 저항 전압 강하, 노드 전압 구할 수 있으나 소자에서 소모되는 전력은 구할 수 없음.

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중첩 정리 적용 단계

1단계 네트워크 내 독립 소스 개수 파악.

2단계 임의 소스 1개 선택, 나머지 모든 소스 제거. 종속 소스가 있는 경우 제거 불가, 계산 내내 유지.

모든 에너지 소스를 이상적 소스로 가정 시 내부 저항 고려 불필요. 전압 소스 직접 단락, 전류 소스 직접 개방. 단, 내부 저항이 주어진 경우 내부 저항으로 치환.

3단계 회로에 독립 에너지 소스 1개만 남은 상태. 이 한 개 소스만으로 응답(전류/전압) 계산.

4단계 2~3단계를 네트워크 내 모든 에너지 소스에 대해 반복. 독립 소스 3개면 3번 반복. 매번 응답 값 획득.

5단계 개별 소스로부터 얻은 모든 응답을 대수적 합산. 네트워크 특정 소자 최종 응답 값 도출. 다른 소자 응답 필요 시 해당 소자에 대해 단계 반복.

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중첩 정리 풀이 예제

예제:

주어진 네트워크에서 중첩 정리를 이용해 8Ω 저항을 지나는 전류(I_L)를 구하시오.

풀이:

1단계 위 네트워크에 전압 소스 1개, 전류 소스 1개. 절차 2회 반복 필요.

2단계 먼저 28V 전압 소스만 존재한다고 가정. 전류 소스 단자 개방으로 제거. 이상적 전류 소스 가정으로 내부 저항 연결 불필요.

남은 회로:

3단계 8Ω 저항 지나는 전류(I_L1) 구하기. 전압 소스 단독 효과.

전류 소스 개방으로 10Ω 저항엔 전류 안 흐름. 네트워크에 루프 1개만 남음.

루프에 KVL 적용:

28 = 6I_L1 + 8I_L1

28 = 14I_L1

I_L1 = 28/14

I_L1 = 2A

4단계 이제 전류 소스에 대해 동일 절차 반복. 전압 소스 단락 제거. 남은 회로:

루프 2개 고려. I₁, I₂ 루프 전류. I_L2 구하기.

루프-1에 KVL 적용:

0 = 6I₁ + 8I₁ - 8I₂

14I₁ - 8I₂ = 0

루프-2 통과 전류는 전류 소스에서 계산. 값은:

I₂ = 28A

위 식에 대입:

14I₁ - 8(28) = 0

I₁ = 16A

8Ω 저항 분기가 두 루프 공통. 8Ω 저항 지나는 결과 전류(I_L2) 구하기.

I_L2 = I₁ - I₂

I_L2 = 16 - 28

I_L2 = -12A

5단계 두 소스 효과 대수적 합산으로 결합. 8Ω 저항 지나는 총 전류 I_L. 전류 방향이 가장 중요. I_L2에 마이너스 부호는 28A 소스 시 전류가 반대 방향 흐름을 의미. 방향 변경 불가하므로 모든 소스 결합 시 대수적 합산 수행.

I_L = I_L1 - I_L2

I_L = 2 + (-12)

I_L = -10A

도시 화살표 방향으로 8Ω 저항 통과 전류 가정. 마이너스 부호는 반대 방향 의미. 전류 크기는 10A.

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중첩 정리 실험

중첩 정리 실험은 아래 단계로 진행 가능.

목적

저항을 지나는 전류 결정 및 중첩 정리 검증.

필수 부품

DC 전원, 저항, DC 멀티미터, 연결 와이어, 브레드보드 등.

이론

중첩 정리는 주어진 회로에서 소자 양단 전류와 전압을 구하는 회로 분석에 사용. 소스 개수가 많을 때 유용.

중첩 정리에 따르면 소자 응답은 개별 에너지 소스로부터의 응답 대수적 합.

먼저 주어진 네트워크에서 모든 소스 연결 시 저항 통과 전류 계산. 이후 소스 제거 후 개별 소스 전류 구함. 마지막에 개별 소스 측정 전류 합산이 전체 소스 연결 시 측정 전류와 유사함.

절차

아래 그림의 선형 쌍방향 회로 고려.

위 회로대로 브레드보드에 연결 와이어로 모든 소자 연결. 모든 저항에 전류계 연결해 통과 전류 측정. 여기엔 2개 전압 소스 존재.

첫 번째 경우, 두 전압 소스 모두 연결 시 모든 저항 통과 전류 측정. R₁, R₂, R₃ 통과 전류는 I₁, I₂, I₃.

이제 12V 전압 소스 제거. 위 그림과 같이 A', B' 단자 단락. 이상적 전압 소스 가정으로 내부 저항 연결 불필요. 이제 R1, R2, R3 통과 전류 I_1', I_2', I_3' 측정.

마찬가지로 9V 전압 소스 제거 후 남은 회로. 다시 모든 저항 통과 전류 측정해 I_1'', I_2'', I_3''로 명명.

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아래 관측표에 모든 값 기입.

관측표

소스 연결 상태	R1	R2	R3
두 소스 모두 연결	I1	I2	I3
12V만 연결	I1'	I2'	I3'
9V만 연결	I1''	I2''	I3''

계산:

I₁ = I_1' + I_1''

I₂ = I_2' + I_2''

I₃ = I_3' + I_3''

개별 소스 연결 시 저항 통과 전류 대수적 합과 전체 소스 연결 시 측정 전류 비교로 중첩 정리 검증.

위 계산이 성립하면 중첩 정리 증명.

결론

이 실험에서 저항 통과 전류가 개별 에너지 소스 연결 시 전류 대수적 합과 같음을 증명. 중첩 정리 검증 완료.

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중첩 정리 응용

• AC 및 DC 네트워크에 적용 가능.
• 독립 소스 개수 많을 때 네트워크 응답 구하기 용이.
• 각 에너지 소스 효과 개별 계산으로 소자 통과 전류와 양단 전압 계산 후 전체 소스 결합 효과 결정.

중첩 정리 한계

• 종속 소스만 있는 회로엔 적용 불가. 최소 2개 이상 독립 소스 필요.
• 선형 소자로 구성된 네트워크에만 적용. 다이오드, 트랜지스터 등 비선형 소자엔 적용 불가.
• 전력으로 계산 불가. 전력이 전압/전류 제곱에 비례해 비선형이 되기 때문.
• 전압/전류에 따라 저항이 변하는 조건엔 적용 불가. 모든 에너지 소스에 대해 저항 값 불변해야 함.
• 쌍방향 소자에만 적용. 네트워크 응답이 전류 방향에 의존하면 적용 불가.

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