밀만 정리: AC/DC 회로 분석 단계별 실전 예제

밀만 정리(Millman's Theorem) – AC & DC 회로 단계별 풀이 예제

밀만 정리(Millman's Theorem)

밀만 정리는 병렬 분기만으로 구성된 회로 분석에 사용됩니다. 따라서 회로 끝단 전압 계산에 유용합니다. 밀만 정리는 병렬 네트워크를 포함하는 회로에만 적용 가능합니다.

밀만 정리는 테브난 정리(Thevenin's Theorem)과 노턴 정리(Norton's Theorem)의 결합입니다. 때때로 병렬 발전기 정리(Parallel Generator Theorem)라고도 불립니다. 이 정리는 전기공학 교수 제이콥 밀만(Jacob Millman)이 제안했으며 그의 이름을 따 명명되었습니다.

밀만 정리는 다음과 같이 기술합니다:

주어진 네트워크의 병렬 분기 양단 전압을 구할 수 있습니다. 아래 그림과 같이 다수 소스가 연결된 네트워크의 복잡성을 줄여줍니다.

밀만 정리에 따르면 부하 양단 전압은:

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수학적 방정식

위 그림과 같이 n개 전압 소스(E₁, E₂, E₃, …, E_n)가 있는 회로. 각 소스 내부 저항은 R₁, R₂, R₃, …, R_n. 밀만 정리에 따라 모든 회로는 아래 네트워크로 치환 가능합니다. 다음 그림은 밀만 등가 회로입니다.

이제 전압 소스(E)와 등가 저항(R) 값을 구해야 합니다. 위 회로는 테브난 등가 회로와 유사합니다. 따라서 전압 소스(E)는 테브난 등가 전압(V_TH)과 같고, 등가 저항은 테브난 등가 저항(R_TH)과 같습니다.

계산 편의를 위해 노턴 등가 회로를 구합니다. 소스 변환을 수행해 모든 전압 소스를 전류 소스로 변환합니다.

전압 소스와 직렬로 내부 저항이 연결돼 있습니다. 소스 변환 후 전압 소스는 전류 소스로, 내부 저항은 전류 소스와 병렬로 연결됩니다. 따라서 위 회로는 아래 그림과 같이 변환됩니다.

옴의 법칙에 따라 전류 소스 값은 E₁/R₁, E₂/R₂, E₃/R₃, …, E_n/R_n이 됩니다. 노턴 등가 전류(I_N)를 구하려면 부하 단자를 단락시키고 그 분기를 지나는 전류를 구합니다.

노드 A₁에서 전류가 두 경로로 나뉩니다. 하나는 저항 R₁ 경로, 다른 하나는 단락된 분기. 전류는 항상 저저항 경로로 흐르므로 이 조건에서 전체 전류가 단락 분기로 흐르고 저항을 지나는 전류는 0이 됩니다.

이 현상이 노드 A₂, A₃, …, A_n 모든 소스에서 동일하게 발생합니다. 모든 저항을 지나는 전류는 0입니다.

노드 A₂에서 노드 A₁로부터 온 전류가 더해집니다. 마찬가지로 노드 A₃에서 노드 A₂ 전류가 더해집니다. 따라서 노드 A_n에서 모든 노드 전류가 합산됩니다. 총 전류는 모든 전류의 합으로 노턴 전류(I_N)라 부릅니다.

노턴 등가 전류를 구했습니다. 이제 노턴 등가 저항을 구해야 합니다. 회로 내 모든 에너지 소스를 전류 소스 개방, 전압 소스 단락으로 제거합니다.

위 그림에는 전류 소스만 있습니다. 이 전류 소스들을 개방 회로로 제거합니다. 등가 저항 계산을 위해 부하도 제거합니다. 남은 회로는 아래 그림과 같습니다.

위 그림에서 모든 저항이 병렬 연결돼 있음을 알 수 있습니다. 이 병렬 조합이 등가 저항과 같습니다.

R_eq = R_N = R₁ || R₂ || R₃ … || R_n

이 값들을 노턴 등가 회로에 대입하면 아래 그림과 같습니다.

이 노턴 등가 회로를 테브난 등가 회로로 변환하면 노턴 전류 I_N와 노턴 저항 R_N로부터 E와 R 값을 계산할 수 있습니다.

옴의 법칙에 따라:

E = I_N × R_N

위 방정식을 n개 분기 일반 형태로 정리하면:

전압 소스 값과 등가 저항(노턴 등가 저항과 동일)을 구했습니다. 따라서 밀만 등가 회로(그림 2)를 얻을 수 있습니다.

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밀만 정리 적용 단계

1단계 밀만 정리는 다수 병렬 분기를 가진 네트워크/회로에만 적용 가능합니다. 전압 소스가 직렬 내부 저항과 함께 병렬 분기로 연결된 회로를 푼다고 가정합니다.

2단계 직렬 연결된 내부 저항/저항과 전압 소스 목록을 작성합니다.

3단계 전압 소스를 단락시켜 부하 단자 양단 등가 저항(R)을 구합니다.

4단계 밀만 정리를 적용해 부하 단자 양단 전압(E) 값을 구합니다. 식 (1) 사용. 이 전압이 부하 양단 전압입니다.

5단계 R과 E 값을 밀만 등가 회로(그림 2)에 대입합니다.

6단계 루프에 KVL 적용해 부하를 지나는 전류를 구합니다.

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밀만 정리를 이용한 DC 회로 분석

예제 #1

밀만 정리를 이용해 부하 단자 양단 전류와 전압을 구하시오.

1단계 위 그림 관찰 시 4개 분기가 병렬 연결됨. 밀만 정리 적용 가능.

2단계 부하 분기 제외 3개 분기. 3개 전압과 3개 저항:

E₁ = 12V, R₁ = 2Ω

E₂ = 0V, R₂ = 4Ω

E₃ = 16V, R₃ = 4Ω

3단계 등가 저항 구하기 위해 전압 소스 단락, 부하 단자 개방. 남은 회로:

R_eq = 1Ω

위 그림과 같이 모든 저항이 병렬. 등가 저항:

4단계 밀만 정리 적용.

이 예제는 3개 분기. n=3 사용.

위 값 대입.

E = 10V

부하 단자 양단 전압.

5단계 이 값들을 밀만 등가 회로에 대입.

6단계 옴의 법칙에 따라,

I_L = 1A

부하 양단 전압 10V, 부하 통과 전류 1A.

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밀만 정리를 이용한 AC 회로 분석

예제 #2

밀만 정리를 이용해 부하 단자 양단 전류와 전압을 구하시오.

1단계 위 그림에서 4개 분기 병렬 연결. 밀만 정리 적용 가능.

2단계 부하 분기 제외 3개 분기. 계산 편의 위해 전압과 임피던스 나열. AC 회로에서는 저항 대신 임피던스 사용.

전압 소스 값은 극좌표 형태. 임피던스 값은 직교좌표 형태. 전압 소스 값을 극좌표로 변환 필요.

V₁ = 12∠60° = 6 + j10.392

V₂ = 9∠0° = 9 + j0

V₃ = 6∠30° = 5.196 + j3

임피던스는 직교좌표 형태 그대로 나열.

Z₁ = 6Ω

Z₂ = j6Ω

Z₃ = -j6Ω

3단계 등가 임피던스 구하기. 위 예제와 같이 전압 소스 단락. 남은 회로:

모든 임피던스 병렬 연결. 등가 임피던스:

Z_eq = 6Ω

4단계 밀만 정리 적용,

3개 분기. n=3.

V = 6 + 1j0.392 - j9 + j5.196 - 3

V = 3 + j6.588

RMS 값 구하기.

V = 7.23V

5단계 이 값들을 밀만 등가 회로에 대입.

6단계 옴의 법칙에 따라,

I_L = 0.9A

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밀만 정리 한계

밀만 정리는 네트워크 풀이에 매우 유용하지만 다음과 같은 한계가 있습니다.

• 독립 소스 사이에 종속 소스가 있는 회로에는 적용 불가.
• 독립 소스가 2개 미만인 회로에는 유용하지 않음.
• 직렬 소자만 있는 회로에는 적용 불가.
• 소스 사이에 소자가 연결된 경우 적용 불가.

밀만 정리 응용

밀만 정리는 복잡한 회로 풀이에 네트워크 분석에서 널리 사용됩니다. 응용 분야:

• 다수 병렬 분기와 다수 전압 소스가 있는 경우 부하 임피던스 전압/전류 구할 때 가장 유용.
• 계산이 쉽고 많은 방정식 불필요.
• 오피앰프(Op-Amp) 같은 복잡한 소자가 있는 복잡한 회로 풀이에 사용.

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