텔레겐의 정리: 해결 예제와 MATLAB 시뮬레이션을 포함한 종합 가이드

텔레겐의 정리 – 해결 예제와 함께하는 단계별 가이드

텔레겐의 정리는 무엇인가?

네덜란드의 전기 엔지니어이자 발명가인 버나드 D.H. 텔레겐이 1952년에 발표한 텔레겐의 정리는 네트워크 분석에서 가장 중요하고 기본적인 정리입니다. 다른 대부분의 정리는 이 정리에서 파생됩니다.

텔레겐의 정리는 키르히호프의 법칙에 의존합니다. 따라서 이 정리는 키르히호프의 법칙을 따르는 네트워크에 적용할 수 있습니다. 이 정리는 선형 또는 비선형, 시변 또는 시불변, 수동 또는 능동 소자를 가진 광범위한 네트워크에 적용 가능합니다.

텔레겐의 정리는 다음과 같이 정의합니다:

텔레겐의 정리는 에너지 보존 법칙의 원리에 기반합니다. 이 정리는 화학 및 생물학적 응용에서 물리적 네트워크의 동적 거동을 찾는 데 사용됩니다. 신호 처리에서는 필터 설계에 활용됩니다.

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수학적 방정식

정리의 일반적인 분석을 위해 네트워크에 'n'개의 소자가 있다고 가정합니다. 각 소자를 흐르는 순간 전류는 i₁, i₂, i₃, …, iₙ이고, 각 분기의 순간 전압은 v₁, v₂, v₃, …, vₙ입니다.

따라서 소자 1의 순간 전류와 전압은 i₁과 v₁이며, 이 소자가 소비하는 순간 전력(p₁)은 v₁i₁입니다.

p₁ = v₁ i₁

소자 2의 순간 전력(p₂)은:

p₂ = v₂ i₂

마찬가지로 n번째 소자의 순간 전력(pₙ)은:

p_n = v_n i_n

텔레겐의 정리에 따르면, 모든 순간 전력의 합은 0입니다. 즉, p₁, p₂, p₃, …, pₙ을 모두 더해야 합니다.

p₁ + p₂ + p₃ + … + p_n = 0

v₁ i₁+ v₂ i₂ + v₃ i₃ + … + v_n i_n = 0

일반적으로 k번째 분기에 대해 위 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

여기서,

• n = 네트워크의 총 분기 수
• v_k = k번째 분기의 순간 전압
• i_k = k번째 분기의 순간 전류
• p_k = k번째 분기의 순간 전력

아래 그림에서 분기 AB가 분기 k와 같다고 가정합니다.

따라서 순간 전압 v_k는:

v_k = v_a – v_b

분기(a → b)를 흐르는 순간 전류 i_k는:

i_k = i_ab

순간 전력 p_k는:

p_k = v_k i_k = (v_a – v_b) i_ab ….. (1)

이제 순간 전류의 반대 방향(b → a)을 고려합니다:

i_ab = – i_ab

순간 전압:

v_k = v_b – v_a

순간 전력 p_k는:

p_k = v_k i_k = (v_b – v_a) i_ba ….. (2)

방정식 (1)과 (2)를 더하면:

2v_k i_k = (v_a – v_b) i_ab + (v_b – v_a) i_ba

v_k i_k = 1/2 [(v_a – v_b) i_ab + (v_b – v_a) i_ba] ….. (3)

이 방정식은 n-분기에 대해 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

키르히호프 전류 법칙에 따르면, 회로 노드에서 전류의 대수적 합은 0입니다.

따라서,

이 값을 방정식 (4)에 대입하면:

따라서 네트워크에 공급되는 전력의 합이 0임이 증명되었습니다. 즉, 텔레겐의 정리가 증명된 것입니다. 또한 네트워크 소자가 흡수하는 전력의 합이 소스가 공급하는 전력의 합과 같다는 것도 설명됩니다.

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텔레겐의 정리를 위한 단계

텔레겐의 정리로 전기 네트워크를 풀기 위해 다음 단계를 따릅니다.

1단계: 주어진 전기 네트워크의 분기 수를 찾습니다. 그런 다음 각 분기에서 소모되는 전력을 구합니다. 이를 위해 관례적인 분석 방법을 사용하여 해당 분기의 전압 또는 전류를 찾습니다.

2단계: 각 분기의 순간 전력을 구합니다.

3단계: 에너지 소스가 있는 분기를 전력 공급 분기로, 다른 소자가 있는 분기를 전력 흡수 분기로 간주합니다. 이제 전력 공급 분기와 전력 흡수 분기를 식별합니다.

4단계: 전력 공급 분기에는 양수 부호, 전력 흡수 분기에는 음수 전압 강하 부호를 가정합니다. 반대 부호를 가정해도 되지만, 예제 전체에서 일관성을 유지해야 합니다.

5단계: 텔레겐의 정리를 검증하기 위해 모든 분기에서 계산된 전력을 더합니다. 이 합은 항상 0이어야 합니다.

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예제를 통해 이해해 봅시다.

텔레겐의 정리 해결 예제

예제 #1

아래 네트워크에 대해 텔레겐의 정리를 검증하세요.

해결:

1단계: 주어진 회로 네트워크는 5개의 분기를 가집니다. 순간 전력을 계산하기 위해 각 분기를 흐르는 전류를 찾아야 합니다. 이를 위해 KVL을 네트워크에 적용합니다.

루프 1에 KVL 적용:

15 = 12I₁ – 3I₂

루프 2에 KVL 적용:

12 = – 3I₂ + 6I₂

위 방정식을 풀면 루프 전류 I₁과 I₂의 값을 구할 수 있습니다:

I₁ = 2A

I₂ = 3A

2단계: 분기 3을 흐르는 전류는:

I₁₂ = I₂ – I₁ = 3 – 2 = 1A

모든 분기를 흐르는 전류를 알았습니다. 이제 각 분기의 전력을 구합니다.

P₁ = V I₁ = 15 × 2 = 30W

P₂ = R₁ I₁² = 9 × 4 = 36W

P₃ = R₁ I₁₂² = 3 × 1 = 3W

P₄ = R₃ I₂² = 3 × 9 = 27W

P₅ = V I₂ = 12 × 3 = 36W

3단계: 두 분기에 소스가 있습니다. 이 분기들은 전력 공급 분기이고, 나머지 세 분기는 전력 흡수 분기입니다.

이 예제에서는 전력 공급 분기의 부호를 양수, 전력 흡수 분기의 부호를 음수로 가정합니다. 따라서 분기 1과 5는 전력 공급 분기이고, 나머지는 전력 흡수 분기입니다.

4단계: 전력 P₁과 P₅는 양수(공급 분기), P₂, P₃, P₄는 음수(흡수 분기)입니다.

5단계: 이제 모든 분기에서 소모된 전력의 합을 구합니다.

P₁ – P₂ – P₃ – P₄ + P₅ = 30W – 36W – 3W – 27W + 36W = 0W

순간 전력의 합이 0입니다. 따라서 이 정리가 증명되었습니다.

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예제 #2

텔레겐의 정리를 사용하여 6A 전류 소스 양단의 전압을 구하세요.

해결:

1단계: 소자를 흐르는 전압 또는 전류를 계산해야 합니다. 이를 위해 주어진 네트워크에 KCL 또는 KVL을 적용합니다.

루프 2에 KVL 적용:

-12 = 8I₂ – 6I₁

전류 소스가 있는 분기를 흐르는 전류 I₁:

I₁ = 6A

이 값을 위 방정식에 대입:

-12 = 8I₂ – 6(6)

-12 = 8I₂ – 36

36 – 12 = 8I₂

24 = 8I₂

I₂ = 3A

2단계: 분기 2를 흐르는 전류는:

I₁₂ = I₁ – I₂ = 6 – 3 = 3A

이제 각 분기의 전력을 구합니다:

P₁ = V I₁ = V × 6 = 6 × V

P₂ = R₁ I₁₂² = 6 × 9 = 54W

P₄ = R₂ I₂² = 2 × 9 = 18W

P₄ = V I₂ = -12 × 3 = -36W

3단계: 두 분기에 에너지 소스가 있으므로 이 분기들을 전력 공급 분기로 간주하고 순간 전력에 양수 부호를 부여합니다.

나머지 두 분기는 저항만 있으므로 전력 흡수 분기이며 음수 부호를 부여합니다.

4단계: 전력 P₁과 P₄는 양수, P₂와 P₃는 음수입니다.

5단계: 이제 모든 순간 전력을 합산합니다.

P₁ – P₂ – P₃ + P₄ = 0W

P₁ – 54 – 18 + 36 = 108W

6A 전류 소스가 공급하는 전력은 108W입니다. 따라서 전류 소스 양단의 전압은:

P₁ = V I

108W = V × 6A

V = 18V

따라서 전류 소스 양단의 전압은 18V입니다.

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MATLAB을 이용한 텔레겐의 정리 분석 및 시뮬레이션

목적:

위 예제의 회로도에 대해 텔레겐 정리를 증명합니다.

필요 사항: MATLAB

이론:

텔레겐의 정리에 따르면 모든 분기의 순간 전력 합은 0입니다. 이를 증명하기 위해 모든 분기의 순간 전력을 계산해야 합니다.

순간 전력을 구하려면 모든 분기의 전압 또는 전류를 계산해야 합니다. 이를 위해 KCL 또는 KVL 정리를 사용할 수 있지만, 여기서는 MATLAB Simulink 모델을 사용하여 전류와 전압을 구합니다.

멀티심, PSIM 등 다른 소프트웨어도 사용할 수 있습니다. Simulink 모델에 회로도를 구성하면 각 분기의 전압과 전류를 구할 수 있습니다.

이후 전압과 전류로부터 순간 전력을 구할 수 있습니다. 일부 소프트웨어에서는 순간 전력을 직접 구할 수도 있습니다.

MATLAB Simulink 모델

아래 그림은 위 예제의 회로도를 보여줍니다.

이 그림에서 디스플레이를 통해 전압과 전류를 직접 확인할 수 있습니다. 이 값들을 KVL과 KCL을 사용하여 계산한 값들과 비교할 수 있습니다.

계산

전압 또는 전류를 계산한 후 순간 전력을 구합니다. 또는 소프트웨어에서 직접 순간 전력을 구할 수도 있습니다. 필요한 것은 순간 전력이며, 이후 모든 전력을 더합니다.

전력의 합은 항상 0입니다. 이 예제에서는 Simulink에서 구한 전압과 전류 값을 이전 예제에서 KVL과 KCL로 계산한 값들과 비교했습니다. 두 값은 일치합니다.

이 값들은 브레드보드에 저항과 소스를 연결하여 실험적으로도 계산할 수 있습니다. 전압계와 전류계를 사용하여 모든 분기를 흐르는 전압과 전류를 측정할 수 있습니다.

따라서 텔레겐의 정리가 증명되었습니다.

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텔레겐의 정리 응용

이 정리는 매우 기초적이며 회로 분석에서 널리 사용됩니다. 주요 응용 분야는 다음과 같습니다.

• 디지털 신호 처리 응용에서 필터 설계에 매우 유용합니다.
• 화학 플랜트의 안정성을 판단하기 위해 화학 공학에서 사용됩니다.
• 선형-비선형, 능동-수동, 시변/시불변 소자를 가진 집약 시스템에 적용됩니다.
• 생물학적 공정에 사용됩니다.
• 위상 및 구조 반응 분석에 사용됩니다.
• 물리적 네트워크의 동적 거동을 찾는 데도 사용됩니다.

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