MATLAB 미적분 입문: 극한, 미분, 적분, 미분방정식 기초

극한 계산 (limit 함수)

MATLAB limit 함수는 표현식의 극한을 계산합니다. 기본 형태는 독립 변수가 0으로 갈 때 극한을 구합니다. 심볼릭 변수 선언(syms)이 필요합니다.

예제: x→0에서 (x³+5)/(x⁴+7) 극한

syms x
limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))

결과: ans = 5/7

x→a 극한 구하기

limit((x - 3)/(x-1), 1)  % x→1
limit(x^2 + 5, 3)        % x→3

결과: NaN (발산), 14

Octave에서 극한 계산 (symbolic 패키지)

pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
subs((x^3+5)/(x^4+7), x, 0)

결과: 0.714285714285714 (=5/7)

극한의 기본 성질 검증

대수적 극한 정리: 합/차/곱/몫의 극한 = 극한의 합/차/곱/몫.

두 함수: f(x) = (3x+5)/(x-3), g(x) = x²+1에서 x→4 극한 검증.

syms x
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;
l1 = limit(f, 4)
l2 = limit(g, 4)
lAdd = limit(f + g, 4)
lSub = limit(f - g, 4)
lMult = limit(f*g, 4)
lDiv = limit(f/g, 4)

결과:

l1 = 17
l2 = 17
lAdd = 34
lSub = 0
lMult = 289
lDiv = 1

극한 성립 확인: 17+17=34, 17-17=0, 17×17=289, 17/17=1.

좌극한/우극한 (Left/Right Sided Limits)

불연속점에서 좌우 극한이 다르면 극한이 존재하지 않습니다. limit(f, x, a, 'left'), limit(f, x, a, 'right')로 계산.

예제: f(x) = (x-3)/|x-3| 에서 x→3 극한

f = (x - 3)/abs(x-3);
ezplot(f, [-1,5])
l = limit(f, x, 3, 'left')
r = limit(f, x, 3, 'right')

그래프: x=3에서 불연속 (점프).

결과: l = -1, r = 1 → 좌우 극한 다름 → 극한 없음.