MATLAB diff 명령으로 심볼릭 도함수 계산: 규칙 검증과 극값 찾기

diff 명령으로 도함수 계산

MATLAB diff 명령은 심볼릭 도함수를 계산합니다. 기본 형태: diff(f).

예제: f(t) = 3t² + 2t⁻² 미분

syms t
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
diff(f)

결과: ans = 6*t - 4/t^3

Octave equivalent

pkg load symbolic
symbols
t = sym("t");
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
differentiate(f, t)

미분 기본 규칙 검증

주요 규칙:

1. 선형성: (af+bg)' = af' + bg'
2. 합/차: (f±g)' = f' ± g'
3. 곱: (fg)' = f'g + g'f
4. 몫: (f/g)' = (f'g - g'f)/g²
5. 거듭제곱: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, 상수 미분 = 0
6. 연쇄 법칙: (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)

다양한 함수 미분 예제

syms x t
f = (x + 2)*(x^2 + 3);          der1 = diff(f)
f = (t^2 + 3)*(sqrt(t) + t^3);   der2 = diff(f)
f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2); der3 = diff(f)
f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1);     der4 = diff(f)
f = (x^2 + 1)^17;                der5 = diff(f)
f = (t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^(-6); der6 = diff(f)

결과는 곱/몫/연쇄 법칙이 적용된 형태로 나옵니다.

지수, 로그, 삼각함수 도함수표

함수	도함수
c^(a·x)	c^(a·x)·ln c·a
e^x	e^x
ln x	1/x
log_c x	1/(x·ln c)
x^x	x^x·(1+ln x)
sin x	cos x
cos x	-sin x
tan x	sec²x = 1+tan²x
cot x	-csc²x = -(1+cot²x)
sec x	sec x·tan x
csc x	-csc x·cot x

예제: 다양한 초월함수 미분

syms x
y = exp(x);        diff(y)  % exp(x)
y = x^9;           diff(y)  % 9*x^8
y = sin(x);        diff(y)  % cos(x)
y = tan(x);        diff(y)  % tan(x)^2 + 1
y = cos(x);        diff(y)  % -sin(x)
y = log(x);        diff(y)  % 1/x
y = log10(x);      diff(y)  % 1/(x*log(10))
y = sin(x)^2;      diff(y)  % 2*cos(x)*sin(x)
y = cos(3*x^2+2*x+1); diff(y) % -sin(...)*(6*x+2)
y = exp(x)/sin(x); diff(y)  % exp(x)/sin(x) - exp(x)*cos(x)/sin(x)^2

고차 도함수 계산

diff(f, n)으로 n계 도함수 계산.

f = x*exp(-3*x);
diff(f, 2)

결과: 9*x*exp(-3*x) - 6*exp(-3*x)

응용 예제: 미분방정식 검증

y = 3sin(x) + 7cos(5x) 일 때 y'' + y = -5cos(2x) 인가?

syms x
y = 3*sin(x) + 7*cos(5*x);
lhs = diff(y,2) + y;
rhs = -5*cos(2*x);
if isequal(lhs, rhs)
    disp('Yes, the equation holds true');
else
    disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs)

결과: 성립하지 않음, LHS = -168*cos(5*x)

곡선의 극값(최대/최소) 찾기

정지점: f'(x) = 0 인 점. 구간 [-2, 2]에서 f(x) = 2x³ + 3x² - 12x + 17의 극값 찾기.

1. 함수 정의 및 그래프: ezplot(y, [-2,2])
2. 도함수: g = diff(y) → 6*x^2 + 6*x - 12
3. 정지점: solve(g) → x = 1, -2
4. 함수값 평가: subs(y, 1) = 10, subs(y, -2) = 37

따라서 구간 [-2,2]에서 최솟값 10(x=1), 최댓값 37(x=-2).

미분방정식 풀기 (dsolve)

dsolve로 심볼릭 해 구하기. 미분 표기: Df = f', D2y = f''.

1계: y' = 5y

dsolve('Dy = 5*y')

해: C2*exp(5*t)

2계: y'' - y = 0, y(0)=-1, y'(0)=2

dsolve('D2y - y = 0', 'y(0) = -1', 'Dy(0) = 2')

해: exp(t)/2 - (3*exp(-t))/2