MATLAB 변환: 라플라스, 푸리에, FFT 완벽 가이드

라플라스 변환 (Laplace Transform)

시간 함수 f(t)의 라플라스 변환: F(s) = ∫₀^∞ f(t)e^{-st} dt. 미분방정식을 대수방정식으로 변환해 풀이 단순화.

MATLAB: laplace(f(t))

예제: 주요 함수 라플라스 변환

syms s t a b w
laplace(a)           % a/s
laplace(t^2)         % 2/s^3
laplace(t^9)         % 362880/s^10
laplace(exp(-b*t))   % 1/(b+s)
laplace(sin(w*t))    % w/(s^2+w^2)
laplace(cos(w*t))    % s/(s^2+w^2)

역라플라스 변환 (ilaplace)

ilaplace(1/s^3)  % t^2/2

예제

syms s t a b w
ilaplace(1/s^7)           % t^6/720
ilaplace(2/(w+s))         % 2*exp(-t*w)
ilaplace(s/(s^2+4))       % cos(2*t)
ilaplace(exp(-b*t))       % ilaplace(exp(-b*t), t, x) (변수 지정 필요)
ilaplace(w/(s^2+w^2))     % sin(t*w)
ilaplace(s/(s^2+w^2))     % cos(t*w)

푸리에 변환 (Fourier Transform)

시간 함수 f(t)를 주파수 영역 함수 F(ω)로 변환. fourier(f) 명령 사용.

예제: f(t) = e^{-2t²} 푸리에 변환

syms x
f = exp(-2*x^2);
ezplot(f, [-2,2])
FT = fourier(f)

결과: FT = (2^(1/2)*pi^(1/2)*exp(-w^2/8))/2

ezplot(FT)로 주파수 영역 그래프 확인 가능.

역푸리에 변환 (ifourier)

f = ifourier(-2*exp(-abs(w)))

결과: f = -2/(pi*(x^2 + 1))

FFT (Fast Fourier Transform)

MATLAB은 fft 명령으로 이산 푸리에 변환(DFT)을 고속 계산합니다. 신호 처리, 스펙트럼 분석 등에 활용.

본문에서 FFT 상세 예제는 생략되었으나, fft(x), ifft(X) 등으로 시계열 데이터 주파수 분석 가능.