푸리에 변환이란 무엇입니까?

이 기사는 시스템 설계 및 신호 처리에서 절대적으로 기본적인 역할을 하는 수학적 기술에 대한 필수 정보를 제공합니다.

프랑스 수학자 Joseph Fourier의 이름을 따서 명명된 푸리에 변환은 주파수 내용을 결정할 수 있는 수학적 절차입니다. 기능의. 전기 엔지니어의 경우 푸리에 변환은 일반적으로 신호라고 하는 시간 함수에 적용됩니다. .

사인파 분해

오실로스코프 디스플레이에서 볼 수 있듯이 전압 또는 전류 대 시간의 플롯은 신호 동작을 직관적으로 표현한 것입니다. 그러나 이것이 유일한 유용한 표현은 아닙니다.

예를 들어 RF 시스템 설계와 같은 많은 경우에 우리는 주로 신호의 주기적인 동작에 관심이 있습니다. 보다 구체적으로, 우리는 sinusoidal에 대한 신호를 이해하는 데 관심이 있습니다. 사인 곡선은 "순수한" 주파수의 고유한 수학적 표현이기 때문에 주기성입니다.

푸리에 변환은 분해하여 신호의 원소 주기성을 나타냅니다. 신호를 구성 사인파 주파수로 변환하고 이러한 구성 주파수의 크기와 위상을 식별합니다.

여기서 "분해"라는 단어가 중요합니다. 푸리에 변환은 시간 영역 신호를 구성된 파형으로 생각하도록 가르칩니다. 다양한 크기와 위상을 가진 기본 정현파.

예를 들어, 구형파는 진폭이 꾸준히 감소하고 주파수가 꾸준히 증가하는 무한 계열의 사인파로 분해될 수 있습니다. 주기 T와 진폭 A의 AC 결합 구형파에 대한 정확한 계열은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\[f_{사각형}(t)=\frac{4A}{\pi}\sum_{k\in{\{1,3,5,...\ }}}\frac{1}{k}\sin\left(\frac{2\pi kt}{T}\right)\]

이것을 좀 더 직관적인 다음 형식으로 변환할 수 있습니다.

\[f_{사각형}(t)=\frac{4A}{\pi}\left(\sin(2\pi ft)+\frac{1}{3 }\sin(6\pi ft)+\frac{1}{5}\sin(10\pi ft)+\ ...\right)\]

여기서 f는 구형파의 주파수(헤르츠)입니다.

다음 플롯은 원래 구형파(파란색)와 무한 급수의 처음 8개 정현파를 보여줍니다.

이 플롯을 본 후에도 이러한 정현파가 구형파로 결합될 수 있다는 점에 여전히 약간 회의적일 수 있습니다. 그러나 다음 줄거리는 당신을 설득할 것입니다. 원래 구형파와 추가하여 생성된 파형을 보여줍니다. 위에 표시된 모든 구성 정현파.

시간과 주파수의 함수

푸리에 변환을 계산할 때 시간 함수 f(t)로 시작하고 수학적 분해를 통해 주파수 함수 F(ω)를 생성합니다. (우리는 일반적으로 푸리에 변환에 대한 이론적 논의에서 각 주파수를 사용합니다.)

특정 각주파수(예:100rad/s)에서 F(ω)를 평가하면 주파수가 100rad/s인 f(t)의 정현파 성분의 크기와 위상을 알 수 있습니다. f(t)에 100rad/s에서 사인파 성분이 없으면 크기는 0이 됩니다.

하나의 함수 F(ω)가 크기와 위상을 모두 보고할 수 있는 방법이 궁금할 것입니다. 푸리에 변환은 복소수 이는 변환 자체가 f(t)의 주파수 구성 요소의 크기나 이러한 구성 요소의 위상이 아님을 의미합니다. 다른 복소수와 마찬가지로 크기나 위상을 추출하려면 추가 계산을 수행해야 합니다.

복소수 값 변환의 개념은 이산으로 작업할 때 다소 직관적입니다. 시간의 상징적 함수로 시작하여 주파수의 상징적 함수로 끝나는 "표준" 변환보다는 푸리에 변환.

이산 푸리에 변환은 일련의 숫자 값에 대해 작동하며 일련의 푸리에 계수를 생성합니다. . 이러한 계수는 일반적인 복소수(즉, a + jb 형식)이며 일반적으로 √(a ² 로 계산되는 이러한 복소수의 크기를 사용합니다. +b ² ), 신호의 주파수 내용을 분석할 때.

푸리에 변환 플로팅

주파수 내용의 플롯은 데이터시트, 테스트 보고서, 교과서 등에서 매우 일반적입니다. 우리는 종종 크기 대 주파수의 플롯을 스펙트럼으로 참조합니다. 예를 들어 "신호의 스펙트럼을 살펴봅시다"는 "푸리에 변환에서 크기 정보의 일종의 시각적 표현을 살펴보겠습니다."를 의미합니다. .”

다음 플롯은 진폭이 1이고 주파수가 1Hz인 AC 결합 구형파의 스펙트럼을 보여줍니다.

위에서 설명한 무한 시리즈의 해당 사인파 성분의 진폭과 주파수 "스파이크"의 플롯된 진폭을 비교하면 일관성이 있음을 알 수 있습니다.

푸리에 변환 계산

이 기사의 거의 끝 부분에 이르렀지만 수학적으로 정의된 신호의 푸리에 변환을 실제로 생성하는 방법을 아직 말하지 않았습니다.

솔직히 말해서 소개 기사에서 수학적 세부 사항을 철저히 탐구할 필요가 없다고 생각합니다. 오늘날 주파수 영역 분석은 사용자 친화적인 소프트웨어 기반 기술이 지배하고 있으며 엔지니어는 기호 시간을 변환하는 데 많은 시간을 소비하지 않습니다. 도메인 표현식을 기호 주파수 도메인 표현식으로 변환합니다.

그럼에도 불구하고 푸리에 변환만큼 중요한 것이 있으므로 최소한 기본 수학을 알고 있는 것이 좋습니다. 따라서 더 이상 고민하지 않고 f(t)를 F(ω)로 변환하는 방법은 다음과 같습니다.

\[F(\omega ) =\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f(t){e^{ - j\omega t} }dt}\]

결론

이 기사가 푸리에 변환이 무엇이며 신호의 특성에 대한 추가 통찰력을 제공하는 방법에 대한 명확하고 직관적인 설명을 제공했기를 바랍니다.

푸리에 변환은 광범위한 관련 주제의 시작에 불과합니다. 자세히 알아보려면 아래 나열된 기사를 살펴보세요.

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<울>

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