나노물질
산업 제조
기하학적 위상은 광범위한 과학 및 기술에 잠재적으로 적용할 수 있는 진동의 파동 함수의 추가 위상 진화입니다. 탄소나노튜브 기반 나노와이어 공진기의 압착 상태에서 기하학적 위상의 특성은 불변 연산자 방법을 통해 조사되었습니다. 복잡한 시간 종속 해밀턴 시스템을 처리하는 데 유용한 선형 불변 연산자의 도입으로 기하학적 위상의 분석 공식을 도출할 수 있었습니다. 이를 활용하여 관련 일러스트레이션을 기반으로 기하학적 위상의 시간 거동을 분석했습니다. 기하학적 위상의 진화에 대한 압착 매개변수의 영향이 조사되었습니다. 일반적으로 기하학적 위상은 진동하고 이러한 진동의 포락선은 시간이 지남에 따라 증가합니다. 진동의 고전적 진폭, 감쇠 계수 및 구동력의 진폭과 같은 매개변수가 크면 기하학적 위상의 증가율이 커집니다. 시스템의 각주파수가 공진 각주파수 근처에 도달하는 경우 시간이 지남에 따라 기하학적 위상이 매우 급격하게 증가하는 것을 확인했습니다. 기하학적 위상의 특성에 관한 우리의 개발은 나노와이어 진동의 토폴로지 특징을 이해하는 데 중요합니다.
탄소나노튜브 기반(CNT 기반) 나노와이어[1-3], 반도체 나노와이어[4], 그래핀[5], 부상 입자[6]와 같은 가장 작은 공진기의 기계적 진동은 주요 연구 주제였습니다. 10년 넘게 나노과학 커뮤니티에서 외부의 주기적인 힘에 의해 구동되는 나노와이어 공진기의 전기기계적 진동에 관한 연구는 이론과 실험의 영역에서 활발하게 이루어지고 있다. 특히, CNT 기반 나노와이어 공진기는 주변의 작은 섭동에 대한 고품질 인자로 놀라운 감도로 인해 나노 규모의 기계 장치로 상당한 관심을 끌고 있습니다. 매달린 CNT 기반 나노와이어 공진기는 전자파[2], 작은 힘[7], 질량[8], 온도[9], 소음[10]과 같은 광범위한 물리량을 측정하는 장치의 유망한 후보입니다.
나노와이어 진동의 양자 위상 진화 분석은 이론적으로 시스템의 기본 기능을 설명하는 데 필요합니다. CNT 기반 나노와이어 공진기[11]의 양자 진동 상태와 관련하여, 일반적인 동적 위상과 마찬가지로 기하학적 위상[12]이 위상의 추가 진화로 나타납니다. 기하학적 위상[12]은 다양한 물리학 분야에 적용할 수 있는 양자 상태의 홀로노믹(holonomic)이다. 기하학적 위상의 분석은 공명 프로파일[13, 14], 강한 양자 진동[15, 16], 변형 완화 메커니즘[17, 18], Dirac 마그네플라즈몬의 출현과 같은 나노와이어의 나노 특성을 특성화하는 데 잠재적으로 채택될 수 있습니다. [19], 그리고 Aharonov-Bohm 진동의 토폴로지 [20].
비단열 역학과 관련된 기하학적 위상에 대한 연구는 정확한 시뮬레이션 기술의 발전에 필요한 나노기계 시스템에 대한 통찰력을 제공할 수 있습니다[21]. 양자 상태의 준비, 조작 및 감지는 양자 기술에서 중요한 요소입니다. 현재 연구의 목적은 나노와이어 진동의 양자 상태에서 발생하는 기하학적 위상의 시간 거동을 밝히는 것입니다. CNT 기반 나노와이어 진동의 메커니즘을 이해하기 위해 코히어런트 상태와 같은 고전적 양자 상태인 압착 상태에서 기하학적 위상의 시간 진화를 조사합니다. 압착 상태의 장점은 그 상태에서 구적법의 불확도가 다른 구적법의 불확도를 높이는 대신 상당히 감소될 수 있는 반면, 이러한 불확도 변조는 일관성 있는 상태에서는 불가능하다는 것입니다. 특히 공진이 기하학적 위상에 미치는 영향을 분석합니다. 공진 에너지는 비공진 상태의 에너지와 상당히 다르기 때문에[22, 23], 파동 함수의 위상 동작은 사소하지 않으며 정상적인 상황에서와 상당히 다를 수 있습니다. 기하학적 위상의 진화에 대한 물리적 매개변수 및 압착 매개변수의 변경 영향도 엄격하게 분석됩니다. 기하학적 위상은 역학 시스템[24]에서 어디에나 있으며 양자 계산[25], 강도 간섭계[26], 광자 멀티태스킹[27], 양자 감지 프로토콜[28] 및 파동과 같은 다양한 현대 기술에 적용될 수 있습니다. -안정성 측정 [29].
시스템의 Hamiltonian은 시스템의 감쇠 및 외부 구동력과 관련된 시간 함수를 포함합니다. 따라서 이 시스템은 양자역학적 문제가 최근까지 광범위하게 연구되고 있는 일종의 TDHS(time-dependent Hamiltonian System) 시스템이다. TDHS의 Hamiltonian에서 시간 함수는 대부분의 경우 표준 변수의 함수에서 분리될 수 없으므로 슈뢰딩거 방정식을 풀기 위한 기존의 변수 분리 방법을 사용할 수 없습니다. 이러한 어려움을 극복하기 위해 개발된 강력한 대안 방법은 Lewis와 Riesenfeld[30, 31]에 의해 도입된 불변 연산자 방법입니다. 이 방법은 TDHS의 양자 솔루션을 도출할 때 매우 유용한 수학적 도구입니다. 이 방법을 기반으로 TDHS에서 설명하는 많은 양자 역학 문제가 조사됩니다. 예를 들어, 여기에는 혼돈 입자 산란[32], 시변 매질에서의 광 전파[33], 갇힌 구동 전자의 제어[34], 양자 나노전자 회로의 비고전성[35]이 포함됩니다. TDHS의 양자 역학 처리에는 단일 변환 방법[36], Lie algebraic 방법[37] 및 Hamiltonian 추정 방법[38]을 포함하는 다양한 다른 방법이 있습니다.
시스템이 TDHS라는 점과 관련하여 시스템의 양자 솔루션을 얻기 위해 불변 연산자 방법을 사용합니다. 소멸 연산자로 표현되는 선형 불변 연산자를 소개합니다. 소멸 및 생성 연산자는 시스템의 시간 종속성으로 인해 시간 측면에서 표현되지만 이러한 사다리 연산자를 사용하여 일관성 및 압착 상태를 모두 얻을 수 있습니다. 시스템의 기하학적 위상은 압착된 상태에서 파동 함수를 활용하여 분석적으로 평가됩니다. 다양한 매개변수 선택으로 묘사된 그림을 기반으로 기하학적 단계의 시간 변화를 자세히 분석합니다.
기하학적 위상을 조사하려면 먼저 나노와이어 팁의 고전적인 운동 방정식을 설정해야 합니다. TDHS의 양자파 진화에서 기하학적 위상이 나타나기 때문에 우리가 관리하는 특정 양자 상태에서 파동 함수를 도출할 필요가 있습니다. 서론 부분에서 언급한 압착된 상태를 고려합니다. 압착 상태를 포함하여 TDHS의 다양한 양자 상태에서 파동 함수는 불변 연산자 방법에서 얻을 수 있습니다.
시간 종속 진폭 x에 대한 운동 방정식 유효 질량이 m인 부유 탄소 나노튜브의 굽힘 모드 [1]
$$ \ddot{x}+\left(\frac{\omega_{0}}{Q} +\eta x^{2}\right) \dot{x}+\left(\omega_{0}^{ 2}+\베타 x^{2}\right) x =f_{\mathrm{d}}\cos (\오메가 t), $$ (1)여기서 ω 0 공진 각 주파수, Q 품질 요소, f d 정전기 구동력을 m으로 나눈 값 , η 비선형 감쇠 계수 및 β 더핑 매개변수. 편의상 팁의 변위가 CNT 와이어 길이에 비해 충분히 작다고 가정해 보겠습니다. 그러면 Eq.의 비선형 항을 무시할 수 있습니다. (1), [2]로 이어지는
$$ \ddot{x}+\frac{\omega_{0}}{Q} \dot{x}+\omega_{0}^{2} x =f_{\mathrm{d}}\cos (\omega 티). $$ (2)Eq.를 산출하는 시스템의 Hamiltonian (2)
$$ \hat{H}=e^{-\gamma t} \frac{\hat{p}^{2}}{2m} +\frac{1}{2}me^{\gamma t} \left [\오메가_{0}^{2} \hat{x}^{2} - 2f_{\mathrm{d}}\cos (\오메가 t)\hat{x}\right], $$ (3)여기서 γ =ω 0 /질문 . Eq.의 고전적인 솔루션. (2) 보완 함수 X로 구성 ㄷ (그 ) 및 특정 솔루션 X p (그 ),
$$\begin{array}{@{}rcl@{}} &&X_{c}(t)=X_{c,0}e^{-\gamma t/2}\cos(\Omega t+\varphi) , \end{array} $$ (4) $$\begin{array}{@{}rcl@{}} &&X_{p}(t) =X_{p,0}\cos (\omega t - \ 델타), \end{배열} $$ (5)여기서 X ㄷ ,0 상수, \(\Omega =\sqrt {\omega _{0}^{2} - \gamma ^{2}/4}\), φ 임의의 단계이며
$$\begin{array}{@{}rcl@{}} X_{p,0}&=&\frac{f_{\mathrm{d}}}{\sqrt{\left(\omega_{0}^ {2} -\omega^{2}\right)^{2} + \gamma^{2} \omega^{2}}}, \end{array} $$ (6) $$\begin{array} {@{}rcl@{}} \delta &=&\tan^{-1} \frac{\gamma \omega}{ \omega_{0}^{2} -\omega^{2}}. \end{배열} $$ (7)운동량 공간의 고전적인 솔루션은 유사한 방식으로 제공됩니다. 여기서 보완 함수는 \(P_{c} (t) =me^{\gamma t} \dot {X}_{c}(t)\) 특정 솔루션은 \(P_{p} (t) =me^{\gamma t} \dot {X}_{p}(t)\)입니다. 시스템의 기하학적 위상을 조사하려면 먼저 양자 솔루션을 도출해야 합니다. Eq.에 주어진 시스템의 Hamiltonian이 있음을 주목하십시오. (3) 명시적으로 시간에 의존합니다. 시스템의 양자 솔루션을 도출하기 위해 우리는 이러한 시변 시스템을 다룰 때 유용한 방법인 불변 연산자 방법[30, 31]을 사용합니다. 시스템의 불변 연산자 \(\hat {I}\)는 \({d \hat {I}}/{dt} ={\partial \hat {I}}/{\partial t} + \left [\hat {I},\hat {H}\right ]/\left (i\hbar \right) =0\). 따라서 식을 삽입한 후 엄격한 평가를 통해 (3) 이 방정식에
형식의 선형 불변 연산자 [34]가 있습니다. $$ \hat{I} =\hat{A} e^{i\Omega t}, $$ (8)여기서 \(\hat {A}\)는
에 의해 제공되는 소멸 연산자입니다. $$ \begin{정렬} \hat{A} =&\left(2\hbar m\Omega\right)^{-1/2} \left[ m \left(\Omega+ i\frac{\gamma}{ 2} \right) e^{\gamma t/2}\left[\hat{x}-X_{p}(t)\right]\right.\\ &\left.+ie^{-\gamma t /2} \left[\hat{p}-P_{p}(t)\right]\! {\vphantom{\left(\Omega+ i\frac{\gamma}{2} \right)}}\right]. \end{정렬} $$ (9)Eq.의 에르미트 접합. (9), \(\hat {A}^{\dagger }\)는 생성 연산자입니다.
\(\hat {A}\)의 고유값 방정식은
로 표현할 수 있습니다. $$ \hat{A} |A \rangle =A |A \rangle. $$ (10)위의 방정식을 평가하여
$$ A(t) =A(0) e^{-i\Omega t}, $$ (11)여기서 A (0)=A 0 이 −나 φ
$$ A_{0} =\left[m\Omega/(2\hbar)\right]^{1/2}X_{c,0}. $$ (12)일관된 상태인 동안 |A 〉는 \(\hat {A}\)의 고유 상태이고, 압착된 상태는
에 의해 주어진 연산자 \(\hat {B}\)의 고유 상태입니다. $$ \hat{B} =\mu \hat{A} + \nu \hat{A}^{\dagger}, $$ (13)여기서 μ 그리고 v 방정식을 산출하는 복잡한 변수
$$ |\mu|^{2} - |\nu|^{2} =1. $$ (14)\(\hat {B}\)의 고유값 방정식을
형식으로 작성하면 $$ \hat{B} |B \rangle =B |B \rangle, $$ (15)|비 〉는 압착된 상태입니다. 구성 공간에서 이 방정식을 풀면
$$ {\begin{정렬} \langle {x}|B\rangle =&^{4}\!\!\!\sqrt{\frac{m \Omega e^{\gamma t}}{\hbar\ 파이(\mu-\nu)(\mu^{*}-\nu^{*})}} \exp \left\{- \frac{1}{\hbar (\mu-\nu)} \left [\frac{1}{2} me^{\gamma t}\left({\vphantom{\frac{1}{2}}}(\mu+\nu)\Omega \right.\right.\right. \\ &\left.+\frac{i\gamma}{2}(\mu-\nu)\right)\left[x-X_{p}(t)\right]^{2} -[iP_{ p}(t)(\mu-\nu)+ \left(2\hbar m \Omega e^{\gamma t}\right)^{1/2} \\ &\left. \left.\times(\mu A+\nu A^{*}) ]\left[x-X_{p}(t)\right] {\vphantom{\frac{1}{2} me^{\gamma t}}}\right]-\frac{|A|^{2}+A^{2}}{2(\mu-\nu)(\mu^{*}-\nu^{*})} \오른쪽\}. \end{정렬}} $$ (16)따라서 압착 상태에서의 파동함수는 식과 같이 유도된다. (16). 시스템의 양자적 특징은 파동 함수에 대한 이러한 분석적 설명을 기반으로 명확해질 수 있습니다. μ의 경우 =1 및 ν =0, 식 (16) 식의 고유 상태인 간섭 상태에서 파동 함수로 감소합니다. (10) 구성 공간에서. 파동 함수, Eq. (16)은 압착 상태에서 기하학적 위상을 유도하기 위해 다음 섹션에서 사용됩니다.
양자파 진화의 위상에는 동적 위상뿐만 아니라 기하학적 위상도 포함된다는 것은 잘 알려져 있습니다. 기하학적 위상은 단열 변화와 함께 주기적으로 진화하는 시스템에 대해 1984년 Berry에 의해 처음 발견되었습니다[12]. 양자 역학의 단열 정리에 따르면, 매개변수 공간의 순환 진화에서 양자 상태의 순간 고유 상태는 나중에 같은 상태로 유지되는 반면, Berry 위상인 양자 위상의 추가 축적이 있습니다. 양자 시스템의 nonadiabatic, noncyclic 및/또는 non-unitary 진화를 포함하는 방식으로 Berry 단계의 일반화는 기하학적 단계입니다.
압착된 상태의 기하학적 위상은
$$ \감마_{G}(t) =\int_{0}^{t} \langle B(t') |i\frac{\partial}{\partial t'}| B(t') \rangle dt' +\gamma_{G}(0). $$ (17)구성 공간에서 시간에 대한 파동 함수의 미분은
가 됩니다. $$ \frac{\partial \langle {x}|B\rangle}{\partial t} \,=\, \left\{ f_{1}(t) \!\left[x-X_{p}( t)\right]^{2}\,+\,f_{2}(t) \left[x\,-\,X_{p}(t)\right]\,+\,f_{3}( t) \오른쪽\}\! \!\langle {x}|B\rangle, $$ (18)어디
$$ f_{1}(t) =- \frac{m\gamma e^{\gamma t}}{2\hbar (\mu-\nu)} \left((\mu+\nu)\Omega + \ frac{i\gamma}{2}(\mu-\nu) \right), $$ (19) $$ {\begin{정렬} f_{2}(t) &=\frac{1}{\hbar (\mu-\nu)}\left[ \left((\mu+\nu)\Omega + \frac{i\gamma}{2}(\mu-\nu) \right) P_{p}(t) -ime^{\감마 t} \right.\\ &\quad\times\left[\omega_{0}^{2} X_{p}(t) - f_{\mathrm{d}} \cos(\ 오메가 t)\right](\mu-\nu) +\left(2\hbar m \Omega e^{\gamma t}\right)^{1/2} \\ &\quad \left.\times\ left(\frac{\gamma}{2}\left(\mu A + \nu A^{*}\right)-i\Omega \left(\mu A - \nu A^{*}\right) \ 오른쪽) \right], \\ \end{정렬}} $$ (20) $$ {\begin{정렬} f_{3}(t) &\!=\frac{\gamma}{4}-\frac {1}{\hbar me^{\gamma t}(\mu-\nu)} \left[iP_{p}(t)(\mu-\nu) + \left(2\hbar m\Omega e^ {\감마 t}\right)^{1/2} \right.\\ &\quad\left.\times\left(\mu A+\nu A^{*}\right){\vphantom{\left( 2\hbar m\Omega e^{\gamma t}\right)^{1/2}}}\right] P_{p}(t)+ \frac{i\Omega A^{2}}{(\ mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)}. \end{정렬}} $$ (21)식을 삽입한 후 추가 평가 (18) 식으로 (17)
$$ {\begin{정렬} \gamma_{G}(t) =&\int_{0}^{t} dt' \left[ A_{0}^{2}\left(\frac{\gamma^{ 2}}{4\Omega}+\Omega + g_{1} \sin\left[2\left(\Omega t'+\varphi\right)\right] +g_{2} \cos\left[2\ left(\Omega t'+\varphi\right)\right] \right) \right.\\ &\left.-A_{0}\left[ g_{3}(t') \sin\left(\Omega t'+\varphi\right) +g_{4}(t') \cos\left(\Omega t'+\varphi\right) \right]+ g_{5}(t') {\vphantom{\frac {\gamma^{2}}{4\Omega}}}\right] +\gamma_{G}(0), \end{정렬}} $$ (22)어디
$$\begin{array}{*{20}l} g_{1}~ &=\frac{\gamma}{2} + \frac{i\Omega \left(\mu\nu^{*}-\ mu^{*}\nu\right)}{(\mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)}, \end{배열} $$ (23) $$\begin{array}{*{20}l} g_{2}~ &=\frac{\gamma^{2}}{4\Omega}+\Omega\frac{2|\nu|^{2 }- \left(\mu\nu^{*}+\mu^{*}\nu\right)}{(\mu-\nu) \left(\mu^{*}-\nu^{*} \right)}, \end{array} $$ (24) $$\begin{array}{*{20}l} g_{3}(t) &=\left(\frac{2\Omega}{m \hbar e^{\gamma t}} \right)^{1/2}P_{p}(t), \end{array} $$ (25) $$ {\begin{정렬} g_{4}( t) =\frac{1}{\sqrt{2\hbar\Omega}}\left(\frac{\gamma }{\sqrt{me^{\gamma t}}}P_{p}(t) - 2 \sqrt{me^{\감마 t}}\left[\omega_{0}^{2} X_{p}(t) - f_{\mathrm{d}} \cos(\omega t)\right]\ right), \end{aligned}} $$ (26) $$ {\begin{aligned} g_{5}(t) &=\frac{P_{p}^{2}(t)}{\hbar ^{\감마 t}}+\frac{\gamma^{2}}{8\Omega}\left[2|\nu|^{2}-\left(\mu\nu+\mu^{*}\ nu^{*}\right) +1\right] \\ &\quad +\frac{i\gamma}{4(\mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{* }\right)} \left[|\mu|^{2}\left(\nu^{2}-\nu^{*2}\right)-|\nu|^{2}\left t(\mu^{2}-\mu^{*2}\right)\right.\\ &\quad\left.+ (2|\nu|^{2}+1)\left(\mu\ nu^{*}-\mu^{*}\nu\right) +(\mu-\mu^{*})(\nu-\nu^{*})\right]. \end{정렬}} $$ (27)g의 마지막 용어 5 (μ 포함) -μ * )(v −v * )는 순전히 허수이기 때문에 위상으로 부적절합니다. 따라서 이제 μ 중 하나 이상을 선택하여 이 용어를 제거합니다. 그리고 v 실제 가치로. 이 치료법은 μ 그리고 v 절대적인 위상보다는 물리적인 의미가 있습니다.
Eq.의 적분 실행에서 (22),
$$ {\begin{정렬} \gamma_{G}(t) &=A_{0}^{2}\left[\left(\frac{\gamma^{2}}{4\Omega}+\Omega \right)t + \frac{g_{1}}{\Omega}\sin(\Omega t+2\varphi) \sin(\Omega t) +\frac{g_{2}}{\Omega} \cos (\Omega t+2\varphi) \right.\\ &\quad\left.\times\sin(\Omega t) {\vphantom{\frac{\gamma^{2}}{4\Omega}}} \right]\!-A_{0}\left[ \left(\frac{2m\Omega}{\hbar} \right)^{1/2}\omega X_{p,0} \bar{g}_ {3}(t) +\sqrt{\frac{2m}{\hbar\Omega}}\frac{1}{4\omega^{2}+\gamma^{2}}\bar{g}_{ 4}(t) \right]\\ &\quad+ \bar{g}_{5}(t) +\gamma_{G}(0), \end{정렬}} $$ (28)여기서 \(\bar {g}_{i}(t)~(i=3,4,5)\)는
$$ \bar{g}_{i}(t) =G_{i}(t) -G_{i}(0), $$ (29)$$ {\begin{정렬} G_{3}(\tau) &=e^{\gamma \tau/2}\left(\frac{1}{4(\Omega+\omega)^{2}+\ gamma^{2}} \left\{2(\Omega+\omega)\sin[(\Omega+\omega)\tau+\varphi-\delta] \right.\right.\\ &\quad\left.+\ 감마 \cos[(\Omega+\omega)\tau+\varphi-\delta] \right\}- \frac{1}{4(\Omega-\omega)^{2}+\gamma^{2}} \ { 2(\Omega-\omega) \\ &\quad\left.\left.\times\sin[(\Omega-\omega)\tau\,+\,\varphi\,+\,\delta]\ !+\감마 \cos[(\Omega-\omega)\tau\,+\,\varphi\,+\,\delta]\right\} {\vphantom{\frac{1}{4(\Omega+\ 오메가)^{2}+\감마^{2}}}}\right),\\ \end{aligned}} $$ (30) $$ {\begin{aligned} G_{4}(\tau) &=e^{\감마 \tau/2} \left\{X_{p,0} \left\{ \gamma\omega[ 2\omega\cos(\omega \tau-\delta)-\gamma \sin( \omega \tau-\delta)] -2\omega_{0}^{2} \right.\right.\\ &\quad\left.\times[2\omega\sin(\omega \tau-\delta )+\gamma \cos(\omega \tau-\delta)] {\vphantom{X_{p,0}}}\right\}+2f_{\mathrm{d}} [ 2\omega\sin(\omega \tau) \\ &\left.\left.\quad+\gamma \cos(\omega \tau)\right]{\vphantom{X_{p,0}}}\right\}, \\ \end{정렬 }} $$( 31) $$ {\begin{정렬} G_{5}(\tau) &=\frac{m\omega^{2}}{2\hbar}X_{p,0}^{2} \frac{e ^{\감마 \tau}}{\감마 \left(4\omega^{2}+\gamma^{2}\right)} \left\{ \gamma^{2}+4\omega^{2} -\gamma^{2} \cos[2(\omega\tau -\delta)]\right.\\ &\quad\left.-2\gamma\omega \sin[2(\omega\tau -\delta )] {\vphantom{\gamma^{2}+4\omega^{2} -\gamma^{2}}}\right\} +\frac{\gamma^{2} \tau}{8\Omega }\left[2|\nu|^{2}-\left(\mu\nu+\mu^{*}\nu^{*}\right)+1\right] \\ &\quad+\frac{i \감마 \tau}{4(\mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)} \left[|\mu|^{2}\left(\nu ^{2}-\nu^{*2}\right)-|\nu|^{2}\left(\mu^{2}-\mu^{*2}\right)\right.\\ &\quad\left.+\left(2|\nu|^{2}+1\right)\left(\mu\nu^{*}-\mu^{*}\nu\right)\right]. \end{정렬}} $$ (32)
따라서 우리는 압착 상태에서 전체 기하학적 위상을 평가했으며, 이는 Eq. (28) 식과 함께 (23), (24), (29)-(32).
기하학적 위상의 시간 변화는 그림 1 및 2에 설명되어 있습니다. 1, 2, 3, 4. 그림 1에서 기하학적 위상이 진동하고 이러한 진동의 포락선이 시간이 지남에 따라 증가함을 알 수 있습니다. 봉투의 증가는 A일 때 더 큽니다. 0 크다. 진동의 패턴은 μ의 값에 따라 점차적으로 불규칙해집니다. 그리고 v 증가하다. 또한 시간이 지날수록 진동의 진폭이 커집니다.
<그림>
A의 여러 다른 값에 대한 기하학적 위상의 시간 변화 0 . (μ의 값 , v ) 그래픽에 사용된 a는 (1, 0)입니다. , (\(\sqrt {2}\), 1) b 및 (\(\sqrt {3}\), \(\sqrt {2}\)) c . m을(를) 사용했습니다. =1, ω 0 =1, ω =5, γ =0.35, f d =1, \(\hbar =1\), φ =0 및 γ G (0)=0. 위상 및 모든 매개변수는 편의상 무차원으로 간주하며 이 규칙은 다음 그림에도 적용됩니다. 왜냐하면 A 0 고전적 진폭 X ㄷ ,0 보완 기능의 [Eq. (12)], 진동 진폭이 높을 때 기하학적 위상이 큰 것을 그래픽에서 확인할 수 있습니다. 우리는 또한 γ G (그 )는 μ 값만큼 커집니다. 그리고 v 식에 주어진 조건에서 증가합니다. (14)
<그림>
γ의 여러 다른 값에 대한 기하학적 위상의 시간 진화 . ω의 값 그래픽에 사용된 값은 a에 대해 0.3입니다. , b의 경우 0.99 , 및 c의 경우 5 . 여기에서 선택한 압착 매개변수는 \(\mu =\sqrt {2}\) 및 ν입니다. =1; 이 선택은 q를 제공합니다. - 초기에 압착된 상태. 우리가 사용한 다른 수량은 m입니다. =1, ω 0 =1, A 0 =1, f d =1, \(\hbar =1\), φ =0 및 γ G (0)=0. 감쇠 계수 γ일 때 기하학적 위상이 크다는 것을 확인합니다. 대부분의 경우 크지만 전부는 아닙니다. 사례 b의 빈도 공진 주파수에 가깝지만 a 및 c 공명과는 거리가 멀다. 공진 케이스의 기하학적 위상(b ) 시간이 지남에 따라 매우 빠르게 증가합니다.
<사진>
아 –ㄷ 이 그래픽은 Fig. 2와 같지만, 선택된 squeezing 매개변수가 \(\mu =\sqrt {2}\) 및 ν인 경우 =−1은 p를 제공합니다. - 초기에 압착된 상태. 이 경우의 전체적인 그래픽은 그림 2의 해당 그래픽과 크게 다르지 않다는 점에서 γ의 진화를 확인할 수 있다. G (그 )는 μ의 절대값이 있는 한 압착 유형과 거의 관련이 없습니다. 그리고 v 변경하지 마십시오
<그림>
f의 여러 다른 값에 대한 기하학적 위상의 시간 변화 d . ω의 값 그래픽에 사용된 값은 a에 대해 0.3입니다. 및 b의 경우 5 . \(\mu =\sqrt {2}\), ν를 사용했습니다. =1, m =1, ω 0 =1, γ =0.3, A 0 =1, \(\hbar =1\), φ =0 및 γ G (0)=0. 진폭(f d )의 구동력이 증가하면 기하학적 위상이 커집니다.
압착 매개변수 c에 따른 압착 상태에서의 압착 효과 여기서 c =μ /v ref에서 조사되었습니다. [39]. ref에 주어진 분석에 따르면. [39](참고문헌 [39]의 그림 1(a) 참조)에서 \(c=\sqrt {2}\)에 해당하는 그림 2의 압착 상태는 q - 초기에는 압착된 상태이며, 그림 3에서 \(c=-\sqrt {2}\)에 해당하는 것은 p - 같은 상황에서 압착된 상태. 그림을 비교하여 2와 3을 서로 비교하면 q의 기하학적 위상이 -squeezed 상태는 p의 상태와 거의 동일합니다. -압착 상태입니다.
γ의 효과 기하학적 위상의 진화에 대해 Fig. 2 및 3. γ일 때 기하학적 위상이 더 빠르게 증가합니다. 크다. 그림을 비교하여 도 2a 및 도 3a를 참조한다. 2c 및 3c에서 ω일 때 기하학적 위상이 다소 빠르게 변하는 것을 확인할 수 있습니다. 공진 각 주파수보다 큽니다.
시스템의 공진 상태 또는 그 근처에서 기하학적 위상의 시간 거동은 매우 중요할 수 있습니다[22, 23]. 그림 2b와 3b는 ω일 때 기하학적 위상이 매우 빠르게 증가함을 보여줍니다. 공진 각 주파수에 가깝습니다. 이것은 기하학적 위상의 크기가 파동 함수의 시간 변화와 관련되기 때문에 이 상황에서 파동 함수가 시간에 따라 크게 변한다는 것을 의미합니다. 실제로 공진 상태에서는 와이어 진동의 진폭이 현저히 증가합니다. 그런데 매달린 CNT 기반 나노와이어 공진기의 공진 각 주파수는 높을 뿐만 아니라 매우 높은 품질 요소로 광범위하게 조정할 수 있습니다[3]. 이러한 이유로 시스템의 진동 모드는 완전히 감쇠될 때까지 오랫동안 유지됩니다[11].
그림 4는 기하학적 위상이 구동력 f의 진폭에도 영향을 받는 것을 보여줍니다. d . f로 d 증가하면 시간에 따른 기하학적 위상의 증가가 빠릅니다.
우리는 슈뢰딩거 방정식을 사용하여 양자 역학을 기반으로 시스템에 대한 압착 상태의 기하학적 위상을 조사했습니다. 시스템을 설명하는 Hamiltonian의 시간 의존성과 관련하여, Hamiltonian을 시간으로 설명하는 경우 양자 솔루션을 도출하기 위한 잠재적인 도구인 불변 연산자 방법이 도입되었습니다. 이 방법을 통해 CNT 기반 나노와이어 진동에 대한 기하학적 위상의 분석 공식을 얻었습니다.
기계적 진동에 대한 이론적 이해에 필요한 위상 효과에 대한 자세한 분석이 수행되었습니다. 기하학적 단계의 개발은 엄격한 수학적 평가를 통해 완전히 양자 기반입니다. 기하학적 위상은 기계적 매개변수의 변화에 민감하고 많은 경우에 진동을 나타냅니다. 기하학적 위상의 진화에 대한 압착 매개변수의 영향도 분석되었습니다. 공진 각 주파수 근처에서 시간이 지남에 따라 기하학적 위상 축적이 크게 증가하는 것을 확인했습니다.
우리의 결과는 CNT 기반 나노와이어의 진동에서 나타나는 기하학적 위상의 시간 거동을 보여줍니다. 이 연구에서 주어진 기하학적 위상의 분석은 시스템의 위상적 특징뿐만 아니라 다른 나노와이어 기반 기계 발진기의 동적 진동을 이해하는 데 중요합니다. 특히, 우리는 양자 정보 기술 및 기타 양자 기반 산업에 시스템을 적용하기 위해 설명이 필요한 공진 상태의 위상 특성을 개발했습니다[40]. 이 연구에서 사용된 유사한 방법과 프레임워크는 초전도 Fabry-Perot 공진기[41], 나노 캔틸레버[42], 큐비트-공진기-원자 하이브리드 시스템[43]과 같은 다른 나노 시스템으로 확장될 수도 있습니다.
탄소나노튜브
전자기파
시간 종속 해밀턴 시스템
나노물질
철-탄소 위상 다이어그램 위상 다이어그램은 야금의 많은 실제 문제를 해결하기 위한 합금 연구에서 매우 중요한 도구입니다. 이 다이어그램은 일정한 대기압 조건에서 합금 시스템에 존재할 수 있는 상의 안정성 영역을 정의합니다. 이진 시스템의 경우 이러한 다이어그램의 좌표는 온도와 구성입니다. 합금 시스템의 상, 온도 및 조성 간의 상호 관계는 일반적으로 평형 조건에서만 상 다이어그램으로 표시됩니다. 이러한 조건은 변형 동역학이 중요한 역할을 하지 않는 합금의 느린 가열 및 냉각 속도 동안 발생합니다. 가장 단순한 형태의 철과 강철
2015년에 처음으로 합성된 보로펜은 해부학적으로 얇은 결정질 2D 붕소 시트로 이미 전 세계 과학자들의 관심을 사로잡았습니다. 새로운 경이로운 재료로 설명됨 고유한 이방성 유연성과 금속성으로 인해 배터리, 센서 및 촉매 화학에 혁명을 일으킬 가능성이 있습니다. 이 기사는 보로펜의 합성, 특성 및 잠재적 응용을 요약합니다. 합성 및 속성 그동안 그래핀은 단일 형태를 취하고 보로펜은 많은 격자 구성을 가질 수 있는 다형체입니다. 이론적으로 각각 다른 특성을 가진 1000가지 이상의 형태의 보로펜이 있을 수 있습니다. 보로펜은 고체