Millman의 정리 – AC 및 DC 회로 분석 – 예

AC 및 DC 회로에 대한 Millman의 정리 – 단계별 해결 예

Millman의 정리

Millman의 정리는 병렬로 분기만 있는 회로 분석에 사용됩니다. 따라서 이 정리는 회로의 끝에서 전압을 계산하는 데 유용합니다. Millman의 정리는 병렬 네트워크를 포함하는 회로에만 적용됩니다.

Millman의 정리는 Thevenin의 정리의 조합입니다. 및 노턴의 정리 . 때로는 이 정리를 병렬 생성기 정리라고도 합니다. . 이 정리는 전기 공학 교수 Jacob Millman이 제안한 것입니다. . 그리고 그의 이름을 따서 이 정리를 Millman의 정리라고 합니다.

Millman의 정리는 다음과 같이 말합니다.

즉, 주어진 네트워크의 병렬 분기에서 전압을 찾을 수 있습니다. 이 정리는 아래 그림과 같이 여러 소스가 연결되어 있을 때 네트워크의 복잡성을 줄입니다.

Millman의 정리에 따르면; 부하 양단의 전압은 다음과 같습니다.

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수학 방정식

위 그림과 같이 n개의 전압원(E₁ , E₂ , E₃ , ..., E_n ). 소스의 내부 저항은 R₁입니다. , R₂ , R₃ , ..., R_n 각기. Millman의 정리에 따르면 모든 회로는 아래 네트워크로 대체될 수 있습니다. 다음 그림은 Millman의 등가 회로를 보여줍니다.

이제 전압 소스(E)와 등가 저항(R)의 값을 찾아야 합니다. 위의 회로는 Venin의 등가 회로와 유사합니다. 따라서 전압원(E)은 V_TH ) 등가 저항은 Thevenin의 등가 저항(R_TH ).

우리는 쉽게 계산할 수 있도록 Norton의 등가 회로를 찾습니다. 이를 위해 소스 변환을 수행합니다. 그리고 모든 전압 소스를 전류 소스로 변환합니다.

전압 소스와 직렬로 연결된 내부 저항이 있습니다. 소스 변환 후 전압 소스는 전류 소스로 변환되고 내부 저항은 전류 소스와 병렬로 연결됩니다. 따라서 위의 회로는 아래 그림과 같이 변환됩니다.

옴의 법칙에 따라 현재 소스의 값은 E₁ /R₁ , E₂ /R₂ , E₃ /R₃ , ..., E_n /R_n . 이제 Norton의 등가 전류(I_N ), 부하 단자를 단락시켜야 합니다. 그리고 해당 분기를 통과하는 전류를 찾습니다.

노드 A₁에서 , 전류는 두 경로로 나뉩니다. 하나의 경로는 저항 R₁을 통한 것입니다. 두 번째 경로는 단락된 분기에서입니다. 알다시피, 전류는 항상 낮은 저항 경로를 통해 흐릅니다. 따라서이 상태에서 전체 전류가 단락 된 분기를 통과합니다. 그리고 저항을 통과하는 전류는 0입니다.

노드 A₂의 모든 소스에 대해 동일한 일이 발생합니다. , A₃ , ..., A_n . 그리고 모든 저항을 통과하는 전류는 0입니다.

이제 노드 A₂에서 , 노드 A₁에서 오는 전류 추가됩니다. 마찬가지로 노드 A3에서 노드 A₂에서 오는 전류 추가됩니다. 따라서 노드 A_n에서 , 모든 노드의 전류가 추가되었습니다. 총 전류는 모든 전류의 합계이며 Norton의 전류(I_N ).

그래서 Norton과 동등한 전류를 찾았습니다. 이제 Norton의 등가 저항을 찾아야 합니다. 그리고 이를 위해서는 전류원을 개방하고 전압원을 단락시켜 회로에 존재하는 모든 에너지원을 제거해야 합니다.

위 그림에서는 현재 소스만 있습니다. 개방 회로를 통해 이러한 전류 소스를 제거합니다. 그리고 등가 저항을 계산하려면 부하를 제거해야 합니다. 따라서 나머지 회로는 아래 그림과 같습니다.

위 그림과 같이 모든 저항이 병렬로 연결된 것을 볼 수 있습니다. 그리고 이 병렬 조합은 등가 저항과 같습니다.

R_eq =R_N =R ₁ || 알 ₂ || 알 ₃ … || R_n

이제 이 값을 아래 그림과 같이 Norton의 등가 회로에 넣습니다.

이 Norton의 등가 회로를 Thevenin의 등가 회로로 변환하면 Norton 전류 I_N에서 E 및 R 값을 계산할 수 있습니다. 및 Norton Resistance R_N .

옴의 법칙에 따름;

E =I_N x R_N

n개의 가지에 대한 일반적인 형태로 위의 방정식을 만들어 봅시다.

그래서 우리는 전압 소스의 값을 가지고 있습니다. 그리고 등가 저항 값은 Norton의 등가 저항과 같습니다. 따라서 Millman의 등가 회로를 얻을 수 있습니다(그림 2).

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Millman 정리를 위해 따라야 할 단계

1단계 Milliman의 정리는 병렬 분기 수가 더 많은 네트워크 또는 회로에만 적용할 수 있습니다. 따라서 내부 저항과 직렬로 연결된 전압 소스를 포함하는 여러 병렬 분기가 있는 회로를 해결해야 한다고 가정합니다.

2단계 직렬로 연결된 내부 저항 또는 저항과 전압 소스의 목록을 만드십시오.

3단계 전압 소스를 단락시킨 부하 단자의 등가 저항(R)을 구합니다.

4단계 Millman의 정리를 적용하고 부하 단자 양단의 전압(E) 값을 찾습니다. 이를 위해 방정식-1을 사용합니다. 이 전압은 부하 양단의 전압입니다.

5단계 Millman의 등가 회로에 R과 E의 값을 넣으십시오(그림 2).

6단계 루프에 KVL을 적용하여 부하를 통과하는 전류를 찾습니다.

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Millman의 정리를 사용한 DC 회로 분석

예시 #1

Millman의 정리를 사용하여 부하 단자의 전류와 전압을 구합니다.

1단계 위의 그림을 보면 4개의 가지가 모두 병렬로 연결되어 있다고 말할 수 있습니다. 그리고 우리는 Millman의 정리를 적용할 수 있습니다.

2단계 로드 분기를 제외하고 3개의 분기가 있습니다. 따라서 아래와 같이 3개의 전압과 3개의 저항이 있습니다.

E ₁ =12V 및 R ₁ =2Ω

E ₂ =0V 및 R ₁ =4Ω

E ₃ =16V 및 R ₁ =4Ω

3단계 등가 저항을 찾으려면 단락을 통해 전압 소스를 제거하고 부하 단자를 열어야 합니다. 따라서 나머지 그림은 아래 그림과 같습니다.

R_eq =1Ω

위 그림과 같이 모든 저항이 병렬로 연결되어 있습니다. 따라서 등가 저항은 다음과 같습니다.

4단계 이제 Millman의 정리를 적용합니다.

이 예에서는 3개의 분기가 있습니다. 따라서 n=3을 사용합니다.

위에 나열된 값을 이 방정식에 넣으십시오.

E =10V

부하 단자의 전압입니다.

5단계 이 값을 Millman의 등가 회로에 넣으십시오.

6단계 옴의 법칙에 따르면,

나는_L =1A

따라서 부하 양단의 전압은 10V이고 부하를 통과하는 전류는 1A입니다.

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Millman의 정리를 사용한 AC 회로 분석

예시 #2

Millman의 정리를 사용하여 부하 단자의 전류와 전압을 구합니다.

1단계 위의 그림과 같이 4개의 분기가 병렬로 연결되어 있습니다. 따라서 Millman의 정리를 적용할 수 있습니다.

2단계 부하 분기를 고려하지 않으면 3개의 분기가 있습니다. 계산을 쉽게 하기 위해 전압과 임피던스를 나열합니다. AC 회로의 경우 저항 대신 워드 임피던스를 사용해야 합니다.

전압 소스의 값은 극성 형식으로 제공됩니다. 그러나 임피던스 값은 직사각형 형태로 주어진다. 따라서 전압원의 값을 극성으로 변환해야 합니다.

V ₁ =12∠60° =6 + j 10.392

V ₂ =9∠0° =9 + j 0

V ₃ =6∠30° =5.196 + j 3

임피던스는 직사각형 형태로 제공됩니다. 따라서 있는 그대로 나열합니다.

Z ₁ =6Ω

Z ₂ =제 6Ω

Z ₃ =–제 6Ω

3단계 등가 임피던스를 찾으십시오. 위의 예에서 볼 수 있듯이 단락을 통해 모든 전압 소스를 제거해야 합니다. 그리고 나머지 회로는 아래 그림과 같습니다.

여기서 모든 임피던스는 병렬로 연결됩니다. 따라서 등가 임피던스는 다음과 같습니다.

Z _eq =6Ω

4단계 이제 Milliman의 정리를 적용합니다.

여기에는 세 가지 분기가 있습니다. 따라서 n은 3과 같습니다.

V =6 + 1j 0.392 – j 9 + 제 5.196 – 3

V =3 + j 6.588

이제 RMS 값을 찾아야 합니다.

V =7.23V

5단계 이 값을 Millman의 등가 회로에 넣으십시오.

6단계 옴의 법칙에 따르면,

나는_L =0.9A

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Millman 정리의 한계

Millman의 정리는 네트워크를 해결하는 데 매우 유용합니다. 그러나 다음과 같은 몇 가지 제한 사항이 있습니다.

• 이 정리는 독립 소스 사이에 종속 소스가 있는 회로에는 적용되지 않습니다.
• 독립 소스가 2개 미만인 회로의 경우 이 정리는 유용하지 않습니다.
• 이 정리는 직렬 요소만 있는 회로에는 적용되지 않습니다.
• 소스 사이에 요소가 연결되어 있으면 이 정리를 적용할 수 없습니다.

Millman 정리의 적용

Millman의 정리는 복잡한 회로를 해결하기 위해 네트워크 분석에서 널리 사용됩니다. Millman의 정리를 적용하면 다음과 같습니다.

• Millman의 정리는 여러 전압 소스에서 더 많은 병렬 분기를 사용할 수 있는 경우 부하 임피던스의 전압과 전류를 찾는 데 가장 유용합니다.
• 이 정리의 계산은 쉽습니다. 더 많은 방정식을 사용할 필요가 없습니다.
• 이 정리는 Op-Amp와 같은 복잡한 요소를 갖는 복잡한 회로를 푸는 데 사용됩니다.

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