MATLAB 적분 마스터: 부정적분부터 리만 합, 정적분 응용까지

적분의 두 가지 유형

1. 부정적분(Indefinite Integral): 도함수가 주어졌을 때 원함수 찾기 (미분의 역과정). 임의 상수 c 포함.
2. 정적분(Definite Integral): 미세한 양들의 합의 극한으로 면적, 부피, 질량중심, 관성모멘트, 일 등 계산.

MATLAB로 부정적분 구하기 (int 함수)

int(f)로 부정적분 계산. 예: int(2*x) → x^2.

예제 1: 자주 쓰이는 표현식 적분

syms x n
int(sym(x^n))
f = 'sin(n*t)'; int(sym(f))
syms a t; int(a*cos(pi*t)); int(a^x)

결과:

piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n+1)/(n+1)])
-cos(n*t)/n
(a*sin(pi*t))/pi
a^x/log(a)

예제 2: 다양한 함수 적분 (pretty로 보기 좋게)

syms x n
int(cos(x))          % sin(x)
int(exp(x))          % exp(x)
int(log(x))          % x*(log(x)-1)
int(x^-1)            % log(x)
int(x^5*cos(5*x))    % 긴 표현식
pretty(int(x^5*cos(5*x)))
int(x^-5)            % -1/(4*x^4)
int(sec(x)^2)        % tan(x)
pretty(int(1 - 10*x + 9*x^2))
int((3+5*x-6*x^2-7*x^3)/(2*x^2))
pretty(int((3+5*x-6*x^2-7*x^3)/(2*x^2)))

주요 결과: sin(x), exp(x), x(log x-1), log(x), -1/(4x^4), tan(x), x(3x²-5x+1), -(7x^6)/12 - (3x^5)/5 + (5x^4)/8 + x^3/2 등.

정적분 계산 (한계 지정)

int(f, a, b)로 a부터 b까지 정적분.

int(x, 4, 9)

결과: 65/2 (=32.5)

Octave에서 정적분 (polyint, quad)

pkg load symbolic
x = sym("x"); f = x; c = [1,0];
integral = polyint(c);
a = polyval(integral,9) - polyval(integral,4);  % 32.5
% 또는 quad 사용
f = inline("x"); [a, ierror, nfneval] = quad(f,4,9);  % 32.5

예제 1: 곡선 y = x³ - 2x + 5, x=1~2 사이 면적

f = x^3 - 2*x + 5;
a = int(f, 1, 2)
display('Area: '), disp(double(a))

결과: a = 23/4, Area: 5.75

예제 2: f(x) = x² cos(x), -4 ≤ x ≤ 9 면적

f = x^2*cos(x);
ezplot(f, [-4,9])
a = int(f, -4, 9)
disp('Area: '), disp(double(a))

그래프 표시 후 결과: a = 8*cos(4)+18*cos(9)+14*sin(4)+79*sin(9), Area: 0.3326

Octave equivalent (quad)

pkg load symbolic
x = sym("x");
f = inline("x^2*cos(x)");
ezplot(f, [-4,9])
[a, ierror, nfneval] = quad(f, -4, 9);
display('Area: '), disp(double(a))