핵심 불 대수 항등식: 종합 개요

수학에서 항등식(identity)은 변수 또는 변수들의 가능한 모든 값에 대해 참인 진술.

대수적 항등식 x + 0 = x는 어떤 것(x)에 영을 더하면 원래 "어떤 것"과 같음 의미, "어떤 것"(x) 값이 무엇이든 상관없이.

일반 대수처럼 불 대수도 불 변수의 이진 상태 기반 고유 항등식 가짐.

 

가법 항등식

영 더하기

첫 번째 불 항등식: 어떤 것과 영의 합은 원래 "어떤 것"과 동일.

이 항등식은 실수 대수 대응과 다를 바 없음:

 

 

A 값이 무엇이든 출력은 항상 동일: A=1이면 출력도 1, A=0이면 출력도 0.

 

일 더하기

다음 항등식은 일반 대수에서 볼 수 없는 완전히 다른 것.

"어떤 것"과 일의 합은 일임 발견:

 

 

A 값에 관계없이 A와 1의 합 항상 1.

어떤 의미에서 "1" 신호가 논리 회로에서 A 효과를 압도(override)해 출력을 논리 레벨 1로 고정.

 

자기 자신 더하기

다음, A와 A 더하기 효과 검토, OR 게이트 두 입력을 서로 연결하고 같은 신호로 활성화하는 것과 동일:

 

 

실수 대수에서 두 동일 변수 합은 원래 변수 값의 2배(x + x = 2x), 하지만 불 수학 세계엔 "2" 개념 없음, 오직 1과 0만 있으므로 A + A = 2A라 말할 수 없음.

따라서 불 양을 자기 자신에 더하면 합은 원래 양과 같음: 0 + 0 = 0, 1 + 1 = 1.

 

여집합 더하기

유일하게 불 개념인 여집합을 가법 항등식에 도입해 흥미로운 효과 발견.

임의 변수와 그 여집합 사이 반드시 하나 "1" 값 존재, 임의 불 양과 1 합이 1이므로 변수와 여집합 합은 1이어야 함:

 

 

승법 항등식

네 가지 불 가법 항등식(A+0, A+1, A+A, A+A') 있듯, 네 가지 승법 항등식도 존재: Ax0, Ax1, AxA, AxA'. 이 중 첫 두 개는 일반 대수 대응과 다를 바 없음:

 

0 또는 1 곱하기

 

 

자기 자신 곱하기

세 번째 승법 항등식은 불 양 자기 자신 곱 결과 표현.

일반 대수에서 변수 자기 자신 곱은 변수 제곱(3 x 3 = 3² = 9).

하지만 제곱 개념은 2 양 암시, 불 대수에 의미 없음, A x A = A²라 말할 수 없음.

대신 불 양 자기 자신 곱은 원래 양과 같음 발견, 0 x 0 = 0이고 1 x 1 = 1이므로:

 

 

여집합 곱하기

네 번째 승법 항등식은 변수 여집합 사용해 일반 대수에 대응 없음, 불 수학 고유 개념.

임의 변수와 여집합 사이 반드시 하나 "0" 값 존재, 임의 불 양과 0 곱이 0이므로 변수와 여집합 곱은 0이어야 함:

 

 

요약하면, 덧셈 네 가지 기본 불 항등식, 곱셈 네 가지:

 

 

이중 여집합

여집합 관련 또 다른 항등식은 이중 여집합: 변수 두 번 반전.

변수 두 번 여집합(또는 짝수 번) 취하면 원래 불 값 결과.

실수 대수에서 음수화( -1 곱하기)와 유사: 짝수 번 음수화 상쇄되어 원래 값 남음:

 

 

관련 워크시트:

• 불 대수 워크시트