직렬 RC 회로 분석: 임피던스, 위상 관계, SPICE 검증

이전 섹션에서는 단순 저항만 또는 커패시터만 있는 교류 회로를 탐구했습니다. 이 글에서는 이 요소들을 직렬로 결합할 때 동작이 어떻게 변환되는지 보여줍니다.

임피던스 계산

저항은 모든 주파수에서 교류 전류에 5Ω의 일정한 저항을 제공하는 반면, 커패시터는 60Hz에서 26.5258Ω의 리액턴스를 제공합니다.

저항의 임피던스는 실수 5Ω ∠ 0°(또는 5 + j0Ω)이고 커패시터의 임피던스는 허수 26.5258Ω ∠ -90°(또는 0 - j26.5258Ω)이므로, 전류에 대한 결합 대항은 이 두 값의 복소수 합입니다.

이 복소 대항을 임피던스라고 부르며 Z로 표시하고, 저항과 리액턴스처럼 옴 단위로 측정합니다. 그림의 회로에서 총 임피던스는:

임피던스는 직류에서 저항이 하는 것처럼 전압과 전류를 연관시키지만, 크기와 위상을 모두 포착합니다:

이 형태의 옴의 법칙(E = IZ)은 직류 버전(E = IR)보다 훨씬 포괄적입니다. 어떤 저항이나 리액턴스든—별개이거나 직렬/병렬로 결합되었든—단일 임피던스로 표현할 수 있고 그래야 합니다.

전류 계산

전류를 결정하기 위해 먼저 소스 전압 위상 각도를 0으로 설정합니다(표준 기준점). 저항성 및 용량성 임피던스는 소스와 무관하게 항상 0°와 -90° 위상 각도를 가집니다.

전류가 소스 전압을 79.325° 앞섭니다. 이는 순수 용량성 회로에서 보이는 90° 리드보다 작습니다.

표 방법

직류 분석과 마찬가지로, 값을 표로 정리하면 교류 계산이 간소화됩니다. 이 직렬 회로에 대해 알려진 양을 나열하고 분석을 통해 전파시킵니다:

전류가 모든 직렬 요소에 공통이므로, 총 전류 열을 각 소자에 분배할 수 있습니다. 수직으로 옴의 법칙을 적용하면 저항과 커패시터 양단 전압을 얻습니다:

저항의 전압은 전류와 같은 위상을 공유하여, 해당 요소에서 E와 I가 위상이 같음을 확인합니다. 커패시터의 전압은 -10.675°로, 회로 전류보다 정확히 90° 뒤에 있으며 용량성 부하에 예상된 그대로입니다.

SPICE를 사용한 계산

해석적 결과를 SPICE 시뮬레이션으로 검증합니다:

ac r-c circuit
v1 1 0 ac 10 sin
r1 1 2 5
c1 2 0 100u
.ac lin 1 60 60
.print ac v(1,2) v(2,0) i(v1)
.print ac vp(1,2) vp(2,0) ip(v1)
.end
freq v(1,2) v(2) i(v1)
6.000E+01 1.852E+00 9.827E+00 3.705E-01
freq vp(1,2) vp(2) ip(v1)
6.000E+01 7.933E+01 -1.067E+01 -1.007E+02

SPICE는 전류 위상을 -100.7°로 보고하는데, 180° 오프셋을 제거하면 +79.3°가 되어 해석적 79.325° 결과와 일치합니다. 측정된 전압과 전류는 계산된 페이저의 크기(극좌표 형태)에 해당하며, 직교 성분이 아닙니다.

예를 들어, 저항 양단 전압계는 1.852V를 표시할 뿐, 직교 값인 343.11mV(실수부) 또는 1.8203V(허수부)를 표시하지 않습니다. 직교 표기법은 산술을 돕지만, 극좌표 형태가 실제 측정값을 직접 나타냅니다.

직렬 R-C 회로의 임피던스는 저항(R)과 용량성 리액턴스(X_C)로부터 계산할 수 있습니다. E = IR, E = IX_C, E = IZ를 사용하면 전압 페이저 다이어그램이 임피던스 다이어그램과 평행을 이룹니다.

예제

60Hz에서 40Ω 저항과 88.42µF 커패시터가 직렬 연결된 경우. 임피던스를 구하세요.

XC = 1/(2πfC)
XC = 1/(2π·60·88.42×10⁻⁶)
XC = 30Ω
Z = R - jXC
Z = 40 - j30
|Z| = sqrt(40² + (-30)²) = 50Ω
∠Z = arctan(-30/40) = -36.87°
Z = 40 - j30 = 50∠-36.87°

복습

• 임피던스(Z)는 교류 전류에 대한 총 대항으로, 저항과 리액턴스의 복소수 합과 같습니다.
• 직렬 회로에서 임피던스는 저항처럼 정확히 더해집니다: Z_total = Z₁ + Z₂ + … + Zₙ.
• 임피던스는 소자 유형에 관계없이 복소수 형태로 더해집니다.
• 순수 저항 임피던스는 위상 각도 0°(Z_R = R ∠ 0°).
• 순수 용량 임피던스는 위상 각도 -90°(Z_C = X_C ∠ -90°).
• 교류 옴의 법칙: E = IZ; I = E/Z; Z = E/I.
• 저항과 커패시터가 공존하면 총 임피던스 위상은 0°와 -90° 사이에 위치합니다.

관련 워크시트

• 직렬 및 병렬 교류 회로 워크시트