사각파 신호 이해: 기초와 응용

임의의 반복적 비정현파 파형이 직류 전압, 정현파, 코사인파(90° 위상 이동된 정현파)들의 조합으로 등가적으로 표현될 수 있음이 밝혀졌습니다. 이는 파형이 아무리 기묘하거나 복잡해도, 시간적으로 규칙적으로 반복되기만 하면 이 정현파 시리즈로 환원 가능하다는 뜻입니다.

특히 사각파는 같은 주파수의 정현파 하나와, 진폭이 감소하는 홀수 배수 주파수 정현파들의 무한 급수로 수학적으로 등가임이 밝혀졌습니다:

이 파형에 대한 진실은 처음엔 믿기 힘들 정도로 기이해 보일 수 있습니다. 그러나 사각파가 실제로 여러 정현파 고조파들의 무한 합이라면, 여러 정현파 고조파들을 더해 사각파에 가까운 근사를 만들어냄으로써 이를 증명할 수 있어야 합니다.

이 추론은 타당할 뿐 아니라 SPICE로 쉽게 시연 가능합니다.

시뮬레이션할 회로는 적절한 진폭과 주파수를 가진 여러 정현파 교류 전압원들을 직렬로 연결한 것에 불과합니다. SPICE로 전압원들의 점진적 추가에 따른 전압 파형을 플로팅합니다:

이 SPICE 시뮬레이션에서는 1차, 3차, 5차, 7차, 9차 고조파 전압원들을 직렬로 합해 총 5개의 교류 전압원을 사용했습니다. 기본 주파수는 50Hz이고 각 고조파는 당연히 그 정수 배수입니다.

진폭(전압) 수치들은 임의적이지 않습니다; 주파수 시리즈에 보인 방정식들(4/π에 1, 1/3, 1/5, 1/7 등을 각 증가하는 홀수 고조파에 곱함)을 통해 도출되었습니다.

building a squarewave
v1 1 0 sin (0 1.27324 50 0 0) 1st harmonic (50 Hz)
v3 2 1 sin (0 424.413m 150 0 0) 3rd harmonic
v5 3 2 sin (0 254.648m 250 0 0) 5th harmonic
v7 4 3 sin (0 181.891m 350 0 0) 7th harmonic
v9 5 4 sin (0 141.471m 450 0 0) 9th harmonic
r1 5 0 10k
.tran 1m 20m
.plot tran v(1,0) Plot 1st harmonic
.plot tran v(2,0) Plot 1st + 3rd harmonics
.plot tran v(3,0) Plot 1st + 3rd + 5th harmonics
.plot tran v(4,0) Plot 1st + 3rd + 5th + 7th harmonics
.plot tran v(5,0) Plot 1st + . . . + 9th harmonics
.end

이제 단계별로 분석을 설명하겠습니다. 첫 번째 플롯에서는 50Hz 기본 주파수 정현파만 보입니다. 추가 고조파 내용이 없는 순수 정현파 형태입니다. 이상적 교류 전원이 생성하는 파형입니다:

이 깨끗하고 단순한 파형이 3차 고조파(3×50Hz=150Hz)와 결합되면, 더 이상 깨끗한 정현파처럼 보이지 않습니다:

양/음 사이클 간 상승/하강 시간이 훨씬 가파워지고, 파동 마루들이 사각파처럼 평평해지기 직전입니다. 다음 홀수 고조파 주파수를 추가하면:

여기서 가장 눈에 띄는 변화는 파동 마루들이 이전보다 더 평평해졌다는 것입니다. 각 마루 끝에 여러 딥과 크레스트가 있지만, 그것들의 진폭은 이전보다 작습니다. 다음 홀수 고조파 파형을 추가하면:

각 피크에서 파동이 더 평평해지는 것을 볼 수 있습니다. 마지막으로 9차 고조파, 우리 회로의 다섯 번째 정현파 전압원을 추가하면:

첫 다섯 홀수 고조파 파형들을 적절한 진폭으로 모두 더한 최종 결과는 사각파에 가까운 근사입니다. 이 작업의 요점은 여러 다른 주파수의 정현파들로부터 사각파를 구축해, 순수 사각파가 실제로 정현파 시리즈와 등가임을 증명하는 것입니다.

사각파 교류 전압이 리액턴스 소자들(커패시터와 인덕터)이 있는 회로에 인가되면, 그 소자들은 서로 다른 주파수의 여러 정현파 전압들에 노출된 것처럼 반응합니다. 실제로는 그들이 정확히 그렇게 노출되기 때문입니다.

반복적 비정현파가 확정적인 직류 전압, 정현파, 코사인파들의 가산 시리즈와 등가라는 사실은 파동이 작동하는 방식의 결과입니다: 전기적이든 아니든 모든 파동 관련 현상의 근본적 속성입니다.

비정현파를 이 구성 주파수들로 환원하는 수학적 과정을 푸리에 분석(Fourier analysis)이라 하며, 그 세부사항은 이 텍스트의 범위를 벗어납니다. 그러나 실제 파형에 대해 고속으로 이 분석을 수행하는 컴퓨터 알고리즘들이 개발되어, 교류 전력 품질과 신호 분석에 널리 적용됩니다.

SPICE는 파형을 샘플링해 푸리에 변환(Fourier Transform) 알고리즘으로 구성 정현파 고조파들로 분해하고, 주파수 분석을 숫자 표로 출력할 수 있습니다. 우리가 이미 홀수 고조파 정현파들로 구성됨을 아는 사각파로 이를 시험해 봅시다:

squarewave analysis netlist
v1 1 0 pulse (-1 1 0 .1m .1m 10m 20m)
r1 1 0 10k
.tran 1m 40m
.plot tran v(1,0)
.four 50 v(1,0)
.end

넷리스트에서 전압원 v1을 설명하는 줄의 pulse 옵션은 SPICE에게 대칭적인(각 반주기 시간이 같음) 1볼트 피크 진폭의 사각 '펄스' 파형을 시뮬레이션하라고 지시합니다. 먼저 분석할 사각파를 플로팅합니다:

다음, SPICE가 이 사각파에 대해 생성한 푸리에 분석을 출력합니다:

fourier components of transient response v(1)
dc component = -2.439E-02
harmonic frequency fourier normalized phase normalized
no (hz) component component (deg) phase (deg)
1 5.000E+01 1.274E+00 1.000000 -2.195 0.000
2 1.000E+02 4.892E-02 0.038415 -94.390 -92.195
3 1.500E+02 4.253E-01 0.333987 -6.585 -4.390
4 2.000E+02 4.936E-02 0.038757 -98.780 -96.585
5 2.500E+02 2.562E-01 0.201179 -10.976 -8.780
6 3.000E+02 5.010E-02 0.039337 -103.171 -100.976
7 3.500E+02 1.841E-01 0.144549 -15.366 -13.171
8 4.000E+02 5.116E-02 0.040175 -107.561 -105.366
9 4.500E+02 1.443E-01 0.113316 -19.756 -17.561
total harmonic distortion = 43.805747 percent

여기서(위 그림) SPICE는 파형을 9차 고조파까지의 정현파 주파수 스펙트럼으로 분해했으며, DC component로 표시된 작은 직류 전압도 포함합니다.

사각파의 주기 20ms에 대한 기본 주파수(50Hz)를 SPICE에 알려줘야 고조파를 분류할 수 있었습니다. 모든 짝수 고조파(2, 4, 6, 8차) 수치들이 얼마나 작은지, 홀수 고조파 진폭들이 감소하는지(1차 최대, 9차 최소) 주목하세요.

이 '푸리에 변환' 기법은 컴퓨터화된 전력 계측에서 자주 사용되어, 교류 파형들을 샘플링하고 그 고조파 내용을 결정합니다. 이를 위한 일반적인 컴퓨터 알고리즘(작업 수행을 위한 프로그램 단계 시퀀스)은 고속 푸리에 변환(Fast Fourier Transform, FFT) 함수입니다.

이 컴퓨터 루틴들이 정확히 어떻게 작동하는지 알 필요는 없지만, 그 존재와 응용을 인지하고 있어야 합니다.

SPICE에서 파동의 고조파 내용을 분석하는 데 사용된 이 수학적 기법은 음악 기술적 분석에도 적용될 수 있습니다: 특정 소리를 구성 정현파 주파수들로 분해하는 것.

사실, 여러분은 이미 그것이 무엇인지 모르고 그런 장치를 본 적이 있을 수 있습니다! 그래픽 이퀄라이저(graphic equalizer)는 음악의 고조파 내용의 성질을 제어(때로는 표시)하는 고음질 스테레오 장비입니다.

여러 노브나 슬라이드 레버로 이퀄라이저는 음악에 존재하는 특정 주파수들의 진폭을 선택적으로 감쇠(감소)시켜 청취자 취향에 맞게 소리를 '커스터마이즈'합니다. 보통 각 조작 레버 옆에 '막대 그래프' 디스플레이가 있어 각 특정 주파수의 진폭을 표시합니다.

혼합 주파수 신호의 각 주파수 대역 진폭을 제어가 아닌 순수 표시만 위해 만든 장치는 일반적으로 스펙트럼 분석기(spectrum analyzer)라 부릅니다.

스펙트럼 분석기 설계는 서로 다른 주파수들을 분리하기 위해 설계된 '필터' 회로들(다음 장 참조) 세트처럼 단순할 수도 있고, 특수 목적 디지털 컴퓨터가 FFT 알고리즘을 실행해 신호를 수학적으로 고조파 성분들로 분해하는 것처럼 복잡할 수도 있습니다.

스펙트럼 분석기는 라디오 송신기나 컴퓨터 네트워크 하드웨어가 생성하는 극고주파 신호들을 분석하도록 설계되는 경우가 많습니다. 그런 형태에서는 오실로스코프 같은 외관을 가지기도 합니다:

오실로스코프처럼 스펙트럼 분석기도 CRT(또는 CRT를 모방한 컴퓨터 디스플레이)를 사용해 신호 플롯을 표시합니다.

오실로스코프와 달리 이 플롯은 시간 대비 진폭이 아닌 주파수 대비 진폭입니다. 본질적으로 주파수 분석기는 엔지니어가 주파수 영역(frequency-domain) 분석이라 부를 수 있는, 신호의 보드 플롯을 운영자에게 제공합니다—시간 영역(time-domain) 분석이 아닌.

'영역(domain)'은 수학적 용어: 그래프의 수평축을 설명하는 정교한 단어입니다. 따라서 오실로스코프의 진폭(수직) 대 시간(수평) 플롯은 '시간 영역' 분석이고, 스펙트럼 분석기의 진폭(수직) 대 주파수(수평) 플롯은 '주파수 영역' 분석입니다.

SPICE로 신호 진폭(전압 또는 전류 진폭)을 주파수 범위에 걸쳐 플로팅하면 주파수 영역 분석을 수행하는 것입니다.

지난 SPICE 시뮬레이션의 푸리에 분석이 '완벽하지' 않음에 유의하세요. 이상적으로 모든 짝수 고조파 진폭은 절대 0이어야 하고, DC 성분도 그래야 합니다. 이는 SPICE의 결함이라기보다 파동 일반의 속성입니다.

무한 지속 시간(무한 사이클)의 파형은 절대적 정밀도로 분석될 수 있지만, 컴퓨터가 분석할 수 있는 사이클 수가 적을수록 분석 정밀도는 떨어집니다. 파형을 전체적으로 기술하는 방정식이 있을 때만 푸리에 분석이 이를 확정적인 정현파 시리즈로 환원할 수 있습니다.

파동이 순환하는 횟수가 적을수록 그 주파수 성분들의 확실성은 떨어집니다. 이 개념을 논리적 극단으로 가져가면, 한 주기도 완료하지 않는 짧은 펄스—주기조차 완료하지 않는 파형—은 실제로 주파수가 없습니다, 오히려 무한 범위의 주파수들로 동작합니다. 이 원리는 교류 전압/전류뿐만 아니라 모든 파동 기반 현상에 공통적입니다.

사이클 수와 파형 주파수 성분들의 확실성은 직접적 관련이 있음을 말해둡니다.

여러 사이클 동안 파동이 계속 진동하게 하여 분석 정밀도를 개선할 수 있습니다. 결과는 이상적에 더 일관된 스펙트럼 분석이 될 것입니다. 다음 분석에서는 간결성을 위해 파형 플롯을 생략했습니다—아주 긴 사각파일 뿐입니다:

square wave
v1 1 0 pulse (-1 1 0 .1m .1m 10m 20m)
r1 1 0 10k
.option limpts=1001
.tran 1m 1
.plot tran v(1,0)
.four 50 v(1,0)
.end
fourier components of transient response v(1)
dc component = 9.999E-03
harmonic frequency fourier normalized phase normalized
no (hz) component component (deg) phase (deg)
1 5.000E+01 1.273E+00 1.000000 -1.800 0.000
2 1.000E+02 1.999E-02 0.015704 86.382 88.182
3 1.500E+02 4.238E-01 0.332897 -5.400 -3.600
4 2.000E+02 1.997E-02 0.015688 82.764 84.564
5 2.500E+02 2.536E-01 0.199215 -9.000 -7.200
6 3.000E+02 1.994E-02 0.015663 79.146 80.946
7 3.500E+02 1.804E-01 0.141737 -12.600 -10.800
8 4.000E+02 1.989E-02 0.015627 75.529 77.329
9 4.500E+02 1.396E-01 0.109662 -16.199 -14.399

이 분석(위 그림)이 더 많은 파동 사이클을 샘플링하게 함으로써 DC 성분 전압이 더 적고, 각 짝수 고조파 정현파 주파수 진폭들이 더 낮아짐을 보여줍니다. 다시 말해, 첫 분석의 부정확함은 SPICE의 결함이라기보다 파동과 신호 분석의 근본적 속성입니다.

복습

• 사각파는 기본 주파수의 정현파 하나와, 진폭이 감소하는 홀수 배수 정현파 고조파들의 무한 시리즈의 합과 등가입니다.
• 파형들을 샘플링해 구성 정현파 성분들을 결정하는 컴퓨터 알고리즘들이 존재합니다. 푸리에 변환 알고리즘(특히 고속 푸리에 변환(FFT))은 SPICE 같은 회로 시뮬레이션 프로그램과 전력 품질용 전자 계측 장비에서 흔히 사용됩니다.

관련 워크시트

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