MATLAB 가이드:효율적인 다항식 도함수 계산

수학에서 도함수는 변수에 대한 함수의 변화율을 나타냅니다. 간단히 말해서 특정 지점에서 함수가 어떻게 변하는지 알려줍니다. 도함수는 미적분학의 기본이며 물리학, 공학, 경제학과 같은 분야에서 변화와 운동을 모델링하는 데 널리 사용됩니다.

예를 들어, 시간에 따른 자동차의 위치를 설명하는 함수가 있는 경우 해당 함수의 미분은 자동차의 속도(위치 변화율)를 제공합니다.

다항식의 도함수

다항식은 계수와 결합된 다양한 거듭제곱의 변수로 구성된 수학적 표현입니다. 예를 들어, 다항식 P(x) =3x2 + 2x + 5는 2차 다항식입니다.

다항식 함수의 도함수는 간단한 규칙을 적용하여 구합니다. 각 항에 대해 계수에 지수를 곱한 다음 지수를 1로 줄입니다. 이 프로세스는 다항식의 각 항에 대해 반복됩니다.

예를 들어, 다항식을 생각해 보십시오:

P(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 1

도함수 P(x)는 다음과 같이 계산됩니다. -

• 3x3이라는 용어의 경우:3에 3(지수)을 곱하면 9x2가 됩니다.
• 4x2라는 용어의 경우:4에 2를 곱하면 8x가 됩니다.
• 2x라는 용어의 경우:2에 1을 곱하면 2가 됩니다.
• 상수항 (1)의 도함수는 0입니다.

따라서 미분은 -

입니다.

P(x) = 9x2 + 8x + 2

MATLAB의 파생물

MATLAB을 사용하면 내장 함수를 사용하여 다항식의 도함수를 쉽게 계산할 수 있습니다. MATLAB의 다항식은 변수의 내림차순으로 정렬된 계수를 포함하는 벡터로 표현됩니다.

다항식의 도함수를 찾기 위해 MATLAB은 Polyder 함수를 제공합니다.

구문

k = polyder(p)
k = polyder(a,b)
[q,d] = polyder(a,b)

구문 설명

k =polyder(p)는 p의 계수로 주어진 다항식의 도함수를 계산하여 도함수 d/dx p(x)를 나타내는 새로운 다항식 k(x)를 생성합니다.

k =polyder(a,b)는 두 다항식 a와 b의 곱의 도함수를 계산하여 이를 나타내는 새로운 다항식 k(x)를 생성합니다.

$$\mathrm{\frac{d}{dx}[a(x) \:\cdot \:b(x)]}$$

[q, d] =polyder(a, b)는 두 다항식 a와 b의 몫의 도함수를 계산하여 두 다항식 q(x)(분자)와 d(x)(분모)를 반환하며 a(x)/b(x)의 도함수를 나타냅니다.

예 1:Polyder(p)를 사용하여 도함수 계산

다항식이 있다고 생각해보세요

P(x) = 4x3 + 3x2 + 2x + 1

이 다항식은 MATLAB에서 계수의 벡터로 표현될 수 있습니다 −

p = [4 3 2 1];

이 다항식의 도함수를 계산하기 위해 MATLAB의 Polyder 함수를 사용합니다. −

k = polyder(p);

matlab 명령 창에서 코드를 실행하면 출력됩니다.

>> p = [4 3 2 1];
k = polyder(p)
k =
 12 6 2
>>

4x3 항의 경우 도함수는 12x2입니다(계수 4에 지수 3을 곱하고 지수를 1로 줄임).

3x2 항의 경우 미분은 6x입니다.

2x라는 용어의 경우 도함수는 2입니다.

상수 항의 경우 1의 도함수는 0입니다.

따라서 미분 다항식은 다음과 같습니다.

k(x) = 12x2 + 6x + 2

Matlab에서 k의 결과는 다음과 같습니다:[12 6 2]

예 2:다항식의 도함수를 찾는 또 다른 예

다음 다항식을 고려해보세요

p(x) = 5x4 + 2x3 + 7x2 - 3x + 8 

이 다항식은 MATLAB에서 계수의 벡터로 표현될 수 있습니다 −

p = [5 -2 7 -3 8]

이 다항식의 도함수를 찾으려면 matlab의 폴리더(polyder) 함수를 사용하세요.

k = polyder(p)

이 명령은 다항식 p의 도함수 계수를 반환합니다.

matlab 명령 창에서 코드를 실행하면 출력은 다음과 같습니다.

>> p = [5 -2 7 -3 8];
k = polyder(p)
k =
 20 -6 14 -3
>> 

벡터 k =[20 -6 14 -3]은 다항식을 나타냅니다.

k(x) = 20x3 - 6x2 + 14x - 3

예 3:폴리더(a, b)를 사용한 두 다항식의 곱의 파생

두 개의 다항식을 생각해 봅시다

a(x) = 2x2 + 3x + 1
b(x) = 4x + 5

이러한 다항식은 MATLAB에서 해당 계수의 벡터로 표현될 수 있습니다.

a = [2 3 1]
b = [4 5] 

이 두 다항식의 곱의 도함수를 계산하기 위해 두 개의 입력 인수와 함께 Polyder 함수를 사용합니다.

k = polyder(a, b);

이는 a(x)와 b(x)의 곱의 도함수 계수를 반환합니다.

matlab 명령 창에서 코드를 실행하면 다음과 같은 결과가 나타납니다.

>> a = [2 3 1];
b = [4 5]; 
k = polyder(a, b)
k =
 24 44 19
>>

따라서 도함수 다항식은 다음과 같습니다:k(x) =24x2 + 44x + 19

예 4:주어진 두 다항식의 도함수

두 가지 다항식을 생각해 보세요.

a(x) = 3x3 + 2x2 + x + 4
b(x) = x2 - 5x + 6

이러한 다항식은 MATLAB에서 다음 계수 벡터로 표현될 수 있습니다.

a = [3 2 1 4];
b = [1 -5 6];

이 두 다항식의 곱의 도함수를 계산하기 위해 벡터 a와 b를 입력으로 사용하는 폴리더 함수를 사용합니다.

k = polyder(a, b);

이 명령은 a(x)와 b(x)의 곱의 도함수 계수를 반환합니다.

matlab 명령 창에서 코드가 실행되면 출력은 다음과 같습니다.

>> a = [3 2 1 4];
b = [1 -5 6];
k = polyder(a, b)
k =
 15 -52 27 22 -14
>> 

따라서 미분 다항식은 −

입니다.

k(x) = 15x4 - 52x3 + 27x2 + 22x - 14

예 5:[q, d] =polyder(a, b)를 사용한 두 다항식의 몫 유도

두 개의 다항식을 고려해 봅시다 -

a(x) = 4x2 + 3x + 2
b(x) = x2 - 2x + 1

이러한 다항식은 Matlab에서 해당 계수의 벡터로 표현될 수 있습니다.

a = [4 3 2];
b = [1 -2 1];

몫 a(x) / b(x)의 도함수를 계산하기 위해 두 개의 출력 인수 q 및 d와 함께 폴리더 함수를 사용합니다.

[q,d] = polyder(a,b)

그러면 a(x) / b(x) 도함수의 q(x)(분자)와 d(x)(분모)라는 두 개의 다항식이 반환됩니다.

matlab 명령 창에서 코드가 실행되면 출력은 다음과 같습니다.

>> a = [4 3 2];
b = [1 -2 1];
[q,d] = polyder(a,b)
q =
 -11 4 7
d =
 1 -4 6 -4 1
>>