진리표를 부울 표현식으로 변환

디지털 회로를 설계할 때 설계자는 회로가 수행해야 하는 작업을 설명하는 진리표로 시작하는 경우가 많습니다.

설계 작업은 주로 진리표에 설명된 기능을 수행할 회로 유형을 결정하는 것입니다.

어떤 사람들은 진리표를 보고 작업에 필요한 논리 게이트 또는 릴레이 논리 회로를 즉시 상상할 수 있는 타고난 능력이 있는 것처럼 보이지만 나머지는 사용할 수 있는 절차적 기술이 있습니다.

여기에서 부울 대수는 가장 극적인 방법으로 그 유용성을 증명합니다.

이 절차적 방법을 설명하려면 현실적인 설계 문제부터 시작해야 합니다.

유독성 폐기물 소각로를 위한 화염 감지 회로를 설계하는 임무가 주어졌다고 가정합니다.

강한 불의 열기는 소각로로 유입되는 폐기물의 독성을 중화시키기 위한 것입니다.

이러한 연소 기반 기술은 일반적으로 치명적인 바이러스나 박테리아에 감염될 수 있는 의료 폐기물을 중화하는 데 사용됩니다.

소각로에 화염이 유지되는 한 폐기물을 소각로에 주입하여 중화시키는 것이 안전합니다.

그러나 화염이 꺼진다면 중화되지 않은 상태로 배기 가스를 빠져나가 배기 가스에 가까이 있는 모든 사람에게 건강을 위협할 수 있으므로 폐기물을 연소실로 계속 주입하는 것은 안전하지 않습니다.

이 시스템에서 우리가 필요로 하는 것은 화염의 존재를 감지하고 화염 감지 시스템에 의해 화염이 "검증"된 경우에만 폐기물을 주입할 수 있는 확실한 방법입니다.

광학(빛 감지), 열(고온 감지) 및 전기 전도(화염 경로의 이온화된 입자 감지)와 같은 여러 가지 화염 감지 기술이 있으며 각각 고유한 장점과 단점이 있습니다.

이 소각로의 배출구 밖으로 중화되지 않은 폐기물을 잠재적으로 통과시키는 것과 관련된 높은 수준의 위험 때문에 화염 감지 시스템을 이중화(다중 센서)로 결정하여 단일 센서의 고장으로 배기 가스로 독소를 배출합니다.

각 센서에는 로직 시스템의 입력을 활성화하는 데 사용할 상시 개방 접점(화염이 없으면 개방, 화염 감지 시 폐쇄)이 장착되어 있습니다.

이제 우리의 임무는 센서에 의해 입증된 양호한 화염이 있는 경우에만 폐기물 밸브를 열도록 논리 시스템의 회로를 설계하는 것입니다.

그러나 먼저 이 제어 시스템의 논리적 동작이 어떠해야 하는지 결정해야 합니다.

3개의 센서 중 하나만 화염을 감지하면 밸브가 열리길 원합니까? 아마도 그렇지 않을 것입니다. 왜냐하면 이것은 다중 센서를 갖는 목적을 무효화할 것이기 때문입니다.

센서 중 하나가 불꽃이 없을 때 불꽃의 존재를 잘못 표시하는 방식으로 실패하는 경우 "3개의 센서 중 하나가 불꽃을 표시한다"는 원리에 기반한 논리 시스템은 다음과 같은 출력을 제공합니다. 단일 센서 시스템은 동일한 오류가 발생합니다.

훨씬 더 나은 솔루션은 3개의 센서가 모두 있는 경우에만 밸브가 열리도록 시스템을 설계하는 것입니다. 좋은 불꽃을 감지합니다.

이런 식으로, 불꽃을 잘못 보여주는 하나의 고장난 센서는 밸브를 열린 위치로 유지할 수 없었습니다. 오히려 이 위험한 상태가 발생하려면 세 개의 센서가 모두 같은 방식으로 고장날 가능성이 매우 높아야 합니다.

따라서 진리표는 다음과 같습니다.

이 기능이 3입력 AND 게이트로 생성될 수 있다는 것을 깨닫는 데 많은 통찰력이 필요하지 않습니다. 입력 A AND 인 경우에만 회로의 출력이 "하이"가 됩니다 B AND 입력 입력 C는 모두 "높음"입니다.

릴레이 회로를 사용하는 경우 3개의 릴레이 접점을 직렬로 배선하거나 단순히 3개의 센서 접점을 직렬로 배선하여 이 AND 기능을 생성할 수 있으므로 폐기물 밸브를 열기 위해 전력을 보낼 수 있는 유일한 방법은 3개의 센서가 모두 불꽃 표시:

이 설계 전략은 안전성을 최대화하지만 시스템을 반대 종류의 센서 고장에 매우 취약하게 만듭니다.

세 개의 센서 중 하나가 소각로의 연소실에 실제로 좋은 불꽃이 있을 때 불꽃이 없음을 표시하는 방식으로 고장이 난다고 가정해 보겠습니다.

한 번의 실패로 인해 폐기물 밸브가 불필요하게 차단되어 생산 시간이 손실되고 연료가 낭비됩니다(폐기물 소각에 사용되지 않는 불을 지르게 됨).

시스템을 불필요하게 종료하지 않고 이러한 종류의 오류를 허용하면서도 단일 센서가 "높은" 오류(항상 불꽃을 보여줌 , 감지할 항목이 있는지 여부).

두 가지 요구 사항을 모두 충족하는 전략은 "3개 중 2개" 센서 논리로, 3개 센서 중 2개 이상이 양호한 화염을 보일 경우 폐기물 밸브가 열립니다.

이러한 시스템의 진리표는 다음과 같습니다.

합계 사용

여기서 어떤 종류의 논리 회로가 진리표를 만족하는지 반드시 명확하지는 않습니다.

그러나 이러한 회로를 설계하는 간단한 방법은 Sum-Of-Products라는 표준 형식의 부울 표현식에서 찾을 수 있습니다. , 또는 SOP , 형태.

의심할 수 있듯이 Sum-Of-Products 부울 표현식은 말 그대로 추가된 부울 용어의 집합입니다(summed ) 함께, 각 항은 곱셈(product ) 부울 변수의 조합.

SOP 표현식의 예로는 ABC + BC + DF, 제품 "ABC", "BC" 및 "DF"의 합이 있습니다.

Sum-Of-Products 표현식은 진리표에서 쉽게 생성할 수 있습니다.

우리가 해야 할 일은 출력이 "높음"(1)인 행에 대한 진리표를 조사하고 해당 입력 조건에서 값이 1인 부울 곱 항을 작성하는 것입니다.

예를 들어, A=0, B=1 및 C=1인 3중 2 논리 시스템에 대한 진리표의 아래 네 번째 행에서 곱 항은 A'BC가 됩니다. A=0, B=1 및 C=1인 경우에만 값이 1입니다.

진리표의 다른 3개 행은 출력 값이 1이므로 해당 행도 이를 나타내기 위해 부울 곱 표현식이 필요합니다.

마지막으로, 진리표 전체를 설명하는 단일 부울 표현식을 만들기 위해 이 네 가지 부울 곱 표현식을 덧셈으로 결합합니다.

이제 진리표 기능에 대한 Boolean Sum-Of-Products 표현식이 있으므로 해당 표현식을 기반으로 논리 게이트 또는 릴레이 논리 회로를 쉽게 설계할 수 있습니다.

불행히도 이 두 회로는 모두 상당히 복잡하며 단순화의 이점을 얻을 수 있습니다.

부울 대수학 기술을 사용하면 표현식을 크게 단순화할 수 있습니다.

단순화의 결과로 이제 게이트 또는 릴레이 형식으로 동일한 기능을 수행하는 훨씬 간단한 논리 회로를 구축할 수 있습니다.

이 회로 중 하나는 3개의 화염 센서 중 2개의 화염 검증을 기반으로 소각로 폐기물 밸브 작동 작업을 적절하게 수행합니다.

이것은 최소한 안전한 소각로 시스템을 갖추기 위해 필요한 것입니다.

그러나 센서 중 하나가 다른 두 센서와 일치하지 않는지 감지하도록 설계된 논리 회로를 시스템에 추가하여 시스템의 기능을 확장할 수 있습니다.

세 개의 센서가 모두 제대로 작동한다면 동일한 정확도로 화염을 감지해야 합니다.

따라서 모두 "낮음"(000:불꽃 없음)으로 등록하거나 모두 "높음"(111:좋은 불꽃)으로 등록해야 합니다.

다른 출력 조합(001, 010, 011, 100, 101 또는 110)은 센서 간의 불일치를 구성하므로 잠재적인 센서 오류의 표시기 역할을 할 수 있습니다.

6가지 "센서 불일치" 조건 중 하나를 감지하는 회로를 추가하면 해당 회로의 출력을 사용하여 경보를 활성화할 수 있습니다.

소각로를 모니터링하는 사람은 고장난 센서(입력:011, 101 또는 110)로 계속 작동할지 아니면 절대 안전을 위해 소각로를 종료할지 판단합니다.

또한, 소각로가 꺼지고(불꽃 없음), 하나 이상의 센서가 여전히 불꽃(001, 010, 011, 100, 101 또는 110)을 표시하고 다른 센서(들)는 불꽃 없음을 표시하는 경우, 확실한 센서 문제가 있음을 알 수 있습니다.

이 "센서 불일치" 감지 회로를 설계하는 첫 번째 단계는 동작을 설명하는 진리표를 작성하는 것입니다.

"좋은 불꽃" 논리 회로의 출력을 설명하는 진리표가 이미 있으므로 테이블에 다른 출력 열을 추가하여 두 번째 회로를 나타내고 전체 논리 시스템을 나타내는 테이블을 만들 수 있습니다.

이 새로운 진리표 열에 대해 Sum-Of-Products 표현식을 생성하는 것이 가능하지만 각각 3개의 변수로 구성된 6개의 항이 필요합니다!

이러한 부울 표현식은 대수적 오류를 범할 가능성이 크므로 단순화하는 데 많은 단계가 필요합니다.

합계 사용

진리표의 모든 "높은"(1) 출력 조건을 설명하기 위해 Sum-Of-Products 표현식을 생성하는 대안은 Product-Of-Sums를 생성하는 것입니다. , 또는 POS , 식, 대신 모든 "낮은"(0) 출력 조건을 설명합니다.

마지막 진리표 열에 "낮음" 출력의 인스턴스가 훨씬 적기 때문에 결과로 나오는 합산 표현식에는 더 적은 수의 항이 포함되어야 합니다.

이름에서 알 수 있듯이 Product-Of-Sums 표현식은 추가된 용어(sum ), 곱해집니다(product ) 함께.

POS 표현식의 예는 (A + B)(C + D), "A + B"와 "C + D"의 곱입니다.

시작하려면 마지막 진리표 열에서 "낮은"(0) 출력이 있는 행을 식별하고 해당 행의 입력 조건에 대해 0이 되는 부울 합계 항을 작성합니다.

예를 들어 A=0, B=0, C=0인 진리표의 첫 번째 행에서 합항은 (A + B + C)가 됩니다. A=0, B=0 및 C=0인 경우에만:

마지막 진리표 열의 다른 행 하나만 "낮음"(0) 출력을 가지므로 합산 표현식을 완성하기 위해 하나의 합 항만 더 있으면 됩니다.

이 마지막 합계 항은 A=1, B=1 및 C=1의 입력 조건에 대한 0 출력을 나타냅니다.

따라서 항은 (A' + B'+ C')로 작성해야 합니다. 왜냐하면 보완된 입력 변수는 해당 조건에 대해서만 0과 같습니다.

물론 완성된 합계 식은 다음 두 합계 항의 곱셈 조합입니다.

Sum-Of-Products 표현식은 출력이 단일 OR 게이트에 연결된 AND 게이트 세트의 형태로 구현될 수 있는 반면 Product-Of-Sums 표현식은 단일 OR 게이트에 공급되는 OR 게이트 세트로 구현될 수 있습니다. AND 게이트:

이에 따라 Sum-Of-Products 식은 직렬 연결된 릴레이 접점의 병렬 모음으로 구현될 수 있지만 Product-Of-Sums 식은 병렬 연결된 릴레이 접점의 직렬 모음으로 구현될 수 있습니다.

앞의 두 회로는 "양호한 화염" 감지 회로가 아니라 "센서 불일치" 논리 회로의 다른 버전을 나타냅니다.

전체 논리 시스템은 동일한 다이어그램에 표시된 "좋은 불꽃" 및 "센서 불일치" 회로의 조합이 됩니다.

PLC(Programmable Logic Controller)에 구현된 전체 논리 시스템은 다음과 유사할 수 있습니다.

보시다시피 Sum-Of-Products 및 Products-Of-Sums 표준 부울 형식은 진리표에 적용할 때 강력한 도구입니다.

그것들은 우리가 논리 회로가 하기를 원하는 것에 대한 서면 명세인 진리표(truth table) 외에는 아무 것도 없이 부울 식(궁극적으로는 실제 논리 회로)을 유도할 수 있게 해줍니다.

간단하고 결정적인 절차를 사용하여 작성된 사양에서 실제 회로로 이동할 수 있다는 것은 디지털 회로의 설계 프로세스를 자동화할 수 있음을 의미합니다.

즉, 진리표 사양에서 맞춤형 논리 회로를 설계하도록 컴퓨터를 프로그래밍할 수 있습니다!

진리표에서 최종 회로까지의 단계는 매우 명확하고 직접적이어서 실행하는 데 창의성이나 기타 독창적인 생각이 거의 필요하지 않습니다.

검토:

<울>

제품의 합계 , 또는 SOP , 테이블의 어떤 행이 1의 출력을 갖는지 결정하고, 각 행에 대해 하나의 제품 용어를 작성한 다음, 마지막으로 모든 제품 용어를 합함으로써 진리표에서 부울 표현식을 매우 쉽게 생성할 수 있습니다. 이렇게 하면 진리표 전체를 나타내는 부울 표현식이 생성됩니다.

Sum-Of-Products 표현식은 단일 OR 게이트(sum)에 공급되는 AND 게이트(product) 세트로 구현하기에 적합합니다.

합계 , 또는 POS , 부울 표현식은 또한 테이블의 어떤 행이 0의 출력을 갖는지 결정하고, 각 행에 대해 하나의 합계 항을 작성하고, 마지막으로 모든 합계 항을 곱함으로써 진리표에서 아주 쉽게 생성될 수 있습니다. 이렇게 하면 진리표 전체를 나타내는 부울 표현식이 생성됩니다.

합계 곱 식은 단일 AND 게이트(곱)에 공급되는 OR 게이트(합) 집합으로 구현하는 데 적합합니다.

관련 워크시트:

<울>

Sum-of-Products 및 Product-of-Sums 표현식 워크시트

부울 대수학 워크시트