벤 다이어그램을 이용한 불 관계 이해하기

네 번째 그림은 집합 A가 집합 B와 부분적으로 겹침을 보여줍니다. 먼저 두 집합의 합집합을 나타내는 전체 해칭 영역을 고려하고, 나중에 교집합을 분리합니다.

아래 왼쪽에서 빨간 수평 해칭 영역은 A를, 파란 수직 해칭 영역은 B를 나타냅니다.

해칭 스타일에 관계없이 모든 해칭 영역을 합치면 A와 B의 포괄적 OR 기능에 해당합니다. 불 식은 A + B입니다.

다이어그램에서 45° 해칭 밴드는 합집합을 나타냅니다. 이 해칭 영역 밖은 여집합 (A + B)'입니다.

다음으로 A와 B의 교집합을 살펴봅니다. 왼쪽의 이중 해칭 구역은 배타적 AND 기능을 나타내며 AB로 표현됩니다. 이중 해칭 영역 밖은 (AB)'입니다.

A의 일부 원소가 (AB)'에 속하고 B도 마찬가지지만, (AB)'의 어떤 원소도 이중 해칭된 AB 영역 안에는 없습니다.

두 번째 예가 왼쪽에 반복되고, 앞서 스케치한 다섯 번째 예가 오른쪽에서 비교용으로 나타납니다. 이후 섹션에서는 카르노 맵을 사용해 어떤 원소가 다른 집합에 완전히 포함되는지 식별하겠습니다.

이제 보수 변수를 포함한 불 식을 소개합니다.

예제: A'B (A NOT AND B) 표현식을 벤 다이어그램으로 시각화하세요.

해결: 왼쪽 위에서 A'를 빨간 수평 해칭으로 칠합니다. 오른쪽 위에서 B를 파란 수직 해칭으로 칠합니다. 왼쪽 아래 겹치는 영역이 A'B입니다. 대부분의 학생은 오른쪽의 전체 이중 해칭 영역을 그려 명확히 합니다. 여집합 (A'B)'는 이 영역 밖의 칠하지 않은 부분입니다.

이제 보수 변수를 포함한 OR 연산을 다룹니다.

예제: B' + A 영역을 결정하세요.

해결: 오른쪽에서 B부터 시작해 칠한 뒤 여집합으로 B'를 만듭니다. 그 위에 A를 겹칩니다. 해칭 스타일에 관계없이 모든 해칭 영역의 합집합이 A + B'입니다. 이는 왼쪽에서 단일 해칭 영역으로 표시되어 명확합니다.

예제: 여집합 (A + B')'를 찾으세요.

해결: 왼쪽 다이어그램의 흰색 투명 영역이 (A + B')'에 해당합니다. 녹색 45° 해칭 밴드는 앞서 합집합 A + B'를 보여줬습니다. 여집합을 오른쪽의 이중 해칭 영역 AB'와 비교하면 두 모양이 동일해 드모르간 정리와 이중 부정을 확인합니다.

벤 다이어그램은 직관적 시각적 검증을 제공하지만 형식적 증명은 아닙니다. 엄격한 검증에는 불 대수가 필요합니다. 그럼에도 드모르간 정리 같은 개념 설명에 매우 유용합니다.

예제: A' + B' 표현식을 벤 다이어그램에 그리세요.

해결: A'를 빨간 수평 해칭, B'를 파란 수직 해칭으로 칠합니다. 결과 그림은 최소 하나의 해칭을 포함하는 모든 영역을 보여주며 A' + B'에 해당합니다. 유일한 비칠 영역은 원래 원들의 중심 겹침입니다.

예제: (A' + B')'를 시각화하세요.

해결: 중앙의 흰색 공간이 이전 다이어그램의 여집합입니다. 이는 정확히 (A' + B')' 영역입니다.

예제: (A' + B')' = AB임을 검증하세요.

해결: 왼쪽 아래 다이어그램은 (A' + B')'의 열린 영역을 보여줍니다. 왼쪽과 중앙 다이어그램은 이중 해칭 교집합 AB를 묘사합니다. 완벽하게 일치해 드모르간 정리와 이중 부정을 통해 항등식을 확인합니다.

마지막으로 A(빨강), B(파랑), C(녹색 45°)의 3변수 벤 다이어그램을 제시합니다. 세 원이 모두 겹치는 중앙 영역은 ABC입니다. 더 큰 꽃잎 모양 영역들은 쌍별 교집합 AB, AC, BC를 보여줍니다. AND 항의 변수 수가 증가할수록 해당 영역은 축소됩니다: A만은 큰 원, AB는 더 작은 꽃잎, ABC는 가장 작은 영역.

• A (1변수): 큰 원형 영역.
• AB (2변수): 더 작은 꽃잎 모양 영역.
• ABC (3변수): 가장 작은 영역.
• 변수 증가 → AND 영역 축소.