소각 산란으로 밝혀낸 결정론적 나노스케일 팻 프랙탈의 구조

요약

중성자, X선, 빛의 소각 산란(SAS)을 이용하여 결정론적 나노스케일 팻 프랙탈의 구조적 특성을 기술하였다. 다분산 프랙탈 시스템에서 모든 방향에 동일한 확률이 주어질 때, 각 구조 수준에서의 프랙탈 차원과 스케일링 인자를 얻을 수 있음을 보였다. 이는 무작위 배향, 비상호작용 나노/마이크로 프랙탈 시스템의 SAS 분석에서 도출된 일반적 결과와 일치한다. 2차원 팻 칸토르 유사 프랙탈에 적용하여 산란 강도와 구조 인자의 해석적 표현을 계산하였다. 실험 데이터로부터 구조적 특성을 계산하는 방법과 스케일링 인자의 반복 수 의존성과의 상관관계를 보였다. 이 모델은 실험적 SAS 데이터를 팻 프랙탈 프레임워크에서 해석하고, 프랙탈 차원이 규칙적으로 변화하는 물질의 구조적 특성을 밝히는 데 활용될 수 있다. 임의의 감소하는 산란 지수 값의 거듭제곱 법칙 감쇠 계열과 그 사이에 삽입된 일정 강도 영역을 기술할 수 있다.

서론

나노/마이크로스케일에서 생성되는 많은 위계 구조는 스케일 팽창하에서 불변인 기하학적 특성, 즉 자기유사성을 가져 프랙탈 특성을 띤다[1,2]. 최근 재료과학과 나노기술 발전으로 정확한 자기유사성을 가진 다양한 인공 결정론적 프랙탈 제조가 가능해졌으나[3-7], 자연 과정 대다수는 무작위적, 통계적 자기유사 프랙탈을 생성한다. 동일한 프랙탈 차원을 가진 결정론적 프랙탈 모델로 자연 프랙탈 형성을 근사하는 것은 좋은 접근이다[8]. 결정론적 프랙탈 구성 알고리즘에 다분산성을 도입하면 무작위 프랙탈에 상응하는 SAS 강도 획득 가능[9]. 또한 결정론적 접근은 계산 효율이 높아 프랙탈 형태, 구조 인자, 회전 반경 등 다양한 특성의 해석적 기술이 가능하다.

나노/마이크로 구조 물질에 중성자나 전자기파(X선, 빛 등)를 이용한 소각 산란은 결정론적/무작위 프랙탈 구조 특성 규명의 가장 신뢰성 있는 방법 중 하나다[10-12]. 따라서 프랙탈 구조와 회절 스펙트럼 또는 산란 파동 벡터에 따른 산란 강도 분포 간 관계 규명은 이 연구 영역에서 이론적 기술과 실험적 결정을 연결하는 근본 과제다[13-21].

표준 이론 계산과 보간으로 실험 측정에서 결정되는 매개변수는 질량 프랙탈 차원 D_m(D_ms(d-1sD_m → I(q) ∝ q^-D_m. D_m은 산란 강도 q 의존성의 거듭제곱 지수와 동일시[18,22]. D_m 클수록 구조 조밀. 표면 프랙탈은 표면 분포 S(r) ∝ r^2-D_s → I(q) ∝ q^-(2d-D_s)[19,23]. 3차원 공간에서 D_s는 매끄러운 표면일 때 2, 공간 거의 채울 때 3에 접근.

많은 실험 회절 강도는 이중 로그 스케일에서 거듭제곱 법칙 감쇠 계열과 일정 강도 영역이 번갈아 나타난다. 이는 고분자 겔[24], 셀룰로오스 기질 글리코사이드 하이드롤레이즈[25], 폴리전해질 복합 코아세르베이트[26], 나노다공성 탄소[27] 등에서 확인. 고전적 보카주 모델[28]로 각 구조 수준의 프랙탈 차원과 전체 크기 등 기본 정보 획득 가능하나, 고정된 프랙탈 차원에 해당하는 수많은 구성 존재로 더 완전한 특성화 필요. 체르니 등[29]이 단일 스케일 결정론적 질량 프랙탈에서 프랙탈 반복 수, 기본 구성 단위 수, 스케일링 인자 등 추가 정보 획득 가능함 보임. 이 접근은 기본 구성 단위 전체 크기가 간격과 같은 주문일 때 적용 가능한 팻 프랙탈 새 모델 개발로 확장[30,31].

본 논문 이론 모델은 기존 모델 결합으로 적용 범위 확장. 임의 감소하는 산란 지수의 거듭제곱 법칙 감쇠 계열과 일정 강도 영역 삽입 기술. 각 구조 수준에 대한 더 상세 정보 제공: 팻 프랙탈, 즉 2차원 결정론적 질량 프랙탈로 스케일링 인자가 반복 수 의존적이나 무한 반복 극한에서 영이 아닌 표면적(양의 르베그 측도) 가짐. 프랙탈 형태와 구조 인자 해석적 표현 유도, 각 구조 수준에서 프랙탈 차원과 스케일링 인자 결정 방법 제시.

이론적 배경

동일 배향, 동일 회절 개구 Σ, N개 투명 영역(j 라벨)을 고려. 각 개구 진폭 합산 필요. 단일 개구 회절 진폭 주파수 분포(부록 2 식 37)는 다음과 같이 재작성 가능[32]:

$$ A(p,s) = \sum\limits_{j=1}^{N} \iint\limits_{-\infty}^{+\infty} T(x,y) e^{-2 i \pi \left(p(x+x_{j}) + s(y+y_{j})\right)}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y. $$ (1)

j번째 개구 지역 좌표계 점 좌표 (x_j, y_j), T(x,y)는 각 투명 영역 개별 투과 함수. 개구들이 동일한 분포 함수 기술하므로 합산과 적분 교환 가능:

$$ A(p,s) = \iint\limits_{-\infty}^{+\infty} T(x,y) e^{-2 i \pi (px + sy)}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \times \sum\limits_{j=1}^{N}e^{ipx_{j}}e^{isy_{j}}. $$ (2)

적분 인자는 각 동일 개구 분포 함수의 푸리에 변환. 합산 인자는 디랙 델타 분포 A_δ = Σ_j=1^N(x-x_j)(y-y_j)의 푸리에 변환으로 개구 공간 분포 반영. 어레이 정리 형태로 재작성[32]:

$$ A(p,s) = \mathcal{F}\{T(x,y)\} \mathcal{F}\{A_{\delta}\}. $$ (3)

푸리에 평면 회절 영상 강도 분포:

$$ I(p,s) \equiv |A(p,s)|^{2} = |\mathcal{F}\{T(x,y)\}|^{2} |\mathcal{F}\{A_{\delta}\}|^{2}. $$ (4)

첫 번째 인자는 단일 구멍 산란 강도, 두 번째는 개구 Σ 내 구멍 분포 방식 드러냄. 이들은 각각 형태 인자 F(p,q), 구조 인자 S(p,q)로 알려짐. 따라서 산란 강도 형태:

$$ I(p,q) \equiv F(p,s) S(p,s). $$ (5)

팻 프랙탈 모델 및 방법

얇은(규칙적) 칸토르 프랙탈 구성 절차는 잘 알려져 있음[33]. 주요 절차 요약. 톱다운 방식 채택. 초기 정사각형(또는 임의 유클리드 형상) 변 l₀(m=0), 중심이 데카르트 좌표 원점, 변이 좌표축 평행. 정사각형 내 임의 점 -l₀/2≤x≤l₀/2, -l₀/2≤y≤l₀/2 만족. 1차 반복(m=1)에서 정사각형을 변 길이 β_s⁽¹⁾l₀인 네 정사각형으로 분할. β_s⁽¹⁾ ≡ (1-γ₁)/2, 0<β_s⁽¹⁾<1/2를 1차 반복 스케일링 인자, γ₁을 이 단계 제거 길이 비율로 정의(Fig. 1a,b m=1 참조). 괄호 안 숫자(⋯)는 상첨자로 반복 수 표시, 거듭제곱 지수 아님. 스케일링 인자 관점에서 네 정사각형 위치는 벡터 a_j = {±β_t⁽¹⁾l₀, ±β_t⁽¹⁾l₀}로 모든 부호 조합, β_t⁽¹⁾ = (1-β_s⁽¹⁾)/2로 정의. 정사각형 선택은 수치 계산 단순성 때문, 원 등 타 형상도 가능, 형태 인자 포로드 영역만 영향.

고전적 팻 프랙탈 구성도 m=0,1까지 동일. m=2에서 다른 스케일링 인자 β_s⁽²⁾ ≡ (1-γ₂)/2 선택으로 알고리즘 수정. 높은 반복 수 극한 적용[34,35] 시 고전적 팻 프랙탈 재현. 모든 반복에서 스케일링 인자 동일(β_s⁽¹⁾=β_s⁽²⁾=⋯=β_s^(m))이면 규칙적 프랙탈 회복.

SAS 강도에서 두 거듭제곱 법칙 감쇠 사이 일정 고원 얻기 위해 산란 단위 간 거리가 전체 크기보다 훨씬 큼 고려[36,37]. 산란 단위 간 전체 거리 l_in과 전체 크기 l₀ 비율 f 정의:

$$ f \equiv l_{\text{in}}/l_{0}. $$ (6)

고원 나타내는 산란 실험에서 f≫1 선택. 표면 프랙탈에서 f 증가 시 총 SAS 강도와 독립 산란 단위 근사 간 일치도 향상[36,37].

Fig. 1로 규칙적/팻 프랙탈 차이와 f 인자 영향 시각화. 기본 형상 반지름 r₀≡l₀/2=l_in/(2f) 원판. Fig. 1a f=1로 고전적 구성/프랙탈 형상. Fig. 1b f=2 임의 선택. m=0,1에서 규칙적/팻 칸토르 집합 구조 동일 완전 중첩(공통 스케일링 인자). m=2부터 팻 프랙탈 원판 반지름 더 큼(β_s⁽²⁾ > β_s⁽¹⁾ 정의상). Fig. 2b 마지막 이미지에서 f 비단위값으로 원판 크기 Fig. 2a 대응보다 훨씬 작음.

Fig. 2는 m=6, 방정식 (25) 따라 배향 평균 낸 식 (22) 산란 강도(검정 곡선)와 식 (24) 구조 인자(빨강 곡선) 비교. h=3(스케일링 인자 3회 반복 동안 고정), 기본 형상 변 l₀ 정사각형. Fig. 2a f=1(고전적 팻 프랙탈), Fig. 2b f=10(확장 팻 프랙탈 모델). 예상대로 f=1,10 모두 q≳1/l_m 영역에서 산란 강도와 구조 인자 차이 관측. 이 영역에서 산란 강도 거듭제곱 법칙 I(q)∝q^-3 감쇠. 구조 인자 점근값 1/N_m 경향(Fig. 2a 수평선, Fig. 2b 아래 수평선)[29,33].

Fig. 2a에서 단순 거듭제곱 법칙 감쇠 위에 중첩된 두 일반화 거듭제곱 법칙 감쇠(극대/극소 중첩) 계열 관측. Fig. 2b에서 f=10으로 정사각형 크기 거리가 한 자릿수 감소하여 20≲ql₀≲100 영역에서 두 연속 일반화 거듭제곱 법칙 감쇠 사이 대략 일정 강도 영역 명확 구분. 이 영역(Fig. 2b 위 수평선 주변)은 고전적 팻 프랙탈 구조 인자 점근값 1/N₃과 동일, 최초 3회 반복만 고려한 경우와 유사 거동.

Fig. 2에서 각 스케일 극소 개수가 고정 스케일링 인자 반복 수와 일치함 관측. 극소는 프랙탈 내 다른 정사각형 통과 복사가 위상 반대 간섭 시 발생, 정사각형 중심 간 최빈 거리 2u_m = π/q 조건. 극소 근사 위치:

$$ q_{i} \simeq \frac{\pi}{2 u_{i}},~~~~i=1, \cdots, m $$ (26)

Fig. 2 세로선으로 표시. 최초 6회 반복에서 식 (26) 계산 위치와 산란 강도/구조 인자 극소 위치 꽤 좋은 일치. 반복 수 일정 값 초과 시 더 많은 거리 비교 가능해 근사 정확도 떨어질 수 있으나, 실제 실험에서 4-5개 이상 극소 구분 어려우므로 실용적 충분.

주어진 범위 1/(2u_i)≲q≲1/(2u_i+1)에서 회절 패턴은 i번째 프랙탈 반복 간섭만으로 생성. 이 구간에서 I_m(q)q^D, S_m(q)q^D가 로그 주기적[29], D는 해당 스케일 프랙탈 차원. Fig. 2,3 결과에서 최초 3회 반복 1/β_s⁽¹⁾ 주기, 다음 3회 반복 1/β_s⁽²⁾ 주기로 로그 주기적 거동 확인.

다분산 산란 강도 및 구조 인자

격자 크기 분포 함수 D_N(l₀) 도입으로 다분산성 고려. D_N(l₀)dl₀는 프랙탈 격자 크기 구간 (l₀, l₀+dl₀) 확률. 로그정규 분포 예시(식 27). 식 (21), (27)로 분포 함수 평균 낸 다분산 강도 유도. 구조 인자도 유사하게 계산(형태 인자 항 제외)[29].

Fig. 3,4에서 단분산(검정)과 다분산(빨강) 산란 강도(a), 구조 인자(b) 비교. 차이는 f 인자 값. Fig. 3 f=1 고전적 팻 프랙탈, Fig. 4 f=10 확장 모델. 상대 분산 σ_r=0.4로 다분산 계산. 진동이 번짐, 전체 진폭 감소, 산란 곡선 매끄러워짐[29,40]. 이 σ_r 값에서 주요 극소/극대 위치 여전히 관측 가능.

일반적으로 작은 σ_r(진동 관측 가능 정도)에서는 식 (26) 추정 여전히 사용 가능. 프랙탈 반복 수, 각 구조 수준 스케일링 인자, 산란 단위 간 거리/크기 비율 회복 가능. σ_r 충분히 커져 진동 완전 번짐 시 산란 곡선 단순 거듭제곱 법칙 감쇠. 좁은 종형 분포 사용으로 산란 지수 보존, 각 거듭제곱 감쇠에 해당 구조 수준 프랙탈 차원 제공. 이는 식 (14) 이론 추정과 일치. 거의 모든 실험 산란 곡선 일정 다분산성 가지므로, 중간 일정 강도 영역 포함 우리 팻 프랙탈 모델이 다분산 실험 데이터에서 각 구조 수준 프랙탈 차원 회복 가능.

결론

나노스케일 팻 프랙탈 표준 모델 일반화 이론 모델 제안. 기본 단위 형상 초기 변 크기가 프랙탈 전체 크기보다 훨씬 작아, 프랙탈 내 기본 단위 간 거리보다 훨씬 작음 특징. Fig. 1b 기본 모델 예시(이 양 사이 1/2 비율).

이 모델 기반 식 (22) 산란 강도, 식 (24) 구조 인자 해석적 공식 유도. 식 (25) 따라 전체 배향 평균. 이 평균량들은 이중 로그 스케일에서 두 구조 수준, 즉 두 거듭제곱 법칙 감쇠와 그 사이 일정 강도 영역(고원) 존재(Fig. 2b, 4). 이 고원은 스케일링 인자 고정된 최초 구조 수준만 고려한 팻 프랙탈 구조 인자 점근 영역과 일치. 고원 점근값으로 각 구조 수준 산란 단위 수 획득 가능. 고원 길이는 f 값 제어. 고원 양측 거듭제곱 법칙 감쇠는 유한 반복 수 동안 스케일링 인자 고정으로 얻음(예: 총 6회 중 3회). 두 번째 거듭제욱 감쇠 기울기 더 가파름: 스케일링 인자 값이 정의상 각 구조 수준에서 증가하므로, 수치 계산 결과 확인(Fig. 2,3,4).

다분산 팻 프랙탈 경우도 기술. 구성 단위 크기가 예시로 로그정규 분포 따름. 산란 강도/구조 인자 매끄러운 곡선 획득. 단분산 곡선과 충분히 작은 상대 분산 다분산 곡선에서 각 구조 수준 스케일링 인자 획득 가능, 다분산 곡선 산란 지수가 각 구조 수준 프랙탈 차원 제공. 상대 분산 0.4 선택은 산란 특성에서 일부 극소 관측 가능하고 곡선이 여전히 거듭제곱 법칙 감퇴 형태 유지하는 경우 예시.

제안 모델 프레임워크 결과는 프랙탈 차원이 규칙적으로 변화하는 프랙탈 물질 구조적 특성 규명에 활용 가능. 제안 모델은 기본 단위 형상 변경, 2개 이상 구조 수준, 타 유클리드 차원 적용 등 확장 용이. 소각 산란 실험 회절 데이터의 상세 기술에 유용: 다양한 복잡한 나노/마이크로 위계 구조로부터 획득 데이터.