작은 각도 산란(중성자, x-선 또는 빛, SAS)은 결정론적 나노 규모 지방 프랙탈의 구조적 특성을 설명하는 것으로 간주됩니다. 우리는 다분산 프랙탈 시스템의 경우 모든 방향에 대해 동일한 확률로 각 구조 수준에서 프랙탈 차원과 배율 인수를 얻는다는 것을 보여줍니다. 이것은 무작위로 배향되고 상호 작용하지 않는 나노/마이크로 프랙탈 시스템의 작은 각도 산란 분석의 맥락에서 추론된 일반적인 결과와 일치합니다. 산란 강도 및 구조 요인에 대한 분석 표현식을 계산하여 2차원 지방 Cantor와 같은 프랙탈에 결과를 적용합니다. 실험 데이터에서 구조적 특성을 계산하는 방법을 설명하고 반복 횟수에 따른 스케일링 계수의 변화에 대한 상관 관계를 보여줍니다. 모델은 지방 프랙탈의 프레임워크에서 기록된 실험 SAS 데이터를 해석하는 데 사용할 수 있으며 프랙탈 차원의 규칙적인 변경 법칙을 특징으로 하는 재료의 구조적 특성을 나타낼 수 있습니다. 산란 지수의 임의의 감소 값으로 거듭제곱 법칙 붕괴를 설명할 수 있습니다. 및 일정한 강도의 영역에 의해 삽입됩니다.
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소개
나노 및 마이크로 스케일에서 생성된 많은 계층 구조는 스케일 확장에 따라 변하지 않는 기하학적 특성을 가지며 자기 유사성을 표시하므로 프랙탈 특성을 나타냅니다[1, 2]. 재료 과학 및 나노 기술의 최근 발전으로 인해 정확한 자기 유사성을 가진 다양한 인공 나노/마이크로 규모 결정론적 프랙탈의 준비가 가능하지만[3-7], 대부분의 자연 과정은 무작위의 통계적으로 자기 유사 프랙탈을 생성합니다. 자연 프랙탈 형성의 구조 연구에서 좋은 근사는 임의의 것과 동일한 프랙탈 차원을 가진 결정론적 프랙탈 모델에 의존하여 수행할 수 있습니다. 이 접근 방식은 무작위 프랙탈 표면을 통한 전달이 결정론적 모델 기하학의 응답에 매우 가깝다는 것을 보여주기 위해 성공적으로 사용되었습니다[8]. 결정론적 프랙탈의 구성 알고리즘에 다분산성을 도입함으로써 무작위 프랙탈에 해당하는 것과 유사한 작은 각도 산란(SAS) 강도를 얻을 수 있습니다[9]. 또한 "결정론적" 접근 방식은 계산적으로 더 효율적이므로 프랙탈 형태, 구조 요소 및 회전 반경과 같은 다양한 속성에 대한 분석적 설명이 가능합니다.
결정론적 프랙탈과 랜덤 프랙탈[10, 11] 모두의 구조적 특성을 결정하는 가장 신뢰할 수 있는 방법 중 하나는 중성자 또는 전자기파를 사용하여 나노 또는 미세 구조 물질에 대한 작은 각도 산란의 맥락에서 파동 회절을 사용하는 것입니다(x - 광선, 빛 등) [12]. 이것이 이 연구 영역의 실험적 결정과 관련된 이론적 설명의 기본 작업 중 하나가 프랙탈의 구조와 해당 회절 스펙트럼 또는 산란 강도 분포 대 산란파 벡터 간의 관계를 밝히는 것입니다. 많은 실험적, 이론적 연구가 이 방향으로 수행되었습니다[13-21].
표준 이론 계산 및 보간법을 사용하여 이러한 종류의 실험 측정에서 결정되는 매개변수는 질량 프랙탈 차원 D입니다. m (부록 1 참조), DmD s , d −1<Ds <d . d로 표시했습니다. 프랙탈이 포함된 유클리드 차원입니다. 질량 프랙탈 차원은 질량 M이 (r ) 반경이 r인 디스크에 포함될 때 다릅니다. . 얻은 질량 반경 관계 \(M(r) \propto r^{D_{\mathrm {m}}}\) 산란 강도 \(I(q) \propto q^{-D_{\mathrm {m} }}\). 분명히, Dm 산란파 벡터 q의 함수로서 산란 강도의 거듭제곱 법칙 종속성 지수로 식별할 수 있습니다. [18, 22]. D 값이 높을수록 m , 더 조밀한 구조입니다. 마찬가지로 표면 프랙탈의 경우 표면 분포는 \(S(r) \propto r^{2-D_{\mathrm {s}}}\)를 따르므로 \(\phantom {\dot { i}\!}I(q) \propto q^{-(2\mathrm {d}-D_{\mathrm {s}})}\) [19, 23]. 3차원 유클리드 공간에서 작업, Ds 표면이 거의 완벽하게 매끄러울 때 최소값 2에 접근합니다. 너무 접혀서 공간을 거의 완전히 채우면 최대 3개가 되는 경향이 있습니다.
다양한 화학적 합성 및 생물학적 시스템의 많은 실험적 회절 강도는 이중 대수 규모에서 일정한 강도의 영역에 의해 삽입된 일련의 거듭제곱 법칙 붕괴로 특징지어집니다. 이러한 거동은 일부 고분자 겔[24], 셀로비오스 기질용 배당체 가수분해효소[25], 고분자 전해질 복합 코아세르베이트[26] 또는 나노다공성 탄소[27]에서 확인할 수 있습니다. 고전적인 Beaucage 모델[28]이 이러한 시스템에 대한 기본 구조 정보(즉, 질량 또는 표면 프랙탈 차원 및 각 구조 수준의 전체 크기)를 제공할 수 있지만 프랙탈 차원의 고정 값. 이 문제는 최근 Cherny et al.에 의해 부분적으로 해결되었습니다. 소각 산란(SAS) 모델의 맥락에서. 단일 스케일의 결정론적 질량 프랙탈의 경우 프랙탈 반복 횟수, 기본 구성 단위의 수 및 스케일링 계수와 같은 추가 정보를 얻을 수 있음을 보여주었습니다. 이 접근 방식은 연속적인 거듭제곱 법칙 붕괴가 산란 분포에 있는 경우 지방 프랙탈에 대한 새 모델을 개발하는 데 성공적으로 사용되었습니다. 기본 구성 단위의 전체 크기가 그 사이의 거리와 같은 차수인 구조에 적용할 수 있습니다[30, 31].
이 기사에서 제시하는 이론적 모델은 이전 모델을 결합하여 적용 가능성을 확장합니다. 그것은 산란 지수의 값이 임의로 감소하는 거듭제곱 법칙 붕괴를 설명합니다. 및 일정한 강도의 영역에 의해 삽입됩니다. 우리 모델은 또한 나노/마이크로 프랙탈의 각 구조 수준에 대한 자세한 정보를 제공할 수 있습니다. 이 목적을 위해 우리는 반복 횟수에 따라 달라지는 배율 인수를 가진 2차원 결정론적 질량 프랙탈로 표현되는 지방 프랙탈을 고려하지만 많은 반복 횟수의 한계에서 표면적이 사라지지 않으므로 양의 르베그 측정. 프랙탈 형태와 구조 요인의 해석적 표현을 도출하고, 각 구조적 수준에서 프랙탈 차원과 스케일링 요인을 결정하는 방법을 보여줍니다.
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이론적 배경
여기에서 Σ로 표시된 유사하게 배향되고 동일한 회절 구멍의 배열을 고려합니다. , N 포함 j로 레이블이 지정된 투명 영역 , 각 조리개에서 얻은 진폭에 대한 합계를 고려해야 합니다. 따라서 단일 구경의 회절 진폭의 잘 알려진 주파수 분포(부록 2의 식 (37))는 [32]와 같이 다시 쓸 수 있습니다.
j의 로컬 프레임에 있는 점의 좌표 th 조리개는 (xj ,yj ) 및 T (x,y )는 각 투명 영역에 해당하는 개별 전송 함수를 나타냅니다. 우리의 경우 조리개가 동일한 개별 분포 함수로 설명되기 때문에 통합과 합산을 교환할 수 있습니다. 따라서 Eq. (1) 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.
이전 등식의 적분 계수는 위에서 언급한 바와 같이 동일한 구멍 각각의 분포 함수의 푸리에 변환을 나타냅니다. 이 진폭은 \(A_{\delta }~=~\sum _{j~=~1}^{N}(x~ -~x_{j})(y~~y_{j})\). 따라서 어레이 내부 구멍의 공간 분포도 고려됩니다. 따라서 식. (2) 배열 정리 [32]로 알려진 형식으로 다시 작성할 수 있습니다.
예상대로 제품의 첫 번째 요소는 단일 구멍의 산란 강도에 해당하고 두 번째 요소는 회절 구멍 Σ 내에서 이러한 구멍이 분포되는 방식을 나타냅니다. . 이러한 양은 폼 팩터 F라고도 합니다. (p,q ) 및 각각 구조 계수 S (p,q ). 그렇기 때문에 논문 전체에서 얻은 결과는 다음과 같은 산란 강도 형식을 사용하여 표현됩니다.
$$ I(p,q) \equiv F(p,s) S(p,s). $$ (5) 섹션>
지방 프랙탈 모델 및 방법
얇은(일반) Cantor 프랙탈을 구성하는 자세한 절차는 잘 알려져 있습니다[33]. 여기서는 주요 건설 절차만 요약합니다. 위에서 아래로 접근 방식이 채택됩니다. 모서리 l의 초기 정사각형(또는 다른 유클리드 모양)으로 시작 0 (m에 =0), 중심은 데카르트 좌표계의 원점과 일치하고 모서리는 좌표계 축과 평행하며 정사각형의 모든 점은 조건 -l을 충족합니다. 0 /2≤x ≤나0 /2 및 -l0 /2≤y ≤나0 /2. 첫 번째 반복에서(m =1), 정사각형은 모서리 길이가 \(\beta _{\mathrm {s}}^{(1)}l_{0}\)인 네 개의 다른 정사각형으로 나뉩니다. \(\beta _{\mathrm {s}}^{(1)} \equiv (1-\gamma _{1})/2\)로 표시하고 \(0 <\beta _{\mathrm { s}}^{(1)} <1/2\), 첫 번째 반복 배율 인수 및 γ 포함 1m에 대해 그림 1a, b)에서 볼 수 있는 것처럼 이 지점에서 제거된 길이의 비율 =1. 상위 인덱스로 나타나는 (⋯) 사이의 숫자는 반복 횟수를 수량화합니다. 거듭제곱 함수의 지수로 해석되어서는 안 됩니다. 스케일링 인자의 관점에서, 네 개의 정사각형의 위치는 벡터 \(\boldsymbol {a}_{j}~=~\left \{ \pm \beta _{\mathrm {t}}^{ (1)}l_{0}, \pm \beta _{\mathrm {t}}^{(1)}l_{0}\right \}\) 가능한 모든 기호 조합, 여기서 \(\beta _{ \mathrm {t}}^{(1)}~=~\left (1-\beta _{\mathrm {s}}^{(1)}\right)/2\)는 공식을 더욱 단순화하는 데 사용됩니다. 숫자 계산의 단순성 때문에 사각형이 초기 모양으로 선택되었습니다. 예를 들어 원과 같은 다른 기하학적 모양을 고려할 수 있습니다. 다른 모양을 선택하는 효과는 폼 팩터의 Porod 영역에서만 관찰되며 이는 이 문서의 범위를 벗어납니다.