실리콘의 스핀 및 밸리 물리 제어: 주기적 포텐셜로 조절 가능한 밴드갭과 디랙 포인트 구현

초록

주기적 포텐셜 하에서 실리콘의 스핀 및 밸리 의존적 에너지 밴드 구조와 전도 특성을 연구하였다. 이때 스핀과 밸리의 중복도가 모두 해제된다. 디랙 포인트, 미니밴드, 밴드갭, 비등방성 속도, 전도도가 스핀과 밸리 인덱스에 따라 크게 달라짐을 발견했다. 전압 포텐셜이 증가함에 따라 추가적인 디랙 포인트가 나타나는데, 그 임계값은 스핀과 밸리에 따라 다르다. 흥미롭게도, 갭이 없는 그래핀과 달리 전기장과 교환장으로 인해 속도가 크게 억제된다. 특정 밸리 근처에서 특정 스핀에 대해 우수한 콜리메이션 효과를 얻을 수 있다. 스핀 및 밸리 의존적 밴드 구조를 이용해 전송을 제어할 수 있으며, 디랙 포인트에서 완전한 전송이 관찰된다. 따라서 구조적 매개변수로 효과적으로 스위칭 가능한 놀라운 스핀 및 밸리 분극이 달성된다. 중요하게는, 주기적 포텐셜의 무질서에 의해 스핀 및 밸리 분극이 크게 향상된다.

배경

그래핀 발견 이후 육방 격자 구조를 가진 2차원(2D) 디랙 물질들이 광범위하게 연구되어 왔다. 대표적으로 실리콘[1, 2], 전이 금속 다이칼코게나이드[3, 4], 포스포린[5] 등이 있다. 그래핀은 많은 독특한 특성을 지녔으나, 영 밴드갭과 약한 스핀-궤도 상호작용(SOI)으로 응용이 제한된다. 최근 그래핀의 실리콘 유사체인 실리콘이 에피택셜 성장법으로 제작[6-10]되었고, 이론적으로 안정성이 예측[11, 12]되었다. 그래핀과 실리콘은 K와 K' 밸리 근처에서 유사한 밴드 구조를 가지며, 저에너지 스펙트럼은 상대론적 디랙 방정식으로 기술된다[13]. 그래핀과 달리 실리콘은 강한 고유 SOI와 버클 구조를 가진다. 강한 SOI는 디랙 포인트에서 갭을 열며[13, 14] 스핀과 밸리 자유도 사이의 결합을 유도한다. 버클 구조 덕분에 실리콘 시트에 수직인 외부 전기장으로 밴드갭을 제어할 수 있다[14-16]. 또한 실리콘은 기존 실리콘 기반 전자 기술과 더 호환된다. 이러한 특성들은 실리콘을 차세대 나노전자 소재로 만든다. 특히 성장-전사-제작 공정으로 실온에서 작동하는 실리콘 전계효과 트랜지스터가 실험적으로 성공[17]했다.

2D 디랙 물질의 발견은 밸리의 양자 제어에 새 기회를 제공했다. 제1 브릴루앙 영역의 두 비등가 밸리 K와 K'는 전하와 스핀 외에 양자 정보 및 계산을 위한 추가 자유도로 간주될 수 있다[18-20]. 예를 들어, 밸리 자유도를 이용해 전자 스핀 큐비트를 스핀-밸리 큐비트로 확장할 수 있다[18]. 따라서 밸리 유사스핀을 생성, 검출, 조작하는 밸리트로닉스가 큰 관심을 끌고 있다. 그래핀에서는 독특한 에지 모드[21, 22], 삼각 왜곡 효과[23], 위상 선결함[24, 25], 변형[26, 27], 정전기 게이트[28] 등을 이용한 다양한 밸리 분극 방안이 제안되었다. 그래핀에 비해 실리콘은 밸리 유사스핀 연구에 상당한 이점이 있다. 실리콘이 다양한 외부장 조절 하에서 스핀 및 밸리 인덱스로 특징지어지는 풍부한 위상 상과 체르노프 수를 보임이 밝혀졌다[13, 16, 29, 30]. 전기장 E_z와 교환장 h가 있을 때, Ezawa는 E_z-h 평면의 상도도를 스핀 및 밸리 인덱스로 특징지었다[16]. 라슈바 SOI를 추가 고려하면, 위상 상전이에 의해 실리콘에서 밸리 분극 양자 비정상 홀 상태가 예측된다[31]. 이 상태 전이를 기반으로 약한 무질서에 강건한 거의 100% 스핀 분극의 실리콘 기반 스핀 필터가 제안되었다[32]. Yokoyama는 강자성(FM) 실리콘 접합을 통한 탄도 전송을 연구하여 제어 가능한 스핀 및 밸리 분극 전류를 보였다[33]. 전이 금속 다이칼코게나이드에서는 반전 대칭 깨짐으로 고유 SOI에 의한 원자가 밴드 스핀 분리가 두 밸리에서 반대이며, 이는 시간 반전 대칭 때문이다[3, 34, 35]. 깨진 반전 대칭은 밸리 의존적 광학 선택 규칙을 낳아, 오른쪽/왼쪽 원편광으로 K 또는 K' 밸리의 캐리어를 선택적으로 여기할 수 있다[3, 34]. 실험적으로 밸리 분극 신호가 광학[36, 37] 및 전송[38, 39] 측정으로 탐지되었다. 대칭 깨짐 게이트 전기장이 가해진 이중층 그래핀에서 거대 비국소 밸리 홀 효과가 관측되었으며, 비국소 신호가 실온까지 지속된다[38]. 2D 디랙 물질의 밸리트로닉스에 대한 최근 리뷰는 참고문헌[40]에 있다.

초격자는 반도체와 2D 물질의 전자 구조를 설계하는 효과적 방법이다[41]. 그래핀이나 실리콘을 금속 기판 위에 올리면 나노스케일 초격자 패턴이 자연스럽게 발생할 수 있다[42, 43]. 그래핀 초격자는 카이랄 특성으로 인해 비등방성 페르미 속도 재규격화[44]와 스펙트럼에서 새로운 디랙 포인트 생성[45-47]을 유도하며, 이는 실험적으로 관측되었다[43, 48, 49]. 전기장 E_z와 교환장 h가 있는 실리콘 초격자에서는 스핀과 밸리 중복도가 모두 해제된다. 초격자에 의한 미니밴드 구조와 미니갭이 스핀 및 밸리 인덱스에 의존함이 확인되었다[50]. 또한 실리콘 초격자로 스핀 및 밸리 분극을 향상시킬 수 있다[51]. 그래핀과 마찬가지로 실리콘 초격자에서도 많은 새로운 전자 구조가 기대되지만, 관련 연구는 매우 적다[50, 51]. 본 논문에서는 실리콘의 스핀 및 밸리 의존적 밴드 구조와 전송 특성이라는 보완적 측면을 자세히 다룬다. 스핀 및 밸리 인덱스가 추가 디랙 포인트와 비등방성 속도에 서로 다르게 영향을 미치며, 이는 구조적 매개변수로 조절 가능함을 발견했다. 속도는 전기장과 교환장으로 인해 크게 억제된다. 놀라운 스핀 및 밸리 분극이 달성되며, 이는 무질서에 의해 크게 향상될 수 있다.

논문 구성은 다음과 같다. '방법' 섹션에서 이론 형식과 분산 관계를 제시한다. '결과 및 토의' 섹션에서 밴드 구조, 스핀 및 밸리 분극 전송에 대한 수치 결과를 보인다. 마지막으로 '결론' 섹션에서 요약한다.

방법

단일 입자 근사에서 디랙 포인트 근처 실리콘의 전자 구조는 유효 디랙 해밀토니안을 따른다. 고려 시스템은 국소 포텐셜 장벽 U, 교환장 h, 수직 전기장 E_z로 형성된 1차원 실리콘 초격자다. U, h, E_z는 장벽 폭 d_b인 장벽 영역에만 존재하며, 우물 폭 d_w인 우물 영역에서는 U=h=E_z=0이다(그림 1). 크로니그-페니 타입의 초격자는 x 방향으로만 변하며, 단위 길이 d=d_b+d_w이다. 유사한 모델이 참고문헌[51, 52]에서 논의되었으나, 주로 열전 및 전자 전송에 초점을 맞췄으며, 본 연구에서는 밴드 구조와 무질서 효과를 다룬다. 실험적으로 U는 금속 게이트로, h는 FM 절연체 EuO[33]와의 자기 근접 효과로 생성되며, 이들은 실리콘 층 위에 주기적으로 증착된다(그림 1 참조). 실리콘에 수직인 전기장 E_z는 버클 구조로 인해 두 서브격자 A, B 사이 수직 간격 2ℓ≈0.46Å에 따라 계단식 서브격자 포텐셜 Δ_z=ℓE_z를 유도한다[16]. 따라서 전자 상태는 다음 해밀토니안으로 기술된다:

H = ħv_F(k_x τ_x - η k_y τ_y) + Δ_{ησ} τ_z + U_σ

여기서 Δ_{ησ}=Δ_z - ησλ_SO는 스핀 및 밸리 인덱스에 따른 밴드갭으로, 계단식 포텐셜 Δ_z와 SOI λ_SO로 제어된다. U_σ=U - σh는 스핀 인덱스에 따른 유효 포텐셜이다. η=±1은 K와 K' 밸리를, σ=±1은 스핀 업/다운을 나타낸다. v_F는 페르미 속도다. 실리콘에서 고유 및 외재 라슈바 효과는 매우 작아 무시할 수 있다[15].

y 방향 병진 불변성으로 횡파 벡터 k_y는 보존된다. 밸리 η와 스핀 σ에 대한 파동함수는 Ψ(x,y)=ψ(x)e^{ik_y y} 형태이며,

ψ(x) = A (1, ħv_F k_-/ε_{ησ})^T e^{iq_{ησ}x} + B (1, -ħv_F k_+/ε_{ησ})^T e^{-iq_{ησ}x}

장벽 영역에서 ε_{ησ}=ε_b=(E-U_σ)+Δ_{ησ}, x 성분 파동벡터 q_{ησ}=q_b=√[(E-U_σ)^2 - Δ_{ησ}^2 - (ħv_F k_y)^2]/ħv_F. 우물 영역에서 ε_{ησ}=ε_w=E-ησλ_SO, q_{ησ}=q_w=√[E^2 - λ_SO^2 - (ħv_F k_y)^2]/ħv_F. k_±=q_{ησ}±iηk_y. 전송 확률 T_{ησ}는 전달 행렬 기법으로 계산한다. 영온도에서 특정 밸리의 특정 스핀에 대한 정규화 전도도는

G_{ησ}(E) = ½ ∫_{-π/2}^{π/2} T_{ησ}(E, E sinθ) cosθ dθ

여기서 θ는 x 방향 기준 입사각이다. 스핀 및 밸리 분해 전도도는 G_{↑(↓)} = (G_{K↑(↓)}+G_{K'↑(↓)})/2, G_{K(K')} = (G_{K(K')↑}+G_{K(K')↓})/2로 정의한다. 그러면 스핀 분극 P_s와 밸리 분극 P_v를 도입한다:

P_s = (G_↑ - G_↓)/(G_↑ + G_↓)

P_v = (G_K - G_K')/(G_K + G_K')

블로흐 정리와 파동함수 연속 조건에 따라, K와 K' 밸리 근처 스핀 업/다운 전자의 분산 관계 E(k_x)를 계산할 수 있다:

cos(k_x d) = cos(q_w d_w)cos(q_b d_b) - [(ε_b q_w)^2 + (ε_w q_b)^2 + (ε_b-ε_w)^2 k_y^2]/(2ε_w ε_b q_w q_b) sin(q_w d_w)sin(q_b d_b)

k_x는 블로흐 파수다. 계산을 단순화하기 위해 무차원 단위를 도입: E→Ed/ħv_F, U→Ud/ħv_F, λ_SO→λ_SO d/ħv_F, Δ_z→Δ_z d/ħv_F, h→hd/ħv_F, k_y→k_y d, k_x→k_x d, d_w→d_w/d, d_b→d_b/d. Δ_z=λ_SO=h=0일 때 식 (6)은 갭 없는 그래핀의 주기적 포텐셜 경우로 귀착되며, 스핀과 밸리가 중복된다[44-47]. 식 (6)에서 교환장 h만으로 스핀 분리가 유도되나 밸리는 중복됨을 알 수 있다. 그러나 전기장 E_z가 SOI λ_SO와 함께 작용하면 밸리 중복도가 해제된다. 따라서 교환장과 전기장의 조합으로 스핀과 밸리 중복도를 모두 해제할 수 있다[16, 31-33](그림 1). 제안된 시스템에서 서로 다른 밸리 근처의 서로 다른 스핀 전자는 다양한 밴드 구조와 전송 특성을 보인다.

결과 및 토의

이 섹션에서는 위 식을 사용해 실리콘 초격자에서 다양한 스핀 및 밸리 인덱스에 대한 밴드 구조와 전송 특성을 계산한다. 장벽과 우물 폭은 달리 명시하지 않는 한 동일하다고 가정한다. d_b≠d_w인 경우는 갭 없는 그래핀[47]과 유사하다. d_b=d_w=50 nm, λ_SO=3.9 meV로 설정한다(달리 명시하지 않는 한). 페르미 레벨 근처 첫 두 미니밴드(최저 원자가 및 전도 미니밴드)에 집중한다.

스핀 및 밸리 의존적 밴드 구조

먼저 포텐셜 U가 미니밴드에 미치는 영향을 그림 2에 보인다. 갭 있는 경우와 없는 경우를 동시에 논의하기 위해 Δ_z=7.8 meV=2λ_SO로 설정한다. 포텐셜이 없을 때(U=0), K 밸리 근처 스핀 업 전자(K↑)와 K' 밸리 근처 스핀 다운 전자(K'↓)는 갭이 없다(그림 2 a1, a4). 반면 K↓와 K'↑ 전자는 큰 갭을 가진다(그림 2 a2, a3). 유효 포텐셜 U_σ=U-σh로 인해 스핀 업(또는 다운) 전자의 미니밴드는 h만큼 음(또는 양) 에너지 영역으로 이동한다. K↑(또는 K↓)와 K'↓(또는 K'↑)의 밴드 구조는 E=0에 대해 거울 대칭을 이룬다(식 6과 일치). 그러나 U가 있으면 이 거울 대칭이 깨진다. 관찰되는 바와 같이 U가 증가함에 따라 추가 디랙 포인트가 나타나며 그 수도 늘어난다. 추가 디랙 포인트는 인근 파동함수의 카이랄리티로 입증된다[46]. 실리콘 시스템에서 디랙 포인트 특성은 스핀 및 밸리 자유도에 크게 의존한다(그림 2). 예를 들어 U=135 meV에서(그림 2 d1-d4) K↑, K↓, K'↑, K'↓ 전자의 디랙 포인트 수는 각각 5, 6, 4, 7개다. U=40.66 meV에서 K↓ 전자(그림 2 b2), U=100.63 meV에서 K'↑ 전자(그림 2 c3)처럼 특정 U 값에서 k_y=0에 새로운 디랙 포인트가 생성되며, U가 더 증가하면 이 포인트가 k_x=0을 유지한 채 k_y=0에서 반대 방향으로 갈라진다. 결과적으로 K↓와 K'↑ 전자의 밴드갭이 닫혀(그림 2 b2, c3), 갭 있는 시스템이 갭 없는 시스템이 된다. 임계 U 값을 찾기 위해 d_b=d_w, k_x=0으로 설정한다. 갭 없는 그래핀의 규칙[47]과 유사하게, 암시 함수 정리를 고려하면 새로운 디랙 포인트에서의 종파 벡터가 q_b=q_w를 만족할 때

E_0 = [(U - σh)^2 - Δ_z^2 + 2ησΔ_zλ_SO] / [2(U - σh)]

K↑와 K'↓ 전자(ησ=1)에서 Δ_z=2λ_SO일 때 식 (7)은

E_0 = (U - σh)/2

로 단순화된다. 이에 따라 식 (6)은

cos^2(q_w d_w) - [(ε_b^2+ε_w^2)q_w^2 + (ε_b-ε_w)^2 k_y^2]/(2ε_w ε_b q_w^2) sin^2(q_w d_w) = 1

가 되며, 이는 (ε_b^2+ε_w^2)q_w^2 + (ε_b-ε_w)^2 k_y^2 = -2ε_w ε_b q_w^2 또는 q_w d=2nπ(n은 양의 정수)일 때 만족된다. 식 (8)에서 ε_b=-ε_w이므로, 전자는 K↑와 K'↓ 전자에서 Δ_z=2λ_SO일 때 k_y0=0일 때만 성립하며, 이는 원래 디랙 포인트에 해당한다. q_w d=2nπ의 해는

k_y0 = ±(1/d)√[(E_0^2-λ_SO^2)d^2/(ħv_F)^2 - (2nπ)^2]

형태를 가진다. √(E_0^2-λ_SO^2)d/2πħv_F ≥ n일 때 k_y0이 실수가 되어 새로운 디랙 포인트 (E_0, k_y0)에서 발생한다. 낮은 U 값에서는 k_y0이 허수여서 n에 대한 해가 없으므로 추가 디랙 포인트가 없다. 디랙 포인트는 U의 임계값 이후에만 나타나며, 예를 들어 그림 2 b2의 K↓ 전자에서 U=40.66 meV(n=1)가 해당한다. 식 (10)에 따라 디랙 포인트 수 N_D를 구할 수 있다. Δ_z=2λ_SO일 때,

N_D = 2[√(E_0^2-λ_SO^2)d/2πħv_F] + 1 (K↑, K'↓)

N_D = 2[√(E_0^2-λ_SO^2)d/2πħv_F] (K↓, K'↑)

여기서 [...]는 정수 부분이다. 임계 U 값(예: U=40.66 meV, 100.63 meV)에서 K↓와 K'↑ 전자의 디랙 포인트 수는 N_D=2n-1이다(그림 2 b2, c3).

식 (7)과 (10)은 디랙 포인트의 위치와 개수가 전기장 E_z와 교환장 h로 조절 가능함을 보인다. 그림 3은 다양한 E_z와 h 값에서 U에 따른 디랙 포인트 수 N_D를 보여준다. Δ_z=7.8 meV인 그림 3a에서 U 증가에 따라 K↑와 K'↓의 N_D는 홀수 형태로 증가(식 11 일치), K↓와 K'↑는 짝수 형태로 증가(식 12 일치, 단 임계값 제외)한다. 그림 3a와 b 비교에서 h 증가 시 스핀 다운(또는 업) 전자의 임계값이 감소(또는 증가)함을 보인다. Δ_z=15 meV≠2λ_SO인 그림 3c에서는 모든 전자의 N_D가 짝수 형태로 증가(임계값 제외)한다. 뚜렷하게, 임계 U 값은 스핀과 밸리에 따라 다르다. 디랙 포인트는 U, E_z, h의 결합 조절로 제어 가능하다.

포텐셜 U와 장벽 폭 d_b로 밴드갭을 조절할 수 있다(그림 4). K↑와 K'↓의 갭은 작고, K↓와 K'↑의 갭은 Δ_{ησ}=Δ_z-ησλ_SO로 인해 크다. U 증가 시 모든 미니밴드가 고에너지 영역으로 이동(그림 4a), 모든 밴드갭이 U에 대해 감쇠 진동(그림 4b)한다. U=σh일 때 유효 포텐셜이 0이 되어 갭이 최대가 된다. 임계 U 값에서 새로운 디랙 포인트 출현으로 갭이 닫힌다. 그림 4c, d는 U=0에서 d_b에 따른 미니밴드와 밴드갭 의존성이다. 외부장 없는 상태(d_b=0)에서는 미니밴드가 중복되며 페르미 레벨 갭은 2λ_SO다. d_b 출현으로 미니밴드가 분리되어 밸리와 스핀이 비중복된다. K↑(또는 K↓)와 K'↓(또는 K'↑) 미니밴드는 E=0에 대해 거울 대칭 유지(그림 4c). d_b 증가 시 K↓와 K'↑ 갭은 점차 넓어지고, K↑와 K'↓ 갭은 d_b/d_w=λ_SO/Δ_z일 때 0으로 감소 후 d_b와 함께 증가(그림 4d). 갭 폭은 d_b 추가 증가 시 포화된다. 또한 d_b 증가 시 미니밴드 폭이 좁아지는데(그림 미포함), 고유상태 결합 약화 때문이다. 전기장이 밴드갭에 미치는 영향은 선행 연구[50]와 유사하다.

군속도는 스핀 및 밸리 인덱스에 강하게 의존한다(그림 5). 속도 성분(v_x, v_y)은

v_x/v_F = ∂E/∂k_x, v_y/v_F = ∂E/∂k_y

로 정의된다. 그림 5는 원래 디랙 포인트(m=0)와 새로운 디랙 포인트(m=1,2,3)에서 v_F 단위의 속도 성분 v_{mx}, v_{my}를 보여준다. U 증가 시 v_{0y}는 감쇠 진동하고 v_{0x}≈v_F는 거의 영향받지 않는다(그림 5a, d). 새로운 디랙 포인트가 출현하는 임계 U 값에서 v_{mx}≈v_F이나 v_{0y}=v_{my}=0으로, 특정 스핀과 밸리에 대해 k_x 방향 콜리메이션 거동이 나타난다. U가 임계값을 넘어 더 증가하면 v_{my}는 v_F로 증가하지만 v_{mx}는 0으로 점차 감소한다. 주기적 포텐셜의 효과는 카이랄 특성으로 인해 고도로 비등방적이다. 비등방성 속도 특성은 갭 Δ_{ησ}와 포텐셜 U_σ로 인해 스핀과 밸리에 따라 다양하며, U로 제어 가능하다. 예로 U=20 meV에서 K↑의 v_{0y}=v_F인 반면 K'↓는 v_{0y}=0.16v_F이며, K↓와 K'↑는 밴드갭으로 인해 v_{0y}가 없다. 같은 밸리에서 스핀 업의 v_{mx}(또는 v_{my})는 스핀 다운보다 항상 크다(또는 작다). 주목할 점은 그림 5가 작은 U 값에서 v_{0x}, v_{0y}, v_{mx}가 Δ_z와 h로 인해 v_F보다 작음을 시사하며, 이는 갭 없는 시스템[44]과 대조된다. 예를 들어 디랙 포인트 출현 시 v_{1x}=0.98v_F, 0.89v_F, 0.89v_F, 0.98v_F로 K↑, K↓, K'↑, K'↓ 각각 나타난다. Δ_z와 h가 군속도에 미치는 영향을 보이기 위해 그림 6은 K↑ 전자에 대한 (v_{0x}, v_{0y})를 (a) Δ_z와 (b) h의 함수로 나타낸다. 그림 6a에서 v_{0x}는 Δ_z에 따라 단조 감소하나 v_{0y}는 Δ_z 변화에 둔감하다. 반대로 v_{0x}는 h에 둔감하나 v_{0y}는 h=σU에서 최대값 v_{0y}=v_F에 도달 후 h 증가 시 감소한다. 결과는 군속도가 실리콘에서 Δ_z와 h로 억제될 수 있음을 보여준다.

스핀 및 밸리 분극 전송

스핀 및 밸리 의존적 밴드 구조는 전송 특성에 반영되어 전송 제어의 지침이 된다. 이 섹션에서는 유한 실리콘 초격자를 통한 스핀 및 밸리 분극 전송 특성을 논의한다. 그림 7은 주기 수 n=10일 때 (a, c) K↑와 (b, d) K↓ 전자의 전송 확률 T_{ησ}다. 빨간 점선은 미니밴드로, 전송을 결정하는 서로 다른 전자 상태의 경계이기도 하다. 전송은 미니밴드 영역에 제한되며 밴드갭 영역에서는 전송이 없다(그림 7a, b). 전송 분포는 대칭적인 미니밴드로 인해 k_y=0을 중심으로 대칭이다. 전송의 공명 특성은 공명 상태에서 기인한다. 주목할 점은 k_y=0 근처 갭 영역에서도 고유상태의 터널 효과로 전송이 존재한다는 점이다. K↑와 K↓ 전자의 페르미 레벨에서 T_{ησ}는 그림 7c, d에 보인다. 많은 얇은 공명 피크가 T_{ησ}=1로 디랙 포인트 위치에서 정확히 발생하며, 이는 시스템을 스핀 및 밸리 필터로 응용할 수 있음을 시사한다.

밴드 구조의 스핀 및 밸리 강한 의존성은 높은 스핀 및 밸리 분극 실현에 유리하다. 그림 8은 포텐셜 U에 따른 미니밴드, 전도도 G_{ησ}, 스핀 분극 P_s, 밸리 분극 P_v를 보인다. 전도도 분포가 밴드 구조와 완전히 일치함을 알 수 있다. 즉, 전도도(또는 전도도 갭)가 미니밴드(또는 밴드갭)에 대응한다. 교환장 h를 적절히 조절하면 스핀 업과 다운 전자의 미니밴드가 교대로 분포할 수 있다. 결과적으로 G_{K(K')↑}와 G_{K(K')↓}도 교대로 분포한다. 즉, G_{K(K')↓}가 공명인 영역에서 G_{K(K')↑}는 거의 0이고 그 반대도 마찬가지다. 이는 놀라운 스핀 분극을 직접 유도하며, 스핀 분극 스위칭 효과를 제안한다(그림 8a). Δ_z를 변경하면 K와 K' 밸리 근처 전자의 미니밴드와 전도도를 제어할 수 있어 완전한 밸리 분극 전류를 얻는다(그림 8b). 스핀 분극에 비해 밸리 분극은 충분히 완벽하지 않다. 그러나 이 단점은 다음에서 논의할 시스템의 무질서 구조로 보완될 수 있다.

그림 9는 (U, h) 공간에서 (a) 스핀 분극 P_s와 (b) 밸리 분극 P_v를 보인다. 흥미롭게도 P_s와 P_v 모두 고려 영역에서 주기적 변화를 보이며, 이는 강자성 실리콘 접합[33]에서 관측되지 않았다. P_s와 P_v 분포 모두 h→-h에 대해 반대칭이다. U와 h 장을 적절히 조절해 독립적으로 완전한 스핀 및 밸리 분극을 달성할 수 있다. 예를 들어 h=6 meV, U=42 meV에서 P_s≈1, P_v≈1로 전류는 주로 K↑ 전자가 기여한다. h=6 meV, U=44 meV에서 P_s≈1, P_v≈-1이며, h=6 meV, U=46 meV에서 P_s≈-1, P_v≈-1이다. 결과는 스핀 및 밸리 분극이 효과적으로 스위칭 가능함을 보여준다.

실험에서는 실험 기술의 한계로 모델의 구조적 불완전성이 불가피하다. 따라서 무질서가 전송에 미치는 영향을 논의할 필요가 있다. 전기장이나 교환장에 무질서가 있을 때 전도도, 스핀 분극, 밸리 분극을 그림 10, 11에 보인다. Δ_z와 h의 무질서 상황을 평균값 〈Δ_z〉=Δ_{z0}, 〈h〉=h_0 주변에서 변동하도록 설정한다. 변동은

Δ_z|_i = Δ_{z0}(1+δζ_i), h|_i = h_0(1+δζ_i)

로 주어진다. 여기서 {ζ_i}는 비상관 확률 변수(백색 잡음), -1<ζ_i<1, δ는 무질서 강도, i는 사이트 인덱스다. 무질서는 x 방향에서만 발생하며 시스템은 y 방향에서 항상 균질하다. 따라서 k_y는 여전히 보존된다. 그림 10은 전기장 무질서가 전도도 (a) G_↑와 (b) G_↓에 미치는 영향을 보인다. 무질서 강도 δ 존재 및 증가 시 G_↑와 G_↓ 모두 점차 억제되며, 각 공명 피크가 많은 작은 피크로 분리된다. 전도도 허용 범위는 좁아지고 금지 범위는 넓어진다. 따라서 G_↑의 허용(또는 금지) 범위가 G_↓의 금지(또는 허용) 범위에 완전히 들어가 훌륭한 스핀 분극을 낳는다(그림 11). 또한 δ 변화에 따라 전도도와 전도도 갭 위치가 거의 불변으로, 미니밴드와 밴드갭이 무질서에 둔감함을 시사한다. 전기장 무질서가 G_K와 G_K'에 미치는 영향도 그림 10과 유사하다. 그림 11은 (a) 전기장과 (b) 교환장 무질서가 분극 P_s와 P_v에 미치는 영향을 보인다. δ 증가 시 P_s와 P_v가 크게 증가하며 분극 플랫폼이 넓어진다. 따라서 완전한 스핀 및 밸리 분극이 실현된다. 그림 11a와 b 비교에서 교환장 무질서 효과가 더 두드러진다. 결과는 무질서가 정렬된 경우에 비해 스핀 및 밸리 분극을 향상시킬 수 있음을 보여주며, 이는 실제 응용에서 이점이다.

결론

요약하자면, 주기적 장 하에서 실리콘의 밴드 구조와 전송 특성이 스핀 및 밸리 자유도에 강하게 의존함을 자세히 보였다. 수치 결과에 따르면 서로 다른 스핀과 밸리를 가진 전자는 디랙 포인트, 밴드갭, 군속도에서 다양한 특성을 보인다. 특히 전기장과 교환장으로 인해 비등방성 속도가 억제되어 특정 스핀과 밸리에 콜리메이션 거동이 나타난다. 따라서 전송은 밴드 구조와 일치하는 강한 스핀 및 밸리 의존적 특성을 보이며, 유의미한 스핀 및 밸리 분극을 초래한다. 또한 무질서가 스핀 및 밸리 분극을 크게 향상시킬 수 있다. 마지막으로 이러한 결과가 스핀 및 밸리 인덱스의 잠재적 응용에 기여하기를 희망한다.

약어

2D:

이차원

FM:

강자성

SOI:

스핀-궤도 상호작용