벤 다이어그램 이해하기: 집합 관계 시각화

수학자들은 벤 다이어그램을 사용해 집합(객체 모음) 간의 논리적 관계를 보여줍니다. 대수학이나 다른 수학 학습에서 이미 벤 다이어그램을 본 적이 있을 것입니다. 겹치는 원과 집합의 합집합과 교집합을 기억하실 겁니다.

벤 다이어그램의 겹치는 원을 복습하겠습니다. 디지털 전자공학에서 사용하는 용어인 OR과 AND를 합집합과 교집합 대신 사용하겠습니다.

벤 다이어그램은 이전 장의 불 대수에서 카르노 맵으로의 다리 역할을 합니다. 불 대수에 대해 이미 아는 것을 벤 다이어그램과 연결한 뒤 카르노 맵으로 넘어가겠습니다.

집합은 아래와 같이 우주에서 객체들의 모음입니다. 집합의 원소는 집합에 포함된 객체들입니다. 집합의 원소들은 보통 공통점이 있지만, 이는 필수 조건이 아닙니다.

실수의 우주에서 예를 들어 모든 양의 정수 {1,2,3…}는 집합입니다. 집합 {3,4,5}는 모든 양의 정수 집합의 더 작은 집합, 즉 부분집합의 예입니다. 또 다른 예는 대학생 우주에서 모든 남성의 집합입니다. 더 많은 집합의 예를 생각해 볼 수 있나요?

왼쪽 위, 우주 U인 직사각형 영역 내 원 안의 집합 A를 보여주는 벤 다이어그램입니다. 원 안의 모든 것이 A라면 원 밖의 모든 것은 A가 아닙니다. 따라서 위 중앙에서 원 밖의 직사각형 영역을 U 대신 A-not로 표시합니다. B와 B-not도 비슷하게 표시합니다.

A와 B가 같은 우주 내에 있다면 어떻게 될까요? 네 가지 가능성을 보여줍니다.

위 네 가지 가능성 각각을 자세히 살펴봅시다.

첫 번째 예는 벤 다이어그램에 따르면 집합 A와 B에 공통점이 없습니다. A와 B 원의 해칭 영역 사이에 겹침이 없습니다. 예를 들어 A와 B가 다음 원소를 가진다고 가정:

 집합 A = {1,2,3,4} 
집합 B = {5,6,7,8}

집합 A의 어떤 원소도 B에 속하지 않고, B의 어떤 원소도 A에 속하지 않습니다. 따라서 원들이 겹치지 않습니다.

위 벤 다이어그램의 두 번째 예에서 집합 A가 완전히 집합 B 내에 포함됩니다. 어떻게 설명할 수 있을까요? A와 B가 다음 원소를 가진다고 가정:

 집합 A = {1,2} 
집합 B = {1,2,3,4,5,6,7,8}

집합 A의 모든 원소가 집합 B의 원소이기도 합니다. 따라서 집합 A는 집합 B의 부분집합입니다. A의 모든 원소가 B의 원소이므로 A가 B의 경계 내에 완전히 그려집니다.

네 가지 예에 보이지 않는 다섯 번째 경우가 있습니다. 힌트: 마지막(네 번째) 예와 유사합니다. 이 다섯 번째 경우의 벤 다이어그램을 그려보세요.

위 세 번째 예는 집합 A와 B가 완전히 겹칩니다. 두 집합이 동일한 원소를 가진 것처럼 보입니다. A와 B가 다음을 가진다고 가정:

 집합 A = {1,2,3,4} 
집합 B = {1,2,3,4}

따라서,

 집합 A = 집합 B

두 집합이 동일한 원소를 가지므로 동일합니다. 위 벤 다이어그램에서 A와 B 영역이 완전히 겹칩니다. 위 패턴이 무엇을 나타내는지 의문이 든다면 위나 아래의 어떤 그림이든 참조해 겹치기 전 원 영역이 어떻게 생겼는지 확인하세요.

위 네 번째 예는 집합 A와 B 사이에 겹치는 영역에서 공통점이 있음을 보여줍니다. 임의로 다음 집합을 선택해 설명:

 집합 A = {1,2,3,4} 
집합 B = {3,4,5,6}

집합 A와 B 모두 3과 4를 공통으로 가집니다. 이 원소들이 A와 B 중심의 공통 겹침 영역의 이유입니다. 이 상황을 더 자세히 살펴봐야 합니다.