보상 정리: 회로 분석에서의 증명, 설명 및 실전 예제

보상 정리(Compensation Theorem)의 증명, 설명, 실험 및 풀이 예제

보상 정리

네트워크 이론에서 한 분기의 임피던스 변화가 전체 회로의 전압·전류에 미치는 영향을 알아야 할 때가 있습니다. 보상 정리는 이 변화를 분석하는 도구를 제공합니다.

보상 정리는 옴의 법칙에 기초합니다. 전류가 저항을 통과하면 전압 강하가 생기고, 이는 전원 전압을 상쇄합니다. 따라서 원래 전원과 반대 극성, 크기는 전압 강하와 같은 보상 전압원을 해당 분기에 추가해 분석합니다.

보상 정리 진술:

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보상 정리 설명

아래 회로를 봅시다.

독립 전압원 V와 선형·쌍방향 임피던스 Z₁, Z₂로 구성된 루프에 전류 I가 흐릅니다.

이제 Z₂가 ∆Z만큼 증가했다고 가정합니다. 그러면 루프 전류는 I'로 변합니다. 변경된 회로는 아래와 같습니다.

전류 변화량 ∆I = I – I'.

보상 정리에 따라 ∆I를 직접 계산하려면 회로를 다음과 같이 수정합니다.

1. 변경된 분기(Z₂)에 보상 전압원 V_C = I∆Z를 원래 전원과 반대 극성으로 직렬 연결합니다.
2. 원래 전압원 V를 내부 임피던스로 치환(이상 전압원이면 단락)합니다.

수정된 회로는 아래와 같습니다.

이 회로를 풀면 임피던스 변화에 따른 전류 변화 ∆I를 바로 구할 수 있습니다.

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보상 정리 증명

원본 회로(그림 1)에 KVL 적용:

V = I(Z₁ + Z₂)

Z₂가 ∆Z 변한 회로(그림 2)에 KVL 적용:

V = I'(Z₁ + Z₂ + ∆Z)

전류 변화 ∆I = I – I'.

보상 회로(그림 3)에서는 원래 전압원이 단락되고 보상 전압원 V_C = I∆Z만 남습니다. 이 회로의 루프 전류 I"를 구하면:

V_C = I"(Z₁ + Z₂ + ∆Z)

I" = V_C / (Z₁ + Z₂ + ∆Z) = I∆Z / (Z₁ + Z₂ + ∆Z)

앞서 구한 ∆I 식과 대입해 보면 I" = ∆I임이 성립하므로 보상 정리가 증명됩니다.

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보상 정리 실험

목적: 보상 정리 증명 및 전류 변화 측정.

준비물: 전압계, 전류계, 저항, 연결선, 브레드보드.

회로도: (그림 5, 6, 7 참조)

절차:

1. 그림 5대로 회로 구성 후 전류 I 측정.
2. 그림 6처럼 저항 추가 후 전류 I₁ 측정.
3. ∆I = I – I₁ 계산.
4. 그림 7 보상 회로 구성 후 전류 I" 측정.
5. ∆I와 I" 비교.

실험 표:

번호	I	I1	∆I	I"
1

결과: I"와 ∆I가 일치하면 보상 정리 검증됨.

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보상 정리 예제

예제 1

아래 회로에서:

1. 3 Ω 저항일 때 AB 분기 전류 구하기.
2. 3 Ω → 9 Ω로 변경 시 보상 정리로 AB 분기 전류 구하기.
3. 보상 정리 검증.

해답 1

6 Ω || 3 Ω = 2 Ω, 직렬 3 Ω → R_eq = 5 Ω. 옴의 법칙: I = 10 V / 5 Ω = 2 A.

전류 분배 법칙으로 AB 분기 전류 I' = 2 × (6/(6+3)) = 4/3 A ≈ 1.333 A.

해답 2 (보상 정리 적용)

∆Z = 9 – 3 = 6 Ω, I' = 4/3 A → V_C = I'∆Z = 8 V.

보상 회로에서 3 Ω || 6 Ω = 2 Ω, 직렬 9 Ω → R_eq = 11 Ω.

∆I = V_C / R_eq = 8 / 11 ≈ 0.7272 A.

해답 3 (직접 계산으로 검증)

9 Ω || 6 Ω = 3.6 Ω, 직렬 3 Ω → R_eq = 6.6 Ω. 전체 전류 I = 10 / 6.6 ≈ 1.515 A.

전류 분배: I" = 1.515 × (6/(9+6)) ≈ 0.606 A.

∆I = I' – I" = 1.333 – 0.606 = 0.727 A. 보상 정리 결과(0.7272 A)와 일치. 증명 완료.

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예제 2

아래 회로에서 3 Ω → 7 Ω 변경 시 전류 변화량을 보상 정리로 구하고 검증하세요.

전류 분배로 3 Ω 분기 전류 I = 7 A. ∆Z = 4 Ω → V_C = 7 × 4 = 28 V.

전류원 개방, 보상 전압원 28 V 직렬 연결한 보상 회로에서 ∆I = 28 / (7+7) = 2 A.

직접 계산: 7 Ω로 변경 후 전류 분배 → I" = 5 A. ∆I = 7 – 5 = 2 A. 일치. 증명 완료.

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