치환 정리 마스터하기: 단계별 가이드와 실전 예제

치환 정리(Substitution Theorem)로 전기 회로 분석 및 풀이

치환 정리

이름 그대로 회로의 한 요소를 다른 요소로 치환(대체)하되, 회로의 동작(전압·전류)은 그대로 유지하는 정리입니다.

치환 정리 진술:

어떤 분기를 흐르는 전류와 그 분기 양단 전압을 알면, 그 분기를 전압원, 전류원, 다른 저항 등으로 대체해도 회로 전체의 초기 조건(모든 분기의 전압·전류)은 변하지 않습니다.

단, 둘 이상의 전원이 직렬 또는 병렬로 연결된 회로에는 적용할 수 없습니다.

• 관련 글: 테브난 정리 단계별 가이드 및 풀이 예제

치환 정리 설명

아래 회로를 예로 들어 봅시다.

15 V 직류원에 5 Ω, 10 Ω 저항이 직렬 연결. 단일 루프이므로 전류는 동일.

KVL: 15 = 5I + 10I → I = 1 A.

전압 분배: 5 Ω 양단 5 V, 10 Ω 양단 10 V.

이제 각 분기를 다양한 요소로 치환해 보겠습니다.

치환 1: 10 Ω → 10 V 전압원

KVL: 15 – 10 = 5I → I = 1 A (동일). 10 Ω 분기 전압 = 10 V(동일). 5 Ω 양단 = 1×5 = 5 V(동일).

치환 2: 5 Ω → 5 V 전압원

KVL: 15 – 5 = 10I → I = 1 A. 5 Ω 분기 전압 = 5 V. 10 Ω 양단 = 1×10 = 10 V. 모두 원본과 일치.

치환 3: 10 Ω → 1 A 전류원

전류원이 1 A이므로 루프 전류 = 1 A(동일). 5 Ω 양단 = 5 V. 전류원 양단 전압 V: 15 – 5 – V = 0 → V = 10 V. 원본과 일치.

• 관련 글: 중첩 정리 회로 분석 및 풀이 예제

치환 4: 10 Ω → 5 Ω + 5 V 전압원 직렬

KVL: 15 – 5 = 5I + 5I → I = 1 A. 5 Ω 양단 = 5 V. A-B 간 전압 = 5 + 5 = 10 V. 원본 10 Ω 분기 전압과 일치.

이처럼 한 분기를 여러 방식으로 치환해도 회로 동작은 변하지 않음을 확인했습니다.

• 관련 글: 텔겐 정리 풀이 예제 & MATLAB 시뮬레이션

치환 정리로 네트워크 푸는 단계

1. KCL, KVL, 옴의 법칙 등으로 모든 소자 전압·전류 계산.
2. 치환할 대상 분기 선정.
3. 전압·전류가 변하지 않는 적절한 대체 요소(전압원/전류원/저항) 값 결정.
4. 새 회로에서 모든 전압·전류 재계산 후 원본과 비교 검증.

치환 정리 예제 및 풀이

아래 회로를 치환 정리로 풀어 모든 저항의 전류·전압을 구하세요.

1단계: 원본 회로 해석

루프 1 KVL: 14 = 6I₁ – 4I₂ … (1)

루프 2 KVL: 0 = 12I₂ – 4I₁ → I₁ = 3I₂ … (2)

(2)를 (1)에 대입: 14 = 18I₂ – 4I₂ = 14I₂ → I₂ = 1 A, I₁ = 3 A.

2단계: 루프 1 분기 제거, 단일 루프로 축약

3단계: 4 Ω 분기 대신 전류원 배치

루프 2 전류 = 1 A이므로 4 Ω 분기를 1 A 전류원으로 치환.

4단계: 검증

단일 루프에 1 A 전류원 → 3 Ω, 5 Ω 전류 = 1 A(원본과 일치).

3 Ω 양단 = 1×3 = 3 V, 5 Ω 양단 = 1×5 = 5 V. 원본과 일치.

대안: 전류원 대신 전압원 사용 시

4 Ω 분기 전류 = I₁ – I₂ = 2 A → 전압 = 2×4 = 8 V. 8 V 전압원으로 치환.

KVL: 8 = 3I + 5I → I = 1 A. 3 Ω = 3 V, 5 Ω = 5 V. 동일.

관련 회로 분석 튜토리얼:

• 슈퍼노드 회로 분석
• 슈퍼메시 회로 분석
• 키르히호프 법칙(KCL & KVL)
• 크라머 공식 계산기
• 휘트스톤 브리지
• 전기·전자 공학 계산기 모음
• 5000+ 전기·전자 공학 공식 & 방정식