그래핀-유전체 플라즈몬 도파관에서 모드 및 분산 속성의 이중 비선형성 제어

초록

유전체와 그래핀의 이중 비선형성을 고려하여 그래핀-유전체 비선형 플라즈몬 도파관의 모드 및 분산 특성을 연구한다. TM 편광의 경우 모드 분포, 유전율 분포 및 분산 관계는 Maxwell 방정식을 수치적으로 풀어서 구했습니다. 유전체의 비선형성만을 고려한 경우와 비교하여, 이중 비선형성을 도입할 때 플라즈몬 모드를 여기시키는 초기 전계 강도는 분명히 감소한다. 또한 이중 비선형성이 분산 관계에 미치는 영향에 대해 논의한 결과 그래핀의 비선형성이 분산 특성에 큰 영향을 미친다는 것을 알 수 있습니다. 이중 비선형성의 도입은 초기 전계 강도의 감소로 이어지며, 이는 임계값이 낮은 전광 스위치에 잠재적으로 적용될 수 있습니다.

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배경

그래핀 플라즈몬은 금속에 비해 그래핀의 고유한 전자적 및 광학적 특성으로 인해 널리 주목받고 있다[1,2,3,4]. THz 및 원적외선 주파수 범위에서 전자의 대역 내 전이가 지배적이며 그래핀은 금속처럼 행동합니다. 따라서 표면 플라즈몬 폴라리톤(SPP)은 그래핀에 의해 지지될 수 있다. 그래핀-유전체 다층 복합 구조의 경우 SPP의 여기, 결합 및 전파 모드가 조사되었습니다. 준횡방향 전자기 모드는 그래핀 평행판 도파관에서 발견되었습니다[5]. 그래핀-유전체 다층 구조에서 SPP의 결합이 연구되었다[6, 7]. 단층 그래핀 시트의 주기적 배열 구조의 경우 그래핀 시트가 촘촘하게 배열될 때 SPP 간의 강력한 결합이 나타납니다.

그래핀-유전체 비선형 복합 구조[8,9,10,11,12]의 광학적 특성을 조사하는 데 상당한 노력이 기울여져 마이크로 및 나노 규모에서 광 전파를 제어할 수 있는 잠재력이 커졌습니다. 단층 그래핀의 경우, 그래핀과 커형 비선형 기판 사이의 계면에서 표면 플라즈몬이 논의되었다[8]. 그래핀 플라즈몬의 파장은 기판의 비선형 유전율을 조정하여 조정할 수 있음을 보여줍니다. 그래핀-비선형 유전체 다층 구조에 대해 그래핀 플라즈몬의 전파 및 국재화 특성을 조사하고 그래핀 평행판 도파관의 TM 표면 플라즈몬에 대한 정확한 분산 관계를 얻었다[11]. 비선형 유전율을 조정하면 전파 및 국부화 길이가 크게 영향을 받습니다. 최근에, 대칭 및 비대칭 플라즈몬 모드에 대한 분산 관계가 그래핀으로 코팅된 커 슬래브 구조에서 유도되었다[12]. 일반적인 정방향 전파 모드를 제외하고 대칭 모드와 비대칭 모드가 발견되었습니다.

그래핀의 강한 비선형성을 기반으로 여러 비선형 광학 효과가 예측되었다[13,14,15,16,17]. Nesterov et al. [15]는 그래핀 단일층에서 빛의 비선형 전파를 연구하고 그래핀의 고유한 비선형성으로 인해 그래핀 단일층이 광학 주파수에서 TE 및 TM 공간 광학 솔리톤을 지원할 수 있음을 발견했습니다. 보다 최근에는 단층 그래핀을 다층 그래핀으로 대체하고 있는 Smirnova et al. [16]은 그래핀 시트의 다층 스택의 비선형 특성을 조사하고 비선형 플라즈몬의 공간 역학을 설명하는 비선형 방정식을 유도했습니다. 이전 연구는 주로 그래핀-유전체 구조의 광 특성 제어에 대한 단일 비선형성의 영향에 초점을 맞추었습니다. 이중 비선형성 제어의 아이디어는 그래핀 기반 광자 초격자[18, 19]에 도입되었으며, 여기서 깊은 하위 파장 정확도로 광자 빔의 전기 및 전체 광학 제어가 달성되었습니다. 그러나 그래핀-유전체 플라즈몬 구조에서 모드 및 분산 특성의 이중 비선형성 제어는 여전히 많은 질문을 남겨둡니다. 따라서 이 논문에서는 그래핀-유전체-그래핀 도파관에서 그래핀과 유전체의 비선형성을 동시에 고려하고 모드 결합 및 분산 특성에 대한 이중 비선형성의 영향을 연구합니다.

방법

그래핀-비선형 유전체 플라즈몬 도파관은 그림 1에 개략적으로 도시되어 있으며, 전도도 σ를 갖는 그래핀 평행판입니다. _g x에 위치 =± d /2, 유전율이 ε인 커형 매체인 경우 =ε _엘 + α |이 |² . 우리의 분석에서 그래핀은 하나의 원자 규모에서 두께로 인해 경계로 취급됩니다. z를 따라 전파되는 횡자기(TM) SPP 고려 전파 상수 β가 있는 방향 x를 따라 기하급수적으로 감소합니다. 방향은 각각 공기와 비선형 매체입니다.

<그림>

비선형 그래핀-유전체-그래핀 플라즈몬 도파관의 개략도

TM 편파의 경우 세 가지 필드 구성 요소 E가 있음을 알고 있습니다. _x , E _z , 및 H _와 . 자기장 H =하 _와 와 및 전기장 E =E _x x + E _z z 방정식을 만족시키다

$$ \frac{d{E}_z}{ dx}=i\omega {\mu}_0{H}_y+ i\beta {E}_x $$ (1) $$ i\beta {H}_y=- i\omega {\varepsilon}_0\varepsilon {E}_x $$ (2) $$ \frac{d{ H}_y}{ dx}=i\omega {\varepsilon}_0\varepsilon {E}_z $$ (삼)

여기서 ε ₀ 그리고 μ ₀ 진공의 전기 유전율과 투자율입니다. 식에서 (2) 및 ε =ε _엘 + α |이 |² 얻을 수 있습니다

$$ {\varepsilon}^2{E}_x^2=\frac{\beta^2}{\omega^2{\varepsilon}_0^2}{H}_y^2 $$ (4) $$ { E}_x^2=\left(\varepsilon -{\varepsilon}_L-\alpha {E}_z^2\right)/\alpha $$ (5)

식 대입 (5) 식으로 (4) 우리는

$$ {\varepsilon}^3-\left({\varepsilon}_L+\alpha {E}_z^2\right){\varepsilon}^2-\frac{\alpha {\beta}^2}{\omega ^2{\varepsilon}_0^2}{H}_y^2=0 $$ (6)

3차 방정식의 경우 [20, 21]

$$ {x}^3+ b{x}^2+ c x+ d=0 $$ (7)

식의 판별식. (7)은

$$ \varDelta ={b}^2{c}^2-4{c}^3-4{b}^3 d+18 b c d-27{d}^2 $$ (8)

$ b=-\left({\varepsilon}_L+\alpha {E}_z^2\right),\kern0.5em c=0 $ 및 $ d=-\alpha {\beta}^2 설정 {H}_y^2/\left({\omega}^2{\varepsilon}_0^2\right) $, 식의 판별식을 쉽게 증명할 수 있습니다. (6) 만나다

$$ \varDelta =-{\left({\varepsilon}_L+\alpha {E}_z^2\right)}^3\frac{\alpha {\beta}^2}{\omega^2{\varepsilon} _0^2}{H}_y^2-27\frac{\alpha^2{\beta}^4}{\omega^4{\varepsilon}_0^4}{H}_y^4<0 $$ ( 9)

Δ <0은 Eq. (6) 실제 솔루션은 하나만 있습니다. Cardano의 방법[20]에서 우리는 3차 방정식 Eq. (7) 진짜 뿌리는

$$ x=-\frac{b}{3}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{{\left(\frac{p}{3}\right)}^ 3+{\left(\frac{q}{2}\right)}^2}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{{\left(\frac{p }{3}\right)}^3+{\left(\frac{q}{2}\right)}^2}} $$ (10)

여기서 p =ㄷ − 나 ² /3, q =d − BC /3 + 2b ³ /27. 식을 사용하여 (10) ε . ε 교체 식에서 (2)와 (3)은 실제 해에 의해 상미분 방정식은 이완법에 의해 수치적으로 풀릴 수 있습니다.

결과 및 토론

E의 연속성 요구 사항에서 _z 그리고 H _와 , x에서의 경계 조건 =± d /2 E 만족 _1z =E _2z 그리고 H _2y − 하 _1y =σ _g 이 _z . 그래핀 σ의 표면 전도도 _g 대역간 및 대역내 전이 기여도를 포함하는 Kubo 공식[22]에 의해 제어됩니다. THz 및 원적외선 주파수 범위에서 대역 내 전이 기여도가 지배적이며 표면 전도율은 [23]

와 같은 단순한 Drude 유형으로 단순화될 수 있습니다. $$ {\sigma}_g=\frac{e^2{\mu}_c}{\pi {\hslash}^2}\frac{\mathrm{i}}{\omega +\mathrm{i}{\ 타우}^{-1}} $$ (11)

여기서 e 전자 전하, μ _ㄷ 는 그래핀의 화학적 포텐셜, ω 는 주파수이고 τ 운동량 완화 시간입니다. 이 모델은 저온 한계(k _나 티 <<μ _ㄷ ) 저주파(ℏω) ≤ μ _ㄷ ). 강한 전기장 조건의 경우 전도도의 비선형 부분을 고려해야 하며 그래핀의 총 전도도는 다음과 같습니다. [16]

$$ {\sigma}_g={\sigma}_L+{\sigma}^{NL}{\left|{E}_{\tau}\right|}^2 $$ (12)

여기서 E _τ 는 전기장의 접선 성분이고 σ ^네덜란드 비선형 전도도를 나타냅니다[16]

$$ {\sigma}^{NL}=- i\frac{3}{8}\frac{e^2}{\pi {\hslash}^2}{\left(\frac{e{\nu} _F}{\mu_c\omega}\right)}^2\frac{\mu_c}{\omega} $$ (13)

여기서 v _F =0.95 × 10⁸ cm/s는 페르미 속도입니다.

그래핀의 경우 THz 및 원적외선 주파수 범위에서만 표면 전도성을 간단한 Drude 유형으로 단순화할 수 있습니다. 따라서 우리는 입사 파장을 λ로 선택합니다. =10 μm . 다른 매개변수는 ε 값으로 고정됩니다. ₁ =1, ε _엘 =2.25, α =5 × 10^{− 16} (m/v)² [24] 이 _F =0.27 ev, τ =1.5ps. 그래핀-유전체-그래핀 선형 구조에는 대칭 모드와 비대칭 모드의 두 가지 모드가 있다는 것은 잘 알려져 있습니다. 다음에서 우리는 그래핀-유전체 복합 구조에서 모드 분포에 대한 비선형성의 영향에 대해 논의할 것입니다.

H 설정 ₀ 초기 자기장 강도 H의 의존성을 수치적으로 식(1, 2, 3)으로 풀면 입사 계면에서의 초기 자기장 성분으로 ₀ 전파 상수 β 정규화된 전파 상수 $ {k}_F=\sqrt{\uppi n} $는 페르미 운동량 [25]의 단위이며, 여기서 n =6 × 10¹² cm^{− 2} 캐리어 밀도입니다. 실선은 유전체의 비선형성만을 고려한 경우를 나타내고, 점선은 유전체와 그래핀의 비선형성을 동시에 고려한 경우를 나타낸다. 그림 2에서 두 경우의 모드 속성이 동일함을 알 수 있습니다. 비선형 플라즈몬 도파관이 세 가지 모드를 지원할 수 있음을 의미하는 세 가지 분기가 있습니다. 그러나 단일 비선형성의 경우와 비교하여 이중 비선형성의 경우 초기 자계 강도가 분명히 감소했습니다. 그래핀 비선형 플라즈몬 도파관은 세 가지 모드를 지원할 수 있지만 대칭, 반대칭 또는 비대칭 모드를 나타내는 분기를 구별하는 것은 불가능합니다. 각 분기의 모드 특성을 결정하기 위해 그림 3에서 A, B, C 및 D와 관련된 전기장 및 자기장 분포를 각각 플롯합니다.

<그림>

초기 자기 강도 대 전파 상수. 실선의 경우 :α =5 × 10^{− 16} (나 /v )² , σ ^네덜란드 =0; 점선 곡선의 경우 :α =5 × 10^{− 16} (나 /v )² , σ ^네덜란드 =2.19 × 10^{− 20} i, 가로 검은색 실선 보조선입니다

<그림>

자기 성분 H의 유전율 및 모드 분포 _와 및 전기 부품 E _z . 아 그리고 b 점 A에 해당합니다(H ₀ =300, β =6.94 × 10^{− 2} ㅋ _F ) 대칭 모드의 경우 그림 2에 표시, c 그리고 d 점 B에 해당합니다(H ₀ =300, β =7.81 × 10^{− 2} ㅋ _F ) 비대칭 모드의 경우 그림 2에 표시, e 및 f 점 C에 해당합니다(H ₀ =300, β =8.36 × 10^{− 2} ㅋ _F ) 비대칭 모드의 경우 그림 2에 표시, g 그리고 h 점 D에 해당합니다(H ₀ =700, β =8.07 × 10^{− 2} ㅋ _F )

검은색 점선 곡선의 분기에 대해 해당 유전율 및 A와 관련된 필드는 그림 3a, b에 표시되며, 여기서 유전율 및 전기장 E의 분포 _z 대칭입니다. 따라서 이 분기는 대칭 모드를 나타냅니다. 빨간색 점선 곡선의 분기에 대해 B와 관련된 유전율 및 필드는 그림 3c, d에 나와 있습니다. 유전율 분포는 여전히 대칭입니다. 그러나 전기장의 분포 E _z 이 분기가 대칭 모드임을 의미하는 대칭입니다. C 및 D와 관련된 유전율 및 필드의 분포는 그림 3e-h에 표시됩니다. C 및 D와 관련된 해당 자기장 및 전기장의 분포는 비대칭입니다. 따라서 파란색 점선 곡선의 분기는 비대칭 모드를 나타냅니다. 한편, 전기장의 비대칭 분포는 유전율의 비대칭 분포로 이어진다.

다음으로, 유전체와 그래핀의 비선형성이 분산 관계에 미치는 영향에 대해 논의합니다. 그림 4는 고정된 초기 자기장에 대한 분산 관계를 보여줍니다(H ₀ =300 A/m) 및 다른 화학적 전위 및 유전율의 비선형 계수. 그림 4a-c에서 분산 관계에 대한 비선형 유전 계수의 영향이 표시되며 여기서 유전의 비선형성만 고려됩니다. 비선형 계수와 비선형 전도율이 모두 0일 때(α =0, σ ^네덜란드 =0), 비선형 구조는 선형 구조로 퇴화합니다. 그림 4a에서 선형의 경우 대칭 모드와 비대칭 모드만 존재합니다. 검은색 실선 곡선과 빨간색 실선 곡선은 각각 대칭 모드와 비대칭 모드를 나타냅니다. 비선형 계수가 0이 아닌 경우 구조에 그림 4b, c에 표시된 분기 III와 같은 비대칭 모드가 나타납니다. 비선형 계수가 더 커질수록 분산 특성에 대한 계수의 영향은 약해집니다.

<그림>

고정된 초기 자기 강도에 대한 분산 관계(H ₀ =300 A/m) 및 다양한 비선형 계수(a) –ㄷ ) 및 다양한 화학적 잠재성(d –f ). 아 α =0, μ _ㄷ =0.27eV, σ _네덜란드 =0, b α =5 × 10^{− 17} (m/V)² , μ _ㄷ =0.27eV, σ _네덜란드 =0, c α =5 × 10^{− 16} (m/V)² , μ _ㄷ =0.27eV, σ _네덜란드 =0, d μ _ㄷ =0.27eV, α =5 × 10^{− 16} (m/V)² , (e ) μ _ㄷ =0.16eV, α =5 × 10^{− 16} (m/V)² , 및 f μ _ㄷ =0.10eV, α =5 × 10^{− 16} (m/V)²

다음에서는 유전체와 그래핀의 비선형성을 동시에 소개하고, 고정된 비선형 유전계수 α와 함께 그래핀의 비선형성이 분산 관계에 미치는 영향에 대해 논의합니다. =5 × 10^{− 16} (m/V)² . 결과는 그림 4d-f에 나와 있습니다. 도 4d와 도 4c를 비교하면, 분산 관계의 폴드백 현상이 세 가지 모두에서 나타나는 것을 알 수 있다. 식에서 (13), 우리는 그래핀의 비선형성이 화학 포텐셜을 조정함으로써 제어할 수 있다는 것을 알고 있습니다. 그래핀의 비선형성이 μ에서 더욱 증가함에 따라 _ㄷ =0.27 eV ~ μ _ㄷ =0.16 eV, 그림 4e와 같이 분산 관계의 폴드백 지점이 위로 이동합니다. 그래핀의 더 큰 비선형성의 경우(작은 화학적 포텐셜 μ _ㄷ =0.10eV), 그림 4f와 같이 대칭 모드만 나타나 폐루프를 형성한다. 그림 4에서 우리는 유전체의 비선형성만을 고려하면 분산관계가 3개의 가지를 보여 유전율의 비선형 계수가 증가함에 따라 거의 변하지 않음을 알 수 있다. 그러나 그래핀의 비선형성을 더 도입하면 분산 관계의 폴드백(fold-back) 현상이 나타난다. 지정된 초기 자기장 H에 대해 ₀ 화학적 포텐셜 분산 관계는 닫힌 루프가 있는 대칭 모드만 보여줍니다.

결론

요약하면, 우리는 그래핀-유전체 비선형 플라즈몬 도파관의 모드 및 분산 특성을 조사했습니다. 모드 분포, 유전율 및 분산 관계는 TM 편광에 대한 Maxwell 방정식을 수치적으로 풀어서 얻었습니다. 유전체의 비선형성만을 고려한 경우와 비교하여 유전체와 그래핀의 비선형성을 동시에 고려할 경우 초기 전계세기가 현저히 감소하였다. 또한 이중 비선형성은 도파관의 분산 특성에 큰 영향을 미칩니다. 특히 그래핀의 비선형성이 증가할수록 반대칭 모드와 비대칭 모드가 하나로 합쳐져 점차 사라진다. 따라서 강한 비선형성의 경우 대칭 모드만 찾을 수 있습니다.

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