연립 방정식 풀기:대입법과 덧셈법

연립 방정식 및 연립 방정식이란 무엇입니까?

동시 방정식이라는 용어 및 방정식 시스템 2개 이상의 미지의 변수가 동일한 수의 방정식을 통해 관련되어 있는 조건을 말합니다.

예:

이 방정식 세트의 경우 x 값의 단일 조합만 있습니다. 그리고 y 두 가지 모두를 만족시킬 것입니다.

개별적으로 고려되는 두 방정식은 유효한 (x,y)의 무한대를 가집니다. 솔루션이지만 함께 하나만 있습니다. 그래프에 표시하면 이 조건이 명확해집니다.

각 선은 실제로 가능한 x를 나타내는 점의 연속체입니다. 그리고 y 각 방정식에 대한 솔루션 쌍.

각 방정식은 개별적으로 무한한 수의 순서쌍(x ,y ) 솔루션. 두 개의 선형 함수 x + y =24가 있는 지점은 단 하나입니다. 및 2x - y =-6 교차(여기서 많은 독립 솔루션 중 하나가 두 방정식 모두에 대해 작동하는 경우), 여기서 x 6 및 y 값과 같습니다. 값은 18과 같습니다.

그러나 일반적으로 그래프는 두 개 이상의 방정식에 대한 동시 솔루션 세트를 결정하는 매우 효율적인 방법이 아닙니다. 변수가 3개 이상인 시스템에서는 특히 비실용적입니다.

예를 들어, 3변수 시스템에서 솔루션은 3차원 좌표 공간에서 세 평면의 점 교차로 찾을 수 있으며 시각화하기 쉬운 시나리오가 아닙니다.

대체 방법을 사용하여 연립 방정식 풀기

연립방정식을 풀기 위한 몇 가지 대수적 기술이 있습니다.

아마도 가장 이해하기 쉬운 것은 대체일 것입니다. 방법.

예를 들어 변수가 2개인 문제를 예로 들어 보겠습니다.

대체 방법에서는 한 변수가 다른 변수에 대해 정의되도록 방정식 중 하나를 조작합니다.

그런 다음 이 새로운 정의를 사용합니다. 하나의 변수와 대체 다른 방정식의 동일한 변수에 대한 것입니다.

이 경우 y의 정의를 취합니다. , 24 - x y 대신 이것을 다른 방정식에서 찾은 용어:

이제 단일 변수(x ) "정상적인" 대수적 기술을 사용하여 해결할 수 있습니다.

이제 x 알고 있는 경우 이 값을 원래 방정식 중 하나에 연결하고 y에 대한 값을 얻을 수 있습니다.

또는 작업을 절약하기 위해 이 값(6)을 y를 정의하기 위해 방금 생성한 방정식에 연결할 수 있습니다. x의 관점에서 , 이미 y에 대해 풀 수 있는 형식이기 때문에 :

3개 이상의 변수가 있는 시스템에 대체 방법을 적용하면 유사한 패턴이 포함되지만 더 많은 작업이 필요합니다.

이것은 일반적으로 모든 솔루션 방법에 해당됩니다. 솔루션을 얻는 데 필요한 단계 수는 시스템의 각 추가 변수에 따라 빠르게 증가합니다.

3개의 미지의 변수를 풀려면 최소한 3개의 방정식이 필요합니다. 다음 예를 고려하십시오.

첫 번째 방정식이 가장 간단한 계수(1, -1, 1, x , y , 및 z , 각각), 다른 두 변수의 관점에서 한 변수의 정의를 개발하는 데 사용하는 것이 논리적으로 보입니다.

x에 대해 풀기 y의 관점에서 그리고 z :

이제 x의 정의를 대체할 수 있습니다. 여기서 x 다른 두 방정식에 나타납니다.

이 두 방정식을 가장 간단한 형태로 축소:

지금까지 우리의 노력으로 3개의 방정식에서 3개의 변수에서 2개의 방정식에서 2개의 변수로 시스템을 축소했습니다.

이제 두 방정식 4y - z =4에 대입 기술을 다시 적용할 수 있습니다. 및 -3y + 4z =36 y 중 하나를 해결하기 위해 또는 z . 먼저 첫 번째 방정식을 조작하여 z를 정의합니다. y의 관점에서 :

다음으로 이 정의를 z로 대체하겠습니다. y의 관점에서 z가 보이는 곳 다른 방정식에서:

이제 y 알려진 값이면 z를 정의하는 방정식에 연결할 수 있습니다. y의 관점에서 그리고 z에 대한 수치를 얻습니다. :

이제 y 값으로 그리고 z 알고 있는 경우 x를 정의한 방정식에 이들을 연결할 수 있습니다. y의 관점에서 그리고 z , x 값을 얻으려면 :

마지막으로 x 값을 찾았습니다. , y , 및 z 세 방정식을 모두 만족하는 각각 2, 4, 12입니다.

덧셈 방법을 사용하여 연립 방정식 풀기

대체 방법이 개념적 수준에서 가장 이해하기 쉬울 수 있지만 우리가 사용할 수 있는 다른 솔루션 방법이 있습니다.

그러한 방법 중 하나는 소위 추가입니다. 변수 항을 소거하기 위해 방정식을 서로 추가하는 방법입니다.

대체 방법을 설명하는 데 사용되는 2변수 시스템을 살펴보겠습니다.

대수학에서 가장 많이 사용되는 규칙 중 하나는 양변에 동일하게 수행하는 한 방정식에 대해 원하는 모든 산술 연산을 수행할 수 있다는 것입니다. .

덧셈과 관련하여 이는 동일한 한 방정식의 양변에 원하는 수량을 추가할 수 있음을 의미합니다. 수량 - 방정식의 진실을 변경하지 않고.

따라서 우리가 선택할 수 있는 방법은 방정식의 해당 변을 함께 추가하여 새로운 방정식을 형성하는 것입니다.

각 방정식은 등식(= 기호), 한 방정식의 좌변을 다른 방정식의 좌변에 더하는 것은 두 방정식의 우변도 함께 더하는 한 유효합니다.

예를 들어 방정식 세트의 예에서 x + y를 추가할 수 있습니다. ~ 2x - y , 추가 24 및 -6 함께 새로운 방정식을 형성합니다.

이것이 우리에게 어떤 이점이 있습니까? 예제 방정식 세트에 이 작업을 수행할 때 어떤 일이 발생하는지 살펴보세요.

상위 방정식에 양수 y가 포함되어 있기 때문에 맨 아래 방정식이 음수 y를 포함하는 동안 항 기간, 이 두 용어는 추가 과정에서 서로를 취소하고 y를 남기지 않습니다. 합계의 기간입니다.

우리에게 남은 것은 새로운 방정식이지만 하나의 미지의 변수 x만 있는 것입니다. ! 이를 통해 x 값을 쉽게 해결할 수 있습니다. :

x에 대해 알려진 값이 있으면 , 물론 y 결정 의 값은 단순히 대체 문제입니다(x 숫자 6 )를 원래 방정식 중 하나로 변환합니다.

이 예에서 방정식을 함께 추가하는 기술은 단일 미지의 변수로 방정식을 생성하는 데 잘 작동했습니다.

일이 그렇게 간단하지 않은 예는 어떻습니까? 다음 방정식 세트를 고려하십시오.

우리는 이 두 방정식을 함께 더할 수 있습니다. 이것은 완전히 유효한 대수 연산입니다. 그러나 x에 대한 값을 얻는 목표에는 도움이 되지 않습니다. 그리고 y :

결과 방정식에는 원래 방정식과 마찬가지로 두 개의 미지의 변수가 포함되어 있으므로 더 이상 솔루션을 얻을 수 없습니다.

그러나 다음과 같은 음수 항을 갖도록 방정식 중 하나를 조작할 수 있다면 어떻게 될까요? 추가될 때 다른 방정식의 각 항을 취소하시겠습니까?

그런 다음 시스템은 마지막 (우연한) 예에서와 같이 단일 미지 변수가 있는 단일 방정식으로 축소됩니다.

y만 돌릴 수 있다면 하위 방정식의 항을 - 2y로 항, 두 방정식을 함께 더할 때 둘 다 y 방정식의 항은 취소되어 x만 남게 됩니다. 이를 통해 솔루션에 더 가까워질 수 있습니다.

다행히도 이 작업은 어렵지 않습니다. 곱하면 -2로 더 낮은 방정식의 각 항 , 그것은 우리가 추구하는 결과를 생성할 것입니다:

이제 이 새로운 방정식을 원래의 상위 방정식에 추가할 수 있습니다.

x 풀기 , 3 값을 얻습니다. :

이 새로 발견된 값을 x로 대체 원래 방정식 중 하나로 y 값 쉽게 결정됨:

3변수 시스템에서 이 솔루션 기술을 사용하는 것은 조금 더 복잡합니다.

대입과 마찬가지로 이 기술을 사용하여 3개의 변수로 구성된 3-방정식 시스템을 2개의 변수가 있는 2개의 방정식으로 줄인 다음 다시 적용하여 하나의 미지의 변수를 갖는 단일 방정식을 얻어야 합니다.

설명을 위해 대체 섹션의 3변수 방정식 시스템을 사용하겠습니다.

상위 방정식의 계수 값이 1이기 때문에 각 변수에 대해 조작 및 취소 도구로 사용하기 쉬운 방정식이 될 것입니다.

예를 들어 3x를 취소하려면 중간 방정식의 항에서 우리가 해야 할 일은 맨 위 방정식을 취하고 각 항에 -3을 곱하는 것입니다. , 다음과 같이 중간 방정식에 추가합니다.

-5x의 최하 방정식을 제거할 수 있습니다. 같은 방식으로 항:원래의 최상위 방정식을 취하고 각 항에 5를 곱합니다. , 그런 다음 수정된 방정식을 맨 아래 방정식에 추가하고 y만 있는 새 방정식을 남깁니다. 그리고 z 용어:

이 시점에서 동일한 두 개의 미지수인 y 변수를 갖는 두 개의 방정식이 있습니다. 그리고 z :

검사를 통해 -z 상위 방정식의 항은 4z를 취소하기 위해 활용될 수 있습니다. 위 방정식의 각 항에 4를 곱하기만 하면 하위 방정식의 항 두 방정식을 더합니다.

새로운 방정식 취하기 13y =52 및 y에 대한 해결 (양변을 13으로 나누어 ), 4 값을 얻습니다. y 동안 .

이 값을 4로 대체 y 동안 두 변수 방정식 중 하나에서 z를 풀 수 있습니다. .

y의 두 값 대체 그리고 z 원래의 3변수 방정식 중 하나로 x를 풀 수 있습니다. .

최종 결과(대수적 단계는 지금쯤 익숙해져야 하므로 생략하겠습니다!)는 x =2입니다. , y =4 , 및 z =12 .

관련 워크시트:

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회로 분석 워크시트에 대한 연립방정식