연립방정식 마스터하기: 대입법과 가감법 단계별 가이드

연립방정식이란?

연립방정식과 방정식 시스템은 두 개 이상의 미지수가 같은 개수의 방정식으로 서로 연관된 상황을 말합니다.

예시:

 

 

이 방정식 쌍을 만족하는 x, y의 조합은 단 하나뿐입니다.

각 방정식을 따로 보면 무한히 많은 (x,y) 해가 있지만, 함께 고려하면 유일한 해만 존재합니다. 그래프로 그리면 이 사실이 명확해집니다:

 

 

각 직선은 각 방정식을 만족하는 x, y 순서쌍의 연속입니다.

두 선형 함수 x + y = 24와 2x - y = -6은 x = 6, y = 18인 단 한 점에서 만납니다.

하지만 그래프로 해를 구하는 것은 효율적이지 않으며, 세 변수 이상일 때는 특히 비현실적입니다.

세 변수 시스템에서는 세 평면이 3차원 공간에서 만나는 점을 찾아야 하는데, 시각화하기 어렵습니다.

 

대입법으로 연립방정식 풀기

연립방정식을 푸는 여러 대수적 기법이 있습니다.

개념적으로 가장 이해하기 쉬운 것은 대입법입니다.

앞서 본 두 변수 예제를 사용해 보겠습니다:

 

 

대입법에서는 한 방정식을 변형해 한 변수를 다른 변수로 표현합니다:

 

 

이 새로운 정의를 다른 방정식의 같은 변수 자리에 대입합니다.

여기서 y = 24 - x를 다른 방정식의 y에 대입합니다:

 

 

이제 x만 있는 방정식이 되었으므로 일반 대수 기법으로 풉니다:

 

 

x를 알면 원래 방정식 아무 곳에나 대입해 y를 구할 수 있습니다.

또는 방금 만든 y = 24 - x에 x = 6을 넣어 y를 바로 구해도 됩니다:

 

 

세 변수 이상에도 대입법을 비슷한 패턴으로 적용할 수 있으나 계산량이 늘어납니다.

일반적으로 변수가 하나 늘어날 때마다 해를 구하는 단계가 급격히 증가합니다.

세 미지수를 풀려면 최소 세 방정식이 필요합니다. 다음 예제를 봅시다:

 

 

첫 번째 방정식의 계수(1, -1, 1)가 가장 단순하므로, 이를 이용해 한 변수를 나머지 두 변수로 표현합니다.

x를 y, z로 표현:

 

 

이 x 정의를 나머지 두 방정식에 대입:

 

 

두 방정식을 단순화:

 

 

이제 세 변수 세 방정식 시스템이 두 변수 두 방정식으로 줄었습니다.

4y - z = 4와 -3y + 4z = 36에 다시 대입법을 적용해 y 또는 z를 풉니다. 먼저 첫 방정식에서 z를 y로 표현:

 

 

이 z 정의를 다른 방정식에 대입:

 

 

y 값이 알려졌으므로 z를 구하는 식에 대입:

 

 

y, z 값을 x 정의 식에 대입해 x를 구합니다:

 

 

결과적으로 x = 2, y = 4, z = 12로 세 방정식을 모두 만족합니다.

 

가감법으로 연립방정식 풀기

대입법이 개념적으로 가장 쉽지만, 다른 방법도 있습니다.

그중 하나가 가감법으로, 방정식끼리 더해 변수 항을 소거하는 방법입니다.

대입법에서 쓴 두 변수 시스템을 다시 사용해 보겠습니다:

 

 

대수학의 기본 규칙: 방정식 양변에 같은 연산을 해도 등식은 성립합니다.

덧셈에 적용하면, 같은 양을 양변에 더해도 참이 유지됩니다.

두 방정식의 좌변끼리, 우변끼리 더해 새 방정식을 만들 수 있습니다.

예제에서 x + y와 2x - y를 더하고, 24와 -6을 더하면:

 

 

위 방정식에 +y, 아래에 -y가 있어 서로 상쇄되어 y 항이 사라집니다.

x만 남은 새 방정식이 생기므로 x를 쉽게 풉니다:

 

 

x = 6을 알면 원래 방정식 중 하나에 대입해 y를 구합니다.

이 예에서는 방정식을 더하는 것만으로 한 변수만 남은 방정식을 얻었습니다.

하지만 항상 이렇게 간단하지는 않습니다. 다음 방정식 쌍을 봅시다:

 

 

그대로 더하면:

 

 

여전히 두 변수가 남아 해를 구하는 데 진전이 없습니다.

하지만 한 방정식을 변형해 다른 방정식의 항과 상쇄되게 만들면 어떨까요?

아래 방정식의 y 항을 -2y로 만들면 더했을 때 y가 상쇄됩니다.

아래 방정식 전체에 -2를 곱하면 됩니다:

 

 

이 새 방정식을 원래 위쪽 방정식에 더합니다:

 

x = 3을 얻습니다:

 

 

이 x 값을 원래 방정식 중 하나에 대입해 y를 구합니다:

 

 

세 변수 시스템에도 가감법을 적용할 수 있으나 더 복잡합니다.

대입법과 마찬가지로 세 방정식 세 변수 시스템을 두 방정식 두 변수로 줄이고, 다시 한 방정식 한 변수로 줄여 풉니다.

대입법 섹션의 세 변수 시스템으로 시연해 보겠습니다:

 

 

첫 방정식의 모든 변수 계수가 1이므로 조작하기 쉽습니다.

가운데 방정식의 3x 항을 없애려면 첫 방정식에 -3을 곱해 더합니다:

 

 

마찬가지로 바닥 방정식의 -5x 항을 없애려면 첫 방정식에 5를 곱해 더합니다:

 

 

이제 y, z만 있는 두 방정식이 남았습니다:

 

 

위 방정식의 -z 항을 이용해 아래 방정식의 4z를 상쇄하려면 위 방정식에 4를 곱해 더합니다:

 

 

새 방정식 13y = 52에서 y = 4를 얻습니다.

이 값을 두 변수 방정식 중 하나에 대입해 z를 구하고, y, z를 원래 세 변수 방정식에 대입해 x를 구합니다.

최종 결과(대수 과정은 생략)는 x = 2, y = 4, z = 12입니다.

 

관련 워크시트:

• 회로 분석을 위한 연립방정식 워크시트