6축 로봇에서 오일러 각 계산

Mecademic에서 사용하는 모바일 XYZ 규칙에 따라 오일러 각도(도 단위)는 다음 두 가지 경우에 따라 얻습니다.
사례 1: r <서브>1,3 ≠ ±1(즉, z' 프레임의 축 F' x와 평행하지 않습니다. 프레임의 축 F ).

베타 =아신(r <서브>1,3 ), γ =atan2(−r <서브>1,2 , r <서브>1,1 ), α =atan2(−r <서브>2,3 , r <서브>3,3 ).

사례 2: r <서브>1,3 =±1(즉, z' 프레임의 축 F' x와 평행 프레임의 축 F ).

베타 =r <서브>1,3 90°, γ =atan2(r <서브>2,1 , r <서브>2,2 ), α =0.

일반적인 사례 1에서는 실제로 모든 각도가 반열린 범위(-180°, 180°]에 있는 두 개의 솔루션 세트가 있습니다. 그러나 두 세트의 솔루션을 모두 계산하는 것은 쓸모가 없으므로 첫 번째 솔루션만 제시됩니다. , 여기서 −90° <β <90°. 또한 솔루션에서 atan2(y, x) 함수를 사용합니다. 일부 프로그래밍 언어, 일부 공학용 계산기 및 대부분의 스프레드시트 소프트웨어에서는 이 함수의 인수가 반전된다는 점에 유의하세요.
마지막으로 사례 2는 소위 표현 특이점에 해당합니다. . 이 특이점은 3D 공간에서 방향의 3개 매개변수 표현에 존재합니다(Mecademic이 선택한 오일러 각도뿐만 아니라). 두 개의 매개변수만으로 구의 점을 나타내는 문제와 비슷합니다. 예를 들어 경도는 지구상의 남극과 북극에서 정의되지 않습니다. 즉, 이 특이점은 메커니즘의 특이점(예:소위 짐벌 잠금 장치 ), 실제 물리적 문제(예:자유도 손실)에 해당합니다.

운동

우리에게 일어난 다음 실제 상황을 고려하십시오. 우리는 Meca500 로봇 암의 엔드 이펙터에 FISNAR 분배 밸브를 부착하고 싶었습니다. 당연히 어댑터를 설계하고 가공한 엔지니어는 오일러 각도에 관심이 없었고 기계 가공성과 도달 가능성에만 관심이 있었습니다. 그의 설계에는 본질적으로 45°의 두 회전이 있었습니다. 먼저 그는 어댑터를 부착하기 위해 로봇 플랜지에 있는 두 개의 정반대 나사 구멍을 사용하여 45°의 첫 번째 회전을 일으켰습니다. 둘째, 플랜지 인터페이스 평면과 디스펜서 축 사이의 각도는 45°였습니다.

위의 그림은 정의가 필요한 실제 설치(왼쪽)와 도구 프레임(오른쪽)을 보여줍니다. 축 대칭 도구를 사용할 때 도구 Z축을 도구 축과 정렬하는 것이 일반적입니다. 이는 모바일 XYZ 오일러 각도 규칙에 특히 유용합니다. 축 대칭 도구에 대한 중복 회전이 세 번째 오일러 각도 γ에 해당하기 때문입니다. 따라서 처음 두 개의 오일러 각은 도구의 축을 정의하고 세 번째는 로봇의 최적 구성을 선택하는 데 사용할 수 있습니다(즉, 특이점에서 멀리 떨어져 있음).

우리의 예로 돌아가서 시행 착오를 통해 모바일 XYZ 규칙에 따라 오일러 각을 제시하는 것이 불가능하다는 것을 보여줄 것입니다. 실제로 이 도구 기준 좌표계 선택의 경우 최종 방향을 다음 두 회전의 시퀀스로 나타낼 수 있습니다. R =R _z (45°)R _y (45°). 여기에서 앞에서 설명한 방정식을 사용하여 모바일 XYZ 규칙에 따라 오일러 각을 추출하고 다음을 얻을 수 있습니다. α =−35.264°, β =30.000°, γ =54.735°. 이와 같은 상황에서 오일러 각을 마스터해야 한다고 이제 확신하십니까?

표현 특이점 및 방향 오류

모바일 XYZ 오일러 각도 규칙의 경우 z' 프레임의 축 F' x와 평행 프레임의 축 F , α의 무한한 쌍이 있습니다. 및 γ 동일한 방향을 정의합니다. 분명히 원하는 방향을 정의하는 데 하나만 필요하므로 임의로 α를 설정했습니다. 0과 같아야 합니다. 더 구체적으로, β =90°, α의 조합 및 γ , 예:α + γ =φ 여기서 φ는 임의의 값이며 동일한 방향에 해당하며 Mecademic의 컨트롤러에서 {0,90°,φ}로 출력됩니다. 마찬가지로, β =−90°, α의 조합 및 γ , α − γ =φ 여기서 φ는 임의의 값이며 동일한 방향에 해당하며 Mecademic의 컨트롤러에서 {0,−90°,−φ}로 출력합니다. 그러나 프레임의 방향을 나타내려고 하면 F' 프레임 F 관련 및 z' 프레임의 축 F' x와 거의 평행 프레임의 축 F (즉, β는 ±90°에 매우 가깝습니다.) 오일러 각은 수치 오류에 매우 민감합니다. In such a case, you should enter as many digits after the decimal point as possible when defining the orientation using Euler angles.
Consider the following situation which has caused worries to several users of our Meca500. You set the orientation of the tool reference frame with respect to the world reference frame to {0°, 90°, 0°}, which is a representational singularity. Then you keep this orientation and move the end-effector in space to several positions. At some positions, because of numerical noise, the controller does not detect the condition r _1,3  = ±1 (Case 2, as mentioned above) and calculates the Euler angles as if the orientation did not correspond to a representational singularity. Thus, the controller returns something like {41.345°, 90.001°, −41.345°}, which seems totally wrong and very far away from {0°, 90°, 0°}. Well it’s not.
Unlike position errors, which are measured as √(Δx ²  + Δy ²  + Δz ² ), orientation errors are not directly related with the variations in the Euler angles, especially close to representational singularities. To better understand this so-called non-Euclidean nature of Euler angles, consider the spherical coordinates used to represent a location on Earth. At the North Pole, the latitude is 90° (North), but what is the longitude? Longitude is not defined at the North Pole, or it can be any value. Now imagine that we move only 1 mm away from the North Pole in the direction of Greenwich. In this case, the latitude will be 89.99999999°, but the longitude will now have the value of 0°. Imagine once again that you return to the North Pole and move 1 mm in the direction of Tokyo. The new longitude will be approximately 140°. Between your two locations, the error in longitude is 140°! However, the real angular error will be approximately 0.00000002°.
The situation described above is similar in all other Euler angles conventions. Depending on the Euler angle convention, the correspoding representation singularity occurs when a specific axis of frame F’  is parallel to another specific axis of frame F . In such a representation singularity, the first and third rotation become dependant.
In conclusion, unless you master Euler angles (or use sophisticated offline programming software), and more specifically the convention used for programming your robot, you will hardly be able to program anything but simple pick and place operations. Because robotics is not simple, we do our best to help you understand the basics.

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