MATLAB에서 고유값 및 고유벡터 익히기:실용 가이드

고유값과 고유벡터는 선형대수학의 기본 개념으로 물리학, 공학, 데이터 분석 등 다양한 분야에서 널리 사용됩니다. MATLAB에서는 이러한 개념을 쉽게 탐색하고 계산할 수 있습니다.

고유값이란 무엇인가요?

고유값은 벡터 공간의 선형 변환과 관련된 (람다)로 표시되는 스칼라입니다. 이는 변환 중에 해당 고유 벡터의 크기가 조정되는 요소를 나타냅니다.

EigenVectors란 무엇인가요?

고유벡터는 선형 변환이 적용될 때 스칼라 인수에 의해서만 변경되는 0이 아닌 벡터입니다. 즉, A가 행렬인 경우 v는 −

인 경우 고유값에 해당하는 A의 고유벡터입니다.

평균=v

여기서 A는 정방행렬, v는 고유벡터, 는 고유값입니다.

MATLAB 함수

MATLAB은 고유값과 고유벡터를 계산하는 내장 함수를 제공합니다.

eig 사용

이 함수는 행렬의 고유값과 고유벡터를 계산합니다.

구문

e = eig(A)
[V,D] = eig(A)
[V,D,W] = eig(A)
e = eig(A,B)
[V,D] = eig(A,B)
[V,D,W] = eig(A,B)
[___] = eig(A,balanceOption)
[___] = eig(A,B,algorithm)
[___] = eig(___,outputForm)

구문 설명

e =eig(A)는 정사각 행렬 A의 고유값이 포함된 열 벡터를 반환합니다.

[V,D] =eig(A)는 A의 고유값을 갖는 대각 행렬 D와 열이 해당 고유 벡터인 행렬 V를 반환합니다. 즉, A에 V를 곱하는 것은 V에 D를 곱하는 것과 같습니다.

[V,D,W] =eig(A)는 열이 대응하는 왼쪽 고유 벡터인 전체 행렬 W도 반환합니다. 즉, W의 전치에 A를 곱하는 것은 D에 W의 전치를 곱하는 것과 같습니다.

고유값 문제는 방정식 Av =v에 대한 해를 찾는 것입니다. 여기서 A는 정사각 행렬, v는 열 벡터, 스칼라입니다. 이 방정식을 만족하는 값이 고유값이고, 이를 만족하는 v 값이 올바른 고유벡터입니다. 왼쪽 고유벡터 w는 방정식 w'A =w'를 충족합니다.

e =eig(A,B)는 정사각 행렬 A와 B의 일반 고유값이 포함된 열 벡터를 반환합니다.

[V,D] =eig(A,B)는 일반 고유값을 갖는 대각 행렬 D와 열이 대응하는 우고유벡터인 전체 행렬 V를 반환합니다. 즉, A에 V를 곱하는 것은 B, V, D를 함께 곱하는 것과 같습니다.

[V,D,W] =eig(A,B)는 열이 대응하는 왼쪽 고유 벡터인 전체 행렬 W도 반환합니다. 즉, W의 전치에 A를 곱하는 것은 D, W의 전치, B를 곱하는 것과 같습니다.

일반 고유값 문제는 방정식 Av =Bv에 대한 해를 구하는 것입니다. 여기서 A와 B는 정사각 행렬이고, v는 열 벡터이며 스칼라입니다. 이 방정식을 만족하는 값은 일반 고유값이고, v 값은 이에 대응하는 우고유벡터입니다. 왼쪽 고유벡터 w는 방정식 w'A =w'B를 충족합니다.

[___] =eig(A, BalanceOption), 여기서 BalanceOption은 "nobalance"이며 알고리즘의 예비 균형 조정 단계를 끕니다. 기본적으로 BalanceOption은 균형 조정을 활성화하는 "balance"입니다. eig 함수는 이전 예제에서 언급된 출력 인수 중 하나를 반환할 수 있습니다.

[___] =eig(A,B,algorithm)(여기서 알고리즘은 "chol")은 B의 촐레스키 분해를 사용하여 일반 고유값을 계산합니다. 기본 알고리즘은 A와 B의 속성에 따라 다르지만, A와 B가 대칭이 아닌 경우에는 "qz"(QZ 알고리즘)입니다.

[___] =eig(___,outputForm)은 앞에서 언급한 입력 또는 출력 인수를 사용하여 outputForm에서 지정한 형식으로 고유값을 반환합니다. 고유값을 열 벡터로 가져오려면 outputForm을 "벡터"로 설정하고, 대각 행렬로 가져오려면 "행렬"로 설정하세요.

Matlab 함수 eig()의 예

다음은 사용 방법을 보여주는 몇 가지 예입니다. −

예 1:e =eig(A)를 사용하여 고유값을 계산하려면

MATLAB에서는 eig 함수를 사용하여 행렬 A의 고유값을 찾을 수 있습니다. 다음 코드를 고려해보세요 -

% Define the matrix A
A = [1, 2, 3;
 4, 5, 6;
 7, 8, 9];
% Compute the eigenvalues
e = eig(A)

위의 예에서 -

• 행렬 A는 표시된 항목이 있는 3x3 행렬로 정의됩니다.
• eig(A) 함수는 행렬 A의 고유값을 계산합니다.
• eig(A)의 결과는 A의 고유값을 포함하는 열 벡터인 변수 e에 저장됩니다.

코드가 계산될 때 우리가 얻는 출력은 다음과 같습니다 -

>> % Define the matrix A
A = [1, 2, 3;
 4, 5, 6;
 7, 8, 9];
% Compute the eigenvalues
e = eig(A)
e =
 16.1168
 -1.1168
 -0.0000

예 2:[V,D] =eig(A)를 사용하여 고유값 및 고유벡터를 얻으려면

MATLAB에서는 eig 함수를 사용하여 행렬 A의 고유값과 고유벡터를 찾을 수 있습니다.

다음 코드를 고려해보세요 -

% Define the matrix A
A = [2, -1;
 4, 3];
% Compute the eigenvalues and eigenvectors
[V, D] = eig(A);
% Display the eigenvalues
disp('Eigenvalues:');
disp(D);
% Display the eigenvectors
disp('Eigenvectors:');
disp(V);

위의 코드에는 −

가 있습니다.

• 행렬 A는 표시된 항목이 있는 2x2 행렬로 정의됩니다.
• [V, D] =eig(A) 함수는 행렬 A의 고유값(D)과 해당 고유벡터(V)를 모두 계산합니다.
• D는 A의 고유값을 포함하는 대각 행렬입니다.
• V는 열이 해당 고유 벡터인 행렬입니다.

코드가 실행될 때 우리가 얻는 출력은 다음과 같습니다 -

>> % Define the matrix A
A = [2, -1;
 4, 3];
% Compute the eigenvalues and eigenvectors
[V, D] = eig(A);
% Display the eigenvalues
disp('Eigenvalues:');
disp(D);
% Display the eigenvectors
disp('Eigenvectors:');
disp(V);
Eigenvalues:
 2.5000 + 1.9365i 0.0000 + 0.0000i
 0.0000 + 0.0000i 2.5000 - 1.9365i
Eigenvectors:
 -0.1118 + 0.4330i -0.1118 - 0.4330i
 0.8944 + 0.0000i 0.8944 + 0.0000i