미분 방정식을 기반으로 한 슈퍼커패시터 에너지 저장의 추정

초록

이 논문에서는 축적된 에너지를 추정하기 위해 슈퍼커패시터 단자에 대한 전압 측정만을 사용한 새로운 결과를 제시한다. 이를 위해 슈퍼커패시터 충방전 회로의 분수차수 모델을 적용한 연구를 진행하고 있다. 모델의 매개변수 추정치는 슈퍼커패시터에 축적된 에너지의 양을 평가하는 데 사용됩니다. 얻어진 결과를 슈퍼커패시터 단자의 전압과 전류를 측정하여 실험적으로 결정된 에너지와 비교하였다. 모든 테스트는 다양한 입력 신호 모양과 매개변수에 대해 반복됩니다. 추정된 결과와 실험 결과 사이의 매우 높은 일관성은 제안된 접근 방식의 적합성과 따라서 슈퍼커패시터 에너지 저장의 모델링에 분수 미적분학의 적용 가능성을 완전히 확인합니다.

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배경

오늘날 슈퍼커패시터는 자동차 애플리케이션, 하이브리드 자동차 및 기타 여러 장치뿐만 아니라 백업 전력 및 전기 회수 시스템과 같은 많은 장치 및 시스템의 주요 구성 요소입니다. 화학 반응 없이 전하를 축적할 수 있는 능력으로 인해 이러한 요소는 일반 배터리에 비해 수백 배 더 많은 충전/방전 주기를 갖습니다[1]. 또한, 높은 충전/방전 속도는 예를 들어 운송 또는 재생 가능한 에너지원에서 사용되는 에너지 회수 시스템의 애플리케이션에 효과적입니다[2, 3]. 이러한 모든 애플리케이션에서 핵심 매개변수는 슈퍼커패시터에 축적된 에너지의 양에 대한 정보입니다[4, 5]. 불행히도 정보를 결정할 수 있는 일반적인 커패시터에 대한 잘 알려진 관계, 즉 (1/2)C 유 ² , 사용할 수 없습니다[6]. 축전기 단자의 전압만으로는 축적된 에너지의 양을 결정할 수 없습니다. 그 주된 이유는 전하 재분배와 관련된 확산 과정 때문입니다[1, 7]. 이것이 많은 연구자들이 실제 시스템의 동작을 추정할 수 있는 슈퍼커패시터 모델을 결정하려고 시도한 이유입니다. 현재 연구자들은 주로 RC와 같은 전형적인 전자 소자의 조합을 채택하고 있습니다. 이러한 요소의 사중극자 또는 직렬 및 병렬 조합. 그러나 이러한 모든 모델은 전형적인 정수 차수 미분 방정식의 형태로 슈퍼커패시터 전류와 단자의 전압 사이의 관계를 가정합니다[3–5, 7].

그러나 그러한 시스템에서 에너지 추정을 위한 완전히 새로운 가능성은 분수 미적분을 적용하여 얻을 수 있음이 밝혀졌습니다[8, 9]. 비정수-차수 미분-적분 미적분은 300년 전에 제안되었지만 중요한 구현 문제는 컴퓨터의 출현과 이산 시간 동적 시스템의 모델링에서의 사용과 관련이 있습니다[10-14]. 슈퍼커패시터 매개변수 추정 문제에 분수 미적분학을 적용하는 것은 새로운 문제가 아닙니다. 이 분야에 많은 출판물이 있습니다[15-25]. 저자는 주파수 및 시간 영역 모두에서 매개변수를 추정하는 작업을 수행합니다[26].

이 논문은 수퍼커패시터에 축적된 에너지를 추정하기 위해 분수 차수 접근법이 간략하게 소개된 저자의 컨퍼런스 프레젠테이션 [27]의 확장 버전입니다.

슈퍼커패시터의 매개변수를 정확하게 추정하는 것도 신뢰성을 평가하는 데 가장 중요합니다[28-31]. 슈퍼커패시터 내부의 영구적인 열화 과정은 등가 직렬 저항과 커패시턴스를 변경할 수 있습니다. 따라서 제안된 방법을 기반으로 이러한 매개변수를 정확하게 결정하면 커패시터의 성능도 정확하게 평가할 수 있습니다.

이 백서는 분수 차수 적분 및 미분과 관련된 몇 가지 예비 사항으로 시작합니다. 다음으로 실험에서 사용된 매개변수 추정 방법을 제시하고 분수 미적분학을 기반으로 한 새로운 에너지 계산 방법을 제안한다. 결과 및 토론 섹션에서는 다양한 시나리오에 대해 계산된 에너지를 제시하고 이를 참조(측정) 값과 비교합니다. 결론 및 기여는 결론 섹션에 요약되어 있습니다.

방법

슈퍼커패시터에 다공성 물질을 사용하고 특정 전하 축적 방식으로 인해 정수 차수 도함수 모델에 기반한 기존 접근 방식은 충분히 정확하지 않습니다. 많은 연구자들이 전형적인 RC 조합의 형태로 다양한 솔루션을 제안했습니다. 상수 또는 변수 값이 있는 요소[4, 7]. 그러나 슈퍼커패시터의 전류와 전압 사이의 관계를 정의하기 위해 비정수 차수 미분 계산을 사용하여 확실히 더 나은 정밀도를 얻을 수 있음이 밝혀졌습니다[17, 19]. 또한, 이러한 솔루션은 매우 높은 정확도를 제공하면서 매우 단순한 모델 구조를 초래할 수 있습니다[18].

분수 차수 미적분–적분 미적분

분수 차수 미적분학은 300년 이상 동안 알려져 왔습니다. 그러나 최근 몇 년 만에 물리적 현상 및 프로세스 모델링에서 인기를 얻었습니다. 정수가 아닌 차수의 도함수 또는 적분을 사용하여 역학을 설명하는 것은 특히 새로운 재료 및 기술을 기반으로 하는 많은 복잡한 현상 및 산업 프로세스의 실제 속성을 모델링하는 가장 효과적인 방법 중 하나가 될 수 있다고 믿어집니다[10, 12, 13 , 32–34].

비정수 차수 미분 또는 적분 미적분은 α 차수에 대한 고전 미적분학의 일반화입니다. 실수 집합 $\mathcal {R}$에 속합니다. f 함수의 $\alpha \in \mathcal {R}$ 차수의 미분-적분 연산자 (그 ) 범위 [a ,그 ]는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$ {{}_{a}\mathcal{D}_{\textit t}^{\alpha}}f(t)=\left\{ {\begin{array}{lcl} {\frac{\mathrm {d}^{\alpha}\textit{f(t)}}{\mathrm{d} \textit{t}^{\alpha}}} &\text{for} &\alpha>0\\ f( t) &\text{for} &\alpha=0\\ \int_{a}^{t} f(\tau)\textrm {d} {\tau^{\alpha}} &\textrm {for} &\alpha<0,\\ \end{array}} \right. $$ (1)

함수 f (그 )는 여러 번 미분 가능하고 적분 가능합니다. 연산자 (1)에 관해서는 그 실현에 대한 많은 정의가 있습니다. 이러한 정의는 속성과 적용 영역이 다릅니다. 가장 인기 있는 것은 Riemann–Liouville, Caputo 및 Grünwald–Letnikov(GL) 정의[34]입니다. 후자는 이 백서에서

형식으로 사용됩니다. $$ {}_{a}\mathcal{D}_{t}^{\alpha} f(t) ={\lim}_{h \to 0} \frac{1}{h^{\alpha} } \sum\limits_{j=0}^{\left[{\frac{t}{h}}\right]}(-1)^{j}{\alpha \선택 j}f(t-jh) , $$ (2)

여기서 이항 $\alpha \choose j$는 다음과 같이 정의됩니다.

$$ {\alpha \choose j}=\left\{ \begin{array}{lll} 1 &\textup {for} &j=0 \\ \frac{\alpha (\alpha-1) \dots (\alpha -j+1)}{j!} &\text{for} &j>0. \end{array} \오른쪽. $$ (3)

이산 시간의 분수 모델을 얻기 위해 이산 형식의 GL 정의는 다음과 같이 단순화됩니다.

$$ \Delta_{h}^{\alpha} f(t) =\frac {1}{h^{\alpha}} \sum\limits_{j=0}^{t}(-1)^{j }{\alpha \선택 j}f(tj). $$ (4)

GL Eq에 대한 몇 가지 이산화 방식이 있습니다. (4). 가장 인기 있는 연산자는 후진 차분(Euler), 사다리꼴(Tustin) 및 Al Alaoui 연산자입니다. 오일러의 방법을 사용하여 이산 시간 모멘트 k에서의 분수 도함수

로 표시할 수 있습니다. $$ \Delta_{h}^{\alpha} f(k)=\frac {1}{h^{\alpha}}\sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j }{\alpha \선택 j}f(kj),\; k=0,1,\ldots. $$ (5)

이전 샘플의 무한 합은 제한된 메모리와 제한된 계산 시간으로 인해 실제 시스템에서 유한 값으로 제한되어야 합니다. 이제 GL의 잘린 또는 유한 길이 이산 시간 근사는

$$ \Delta^{\alpha} f(k) =\frac {1}{h^{\alpha}}\sum\limits_{j=0}^{L}(-1)^{j}{\ 알파 \선택 j}f(kj),\; k=0,1,\ldots, $$ (6)

여기서 f (나 )=0 l <0 및 L 는 모델(6)의 길이입니다[23]. 샘플 수를 줄이면 계산 정확도가 떨어집니다. 이것은 연속적으로 작동하는 시스템에 중요합니다. 다른 종류의 솔루션은 정수 차수 모델을 사용하여 분수 미분-적분을 근사하는 알고리즘입니다. Oustaloup 재귀 필터[35]를 예로 들 수 있습니다. 또 다른 효과적인 유한 길이 모델은 FFLD로, 절단 모델(6)과 Laguarre 기반 차분의 조합[24, 36, 37]입니다.

(긴) 관찰 창 L의 모든 샘플을 기반으로 식별 및 에너지 측정의 모든 결과를 얻습니다. 즉, 최대 정확도로. 그림 1은 k에 대해 (6)을 기반으로 구한 적분 및 미분의 단계 응답을 나타냅니다. =0,1,…,L 다양한 적분/미분 차수 값에 대해 α . α 차수의 다른 값을 가정 , 특히 확산 과정과 같은 다양한 물리적 과정을 보다 정확하게 모델링할 수 있습니다.

<그림>

통합을 위한 단계 응답(a ) 및 차별화(b ) 다양한 주문의 모델 α

분수 모델에 대한 매개변수 추정

이 문서에 제시된 모든 에너지 측정 및 식별 절차의 결과는 제어된 전압 소스에서 충전된 슈퍼커패시터에 대해 얻은 것입니다. 이러한 시스템에서 슈퍼커패시터 전류 i _C (그 ) 저항 R에 의해 제한되어야 합니다. 슈퍼커패시터 C와 직렬로 연결 (그림 2). 모든 슈퍼커패시터 매개변수의 추정은 사중극자 응답 u을 기반으로 수행됩니다. _C (그 ) 전압 단계 u까지 (그 ) 입력 시. 도함수 α의 적절한 값 선택 충전 및 방전 프로세스 동안 전하 재분배와 관련된 확산 프로세스와 관련된 물리적 현상의 슈퍼커패시터 모델을 설명할 수 있습니다. 병렬 저항 r _피 또한 누설 전류의 모델링을 가능하게 합니다. 슈퍼커패시터를 모델링하기 위해 분수 미분 미적분학을 사용하면 모델 구조가 덜 복잡해질 수 있습니다. 전압원에서 충전된 슈퍼커패시터의 경우 모델은 두 가지 요소, 즉 간단한 RC로 구성됩니다. 사중극자(그림 2a). 저용량의 경우 직렬 저항 r _S 중요하지만(그림 2b) 누설 전류 I _엘 병렬 저항 r로 추가로 나타낼 수 있습니다. _피 (그림 2c). 슈퍼커패시터를 모델링하기 위해 분수 차수를 사용하여 커패시터 단자의 전압과 전류 사이의 관계는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

$$ i_{C}(t)=C_{\alpha}\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d} t^{\alpha}}, $$ (7) <그림><소스 유형="이미지/webp" srcset="//media.springerature.com/lw685/springer-static/image/art%3A10.1186%2Fs11671-017-2396-y/ MediaObjects/11671_2017_2396_Fig2_HTML.gif?as=webp">

슈퍼커패시터 RC 모델, 기본 모델(a ), 직렬 저항으로 확장됨(b ) 및 추가 병렬 저항(c )

여기서 연산자 d^α /dt ^α α 차수의 미분 연산자를 의미합니다. 및 C의 SI 단위 _α [F/sec^{1−α입니다.} ]. 그림 2a에 표시된 기본 슈퍼커패시터 구성은 1차 관성 시스템으로 처리할 수 있으며 분수 전달 함수

로 나타낼 수 있습니다. $$ G(s^{\alpha})=\frac{U_{C}(s)}{U(s)}=\frac{1}{Ts^{\alpha} +1}, $$ (8 )

여기서 T =R C _α . 직렬 저항 r 고려 _S (그림 2b), 회로는 전달 함수가 있는 위상 지연 보정 시스템으로 처리됩니다([24] 비교)

$$ G(s^{\alpha})=\frac{1}{T_{1}s^{\alpha}+1}+\frac{T_{2}s^{\alpha}}{T_{1 }s^{\alpha}+1}, $$ (9)

여기서 T ₁ =C _α (R +r _S ) 및 T ₂ =r _S C _α . 또한 병렬 저항 r 허용 _피 누설 전류를 나타내는 I _엘 (그림 2c), 시스템 전달 함수는

$$ G(s^{\alpha})=\frac{T_{2}s^{\alpha} +1}{T_{1}s^{\alpha} +K}, $$ (10)

여기서 K =R /r _피 +1, T ₁ =C (R r _s /r _피 +R +r _S ) 및 T ₂ =r _S C . 시간 영역에서 Eq. (10)

로 나타낼 수 있습니다. $$ \frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}=\frac{1}{T_{1}}(u (t)-Ku_{C}(t))+\frac{T_{2}}{T_{1}}\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u(t)}{\mathrm{d }t^{\alpha}}. $$ (11)

(11)에 의해 정의된 모델의 시간 응답은 그림 3에 그래픽으로 표시된 형식으로 변환하여 얻었습니다. 여기서 적분 및 미분 연산은 분수 차수 α입니다. . 이 모델은 슈퍼커패시터 매개변수를 추정하는 과정에서 사용되었습니다. 테스트된 슈퍼커패시터는 그림 4a에 제시된 시스템을 사용하여 식별되었습니다. 전체 시스템의 제어 절차는 xPC Toolbox와 함께 Matlab/Simulink 소프트웨어를 사용하여 개발되었습니다. 시스템은 측정 카드 NI-DAQ가 설치된 데스크탑 PC(xPC Target)와 마스터 컴퓨터(xPC Host)로 구성되었습니다. 컴퓨터는 이더넷 네트워크를 통해 상호 연결되었습니다. 슈퍼커패시터는 ± 3 A까지의 전류 효율의 (전압 제어) 전압원(그림 4b)에 의해 충전 및 방전되었습니다. 측정 시스템은 100Hz의 샘플링 주파수로 작동되었으며 모든 측정 및 아날로그 제어 신호는 16비트 해상도로 처리됨[25].

<사진>

시간 영역에서 슈퍼커패시터 모델의 Matlab 구조

<그림>

측정 시스템의 구조(a ) 및 슈퍼커패시터 충전/방전 방식(b )

시스템의 동적 특성을 결정하는 주요 방법은 단계 응답의 분석을 기반으로 합니다[38]. 시스템 모델과 관련하여 이 방법을 사용하면 매개변수를 추정할 수 있습니다. 이 연구를 위해 다양한 전압(0.5/1.0/1.5/2.0/2.7 V)과 일정한 지속 시간(500초)을 갖는 단계 신호가 사용되었습니다(그림 5 및 표 2 참조). 한편, 슈퍼커패시터의 전형적인 응용 중 하나는 전력 시스템에 에너지를 축적하거나 전달하는 것입니다. 이 경우 전압 변화율은 다소 작습니다. 이를 시뮬레이션하기 위해 2V 오프셋이 있는 400mVpp 및 0.03rad/s 신호가 사용되었습니다(그림 6). 또한 추정된 매개변수에 대한 전압 및 주파수 변화의 영향을 조사하기 위해 후자의 다양한 값을 사용했습니다(표 3 참조).

<사진>

테스트된 슈퍼커패시터 및 분수 모델에 대한 단계 응답(a ) 및 모델 응답 오류(b )

<사진>

테스트된 슈퍼커패시터 및 분수 모델에 대한 사인파 응답(a ) 및 모델 응답 오류(b )

모델 매개변수를 추정하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 이 작업에 적용된 시간 영역 식별 절차의 주요 목적은 미지 매개변수 θ의 벡터를 추정하는 것이었습니다. =[α ,C _α ,r _S ,r _피 ] (11)에 의해 제시된 분수 모델의. 초기 오차를 최소화하기 위해 최소 자승법을 사용했습니다. 최적화 기준에는 표준 오차 $\|\epsilon (k)\|_{2}^{2}$의 최소화가 포함되었습니다. 여기서

$$ \epsilon(k)=u_{C}(k)-\hat{u}_{C}(k), $$ (12)

여기서 u _C (카 )은 k 순간에 테스트된 시스템에서 측정된 출력 전압입니다. , 반면 $\hat {u}_{C}(k)$는 입력 신호 u에 대해 고려된 모델의 출력 전압입니다. (카 ). 식별 문제는 이제 매개변수 벡터 θ를 찾는 것으로 축소됩니다. ∈Θ _광고 제곱 기준 J를 최소화합니다.

$$ \min_{\theta\in\Theta_{ad}} \left\{ J=\sum_{0}^{N} {\epsilon(k)^{T}\epsilon(k)}\right\} , $$ (13)

여기서 Θ _광고 허용 가능한 매개변수 값 세트를 나타내며 N 시뮬레이션 시간을 의미합니다. 문제를 해결하는 데 사용할 수 있는 최적화 알고리즘이 많이 있습니다(13). 본 논문에서 제시하는 결과는 Matlab 환경에서 유전자 알고리즘을 구현하여 얻은 것이다.

에너지 계산

슈퍼 커패시터에 저장된 에너지의 변화는 단위 시간당 커패시터에 공급되는 전력에 따라 달라지며 다음과 같이 설명할 수 있습니다.

$$ \mathrm{d}E(t) =P(t)\mathrm{d}t. $$ (14)

커패시터에 공급되는 전력을 커패시터 단자의 전류와 전압의 곱으로 표현하면 주어진 시간 t에서의 에너지 변화

로 표현할 수 있습니다. $$ \mathrm{d}E(t) =u_{C}(t)i_{C}(t)\mathrm{d}t. $$ (15)

시간 간격 동안의 총 에너지 [t ₁ ,그 ₂ ]는 해당 시간 동안의 에너지 변화를 통합하여 얻을 수 있습니다.

$$ E_{tot}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}E(t)=\int_{t_{1}}^{t_{2}}u_{C }(t)i_{C}(t)\mathrm{d}t. $$ (16)

식에 대한 회계 (7), 총 에너지 저장은

로 결정될 수 있습니다. $$ E_{tot}=C_{\alpha}\int_{t_{1}}^{t_{2}}u_{C}(t)\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C }(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}\mathrm{d}t. $$ (17)

가정 t ₁ =0 및 $E_{t_{1}}=0$, 시간 간격 [0,t 동안 슈퍼커패시터에 저장된 총 에너지 ]는

입니다. $$ E(t)=C_{\alpha}\int_{0}^{t}u_{C}(\tau)\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(\tau) }{\mathrm{d}\tau^{\alpha}}\mathrm{d}\tau. $$ (18)

α의 경우 =1 식 (18) 고전적인 것으로 축소될 수 있습니다.

$$ E(t)=\frac{1}{2}Cu_{C}(t)^{2}. $$ (19)

결과 및 토론

초기에 분수 미적분학을 이용하여 슈퍼커패시터 모델의 매개변수 벡터를 추정하는 절차를 수행하였다. 추정은 그림 2c에 제시된 시스템을 기반으로 수행되었으며 입력에서 전압 단계 또는 사인파를 생성했습니다. 모델 응답은 (11)에 따라 계산되었습니다. 두 식별 절차로 얻은 결과는 특히 부분 정전용량 C의 경우 매우 유사합니다. _α 및 분수 차수 α (표 1 참조). 직렬 저항 추정치의 일부 차이 r _S 주파수 의존성 때문일 수 있습니다. 스텝 신호는 많은 고주파 고조파로 구성되는 반면 사인파는 단 하나(0.03rad/s)입니다. 제시된 결과는 100F 공칭 정전용량 및 8mΩ에서 정격 2.7V의 상용 슈퍼커패시터 Samwha Green–Cap EDLC(DB)에 대해 얻은 것입니다. 최대 등가 직렬 저항(r _S ) 1kHz에서.

그림 5a와 6a는 각각 스텝 및 사인파 신호에 대해 측정된 슈퍼커패시터 전압과 계산된 모델 응답을 보여줍니다. 5b 및 6b는 모델 응답 오류를 보여줍니다.

얻어진 모든 결과는 비교적 단순한 모델이 제안되었음에도 불구하고 모델 응답과 실제 측정 간에 높은 일관성을 보였다. 일부 불일치는 모델 매개변수가 전류원을 사용하여 충전 및 방전되는 슈퍼커패시터 시스템에서 추정되어야 한다는 사실에서 기인할 수 있습니다[25]. 또한 r의 매우 높은 추정치 _피 이는 이 저항이 그림 2c에 표시된 슈퍼커패시터 모델에서 제외될 수 있음을 시사할 수 있습니다. 매우 높은 추정치와 다른 입력에 대한 높은 불일치는 이 매개변수를 추정하는 데 사용된 테스트 신호가 적절하지 않음을 나타냅니다. 모델(10)이 가장 일반적인 형태로 사용되었다. 그러나 모든 매개 변수를 정확하게 결정하려면 다른 절차와 테스트 신호를 사용해야 했습니다. r의 값 _피 누설 전류 I 특성화 _엘 정전압 신호를 사용하여 결정해야 하지만 수십 시간 정도의 매우 긴 시간 동안.

연구의 주요 목표는 에너지를 측정하는 것이지만 다양한 여기 조건이 모든 매개변수 추정에 크게 영향을 미쳤습니다(표 2 참조). 예를 들어, 전압 스텝 진폭의 증가는 슈퍼커패시터 내부의 확산 현상의 효과 증가의 결과로 분수 적분 차수를 크게 변경했습니다. 슈퍼커패시터가 상당히 비선형적이라는 것도 표 2에서 알 수 있다. 적분 차수 변화의 결과로 분수 용량의 변화도 관찰됩니다. 이것은 사인파 여기에도 적용됩니다. 추정된 매개변수의 값 - 특히 α 및 C _α - 진폭과 주파수에 따라 다릅니다(표 3 참조). 저주파의 경우 진폭 값이 중요하지만 고주파의 경우 슈퍼커패시터는 일정한 전압으로 여기된 것처럼 작동합니다.

에너지 계산

도 7a 및 도 8a는 도 4b와 같은 구성에 대한 슈퍼커패시터의 전압 및 전류 측정값을 나타낸다. 이 값은 커패시터에 저장된 총 에너지 계산에 사용되었습니다(E로 표시됨). ₁ 무화과에서. (16)에 따른 7b 및 8b). 매개변수 식별 프로세스와 마찬가지로 시스템 입력에서 전압 단계와 정현파 모두에 대해 계산이 수행되었습니다. t 시간마다 이러한 방식으로 계산된 에너지 (19)(E로 표시)에 따라 전압 및 용량을 기반으로 계산된 에너지와 비교되었습니다. ₃ 무화과에서. 7b 및 8b) 및 분수 차수 미적분으로 계산된 에너지(E로 표시됨) ₂ 무화과에서. (18)에 따른 7b 및 8b). 식의 경우 (19) 슈퍼커패시터의 공칭값을 채택하였다(C _n ), 반면 (18)에서는 표 1에 제시된 추정 과정에서 얻은 값을 사용하였다. 그림 7b는 전압 단계에 대한 측정 및 에너지 계산 결과를 보여주고 그림 8b는 사인파에 대한 동일한 양을 보여줍니다. 다른 전압 단계와 사인파 여기에 대해 유사한 계산이 이루어졌습니다. 그림 9a, b는 각각 0.5V 및 2.7V의 두 전압 단계에 대해 측정 및 계산된 에너지의 예를 보여줍니다. 그림 10은 주파수가 0.03 rad/sec이고 진폭이 0.1/0.25/0.5 및 0.7 V인 정현파 신호에 대한 에너지 변화를 보여줍니다. 결정된 에너지 값의 차이가 추정된 값의 차이에 해당함을 알 수 있습니다. 분수 차수의 α . − 1 값과의 차이가 클수록 계산된 에너지의 차이가 커집니다.

<그림>

슈퍼커패시터 전압 및 전류에 대한 단계 응답(a ) 및 계산된 에너지 값(b )

<그림>

슈퍼커패시터 전압 및 전류에 대한 사인파 응답(a ) 및 계산된 에너지 값(b )

<그림>

0.5V의 스텝 여기(a)에 대해 계산된 에너지 양 ) 및 2.7V(b )

<그림>

주파수 0.03 rad/s 및 진폭 0.1 V(a ), 0.25V(b ), 0.5V(c ) 및 0.7V(d )

토론

매우 얇은 분리막으로 분리된 활성탄 형태의 슈퍼커패시터에 다공성 물질 전극을 사용하고 소위 이중층으로 전하 축적 메커니즘을 사용하면 용량이 엄청나게 증가합니다. 그러나 새로운 재료와 새로운 설계 솔루션을 적용하면 정수 차수 도함수 및 적분 형태의 전통적인 수학적 계산이 부정확하게 나타납니다. 수행된 측정 및 계산은 슈퍼커패시터의 분수 차수 특성을 증명합니다. 정수가 아닌 차수의 정확한 추정에 의해 α 미분/적분의 경우 간단한 수학적 모델을 사용하여 슈퍼커패시터 내부에서 발생하는 현상과 프로세스를 정확하게 모델링할 수 있습니다.

(16)에 의해 결정된 누적 에너지의 실제 값을 고려하면, 명목 매개변수(19)가 있는 정수 차수 모델은 에너지의 양을 과소 평가하는 반면 분수 모델(18)은 거의 동일한 값을 나타냅니다.

수행된 시험 및 측정은 전압원에 의한 슈퍼커패시터의 충방전과 관련된 것이었다. 산업 조건에서 슈퍼 커패시터는 일반적으로 전류 소스에 의해 충전 및 방전됩니다. 이것은 커패시터가 더 이상 관성 시스템이 아니라 일반적인 통합 시스템이 되기 때문에 시스템의 특성을 변경할 수 있습니다. 그러나 저자가 수행한 측정은 이러한 경우에도 확산 과정의 발생을 나타냅니다. 어쨌든 Gründwald-Letnikov 도함수/적분의 유용성은 여기에서 확인됩니다. 또 다른 문제는 GL 미분-적분 연산자의 구현과 관련되어 있습니다. 향후 연구에서는 Oustaloup[35]와 FFLD[24, 36, 37] 근사기를 비교하여 구현 문제를 효과적으로 해결할 것입니다.

슈퍼커패시터 단자전압의 측정값만으로 계산한 슈퍼커패시터의 에너지 저장량과 모델(19)는 적절하지 않다. 모델 (19)는 커패시터 전류가 커패시터 전압의 정수 차수 도함수(i _C (그 )=du _C (그 )/dt ). 이것은 구조와 사용된 특수 재료의 결과로 슈퍼 커패시터에 해당되지 않습니다. 그러나 전류원으로 충전되는 초대형 슈퍼커패시터에서도 동일한 문제가 발생합니다. 슈퍼 배터리라는 상당히 새로운 요소도 있습니다. 이러한 모든 애플리케이션에서 전류 변화는 이러한 요소의 특정 속성의 결과로 단자 전압의 정수 차 도함수로 특성화되지 않습니다.

결론

이 논문에서는 슈퍼커패시터에 축적된 에너지의 양을 추정하는 새로운 접근 방식을 제시했습니다. 분수 차수 모델의 특정 고유 속성을 활용하여 분석이 수행되었습니다. 이러한 정교한 모델링을 적용하면 모델 자체가 복잡하지 않더라도 얻을 수 있는 매우 정확한 결과를 얻을 수 있음이 밝혀졌습니다. 이것은 슈퍼커패시터의 전하 재분배와 마찬가지로 확산 과정을 모델링하는 정수가 아닌 차수의 역학의 자연스러운 능력 때문입니다. 본 논문의 결과는 슈퍼커패시터의 분수적 특성을 확인시켜주었다.

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