분수 미분 모델을 이용한 슈퍼커패시터 에너지 정확 추정

초록

본 논문에서는 슈퍼커패시터 단자 전압 측정만으로 축적 에너지 추정에 대한 새로운 결과 제시. 분수 차수 슈퍼커패시터 충방전 회로 모델 적용 연구 수행. 모델 파라미터 추정으로 슈퍼커패시터 축적 에너지량 평가. 얻어진 결과는 슈퍼커패시터 단자 전압/전류 측정으로 실험적 결정 에너지와 비교. 모든 시험 다양한 입력 신호 형태와 파라미터로 반복. 추정치와 실험 결과 간 매우 높은 일관성으로 제안 접근법 적합성, 분수 미적분 슈퍼커패시터 에너지 저장 모델링 적용 가능성 완전 입증.

배경

오늘날 슈퍼커패시터는 백업 전력, 전기 회수 시스템, 자동차 응용, 하이브리드 차량 등 많은 장치/시스템 주성분. 화학 반응 없이 전하 축적 능력으로 일반 배터리 대비 수백 배 높은 충방전 사이클 수[1]. 높은 충방전 속도로 수송, 재생에너지 등 에너지 회수 시스템 효과적[2,3]. 모든 응용에서 핵심 파라미터는 슈퍼커패시터 축적 에너지량 정보[4,5]. 불행히 일반 커패시터 에너지 결정 잘 알려진 관계식 (1/2)CU² 사용 불가[6]. 단자 전압만으로 축적 에너지량 결정 불가. 주원인은 전하 재분배 관련 확산 과정[1,7]. 많은 연구자 실제 시스템 거동 모델링 가능한 슈퍼커패시터 모델 결정 시도. 현재 연구자들 주로 전형적 전자 소자 조합, 예: RC 4극 또는 직병렬 조합 채택. 그러나 모든 모델이 슈퍼커패시터 전류-단자 전압 관계를 전형적 정수 차 미분방정식 형태 가정[3-5,7].

하지만 분수 미적분 적용으로 이러한 시스템 에너지 추정 완전히 새로운 가능성 획득[8,9]. 비정수 차 미분-적분 미적분 300년 전 제안, 중요한 구현 이슈는 컴퓨터 출현과 이산시간 동역학 시스템 모델링 활용 관련[10-14]. 분수 미적분 슈퍼커패시터 파라미터 추정 적용 새 이슈 아님. 이 분야 다수 출판물[15-25]. 저자들 주파수/시간 영역 모두 파라미터 추정 수행[26].

본 논문은 저자 학회 발표[27] 확장판, 분수 차수 접근법으로 슈퍼커패시터 축적 에너지 간략 소개. 슈퍼커패시터 파라미터 정확 추정은 신뢰성 평가에도 최중요[28-31]. 슈퍼커패시터 내부 영구 열화 공정은 등가 직렬 저항과 정전용량 변화. 제안 방법 기반 이 파라미터 정확 결정으로 커패시터 성능 정확 평가 가능.

논문 분수 차 적분/미분 기초로 시작. 다음 파라미터 추정 방법 제시, 분수 미적분 기반 새 에너지 계산법 제안. 결과 및 논의 섹션 다양한 시나리오 계산 에너지와 기준(측정) 값 비교. 결론 섹션 결론과 기여 요약.

방법

슈퍼커패시터 다공성 소재 사용과 특이 전하 축적 방식으로 정수 차 미분 모델 전통적 접근 정확하지 않음. 많은 연구자 다양한 RC 소자 조합, 상수/가변 값 제안[4,7]. 하지만 비정수 차 미분 미적분으로 슈퍼커패시터 전류-전압 관계 정의 시 확실히 더 나은 정밀도 획득[17,19]. 또한 매우 단순한 모델 구조면서 높은 정확도 제공[18].

분수 차 미분-적분 미적분

분수 차 미분 미적분 300년 이상 알려짐. 최근 수년 물리 현상/공정 모델링 인기. 비정수 차 미분/적분으로 역학 기술이 복잡 현상/산업 공정 실제 특성, 특히 신소재/신기술 기반 모델링 가장 효과적 방법 중 하나라 믿음[10,12,13,32-34].

비정수 차 미분/적분 미적분은 실수 집합 \(\mathcal {R}\) 속하는 차수 α로 고전 미적분 일반화. 함수 f(t) 범위 [a,t]서 차수 \(\alpha \in \mathcal {R}\) 미분-적분 연산자:

$$ {{}_{a}\mathcal{D}_{\textit t}^{\alpha}}f(t)= \left\{ {\begin{array}{l c l} {\frac{\mathrm{d}^{\alpha}\textit{f(t)}}{\mathrm{d} \textit{t}^{\alpha}}} & \text{for} & \alpha>0\\ f(t) & \text{for} & \alpha=0\\ \int_{a}^{t} f(\tau)\textrm {d} {\tau^{\alpha}} & \textrm {for} & \alpha<0,\\ \end{array}} \right. $$ (1)

f(t) 다중 미분/적분 가능 가정. 연산자(1) 실현 정의 다수, 속성/응용 영역 차이. 가장 대중적: 리만-리우빌, 카푸토, 그륀발트-레트니코프(GL) 정의[34]. 본 논문 GL 정의 이산 형태 사용:

$$ {}_{a}\mathcal{D}_{t}^{\alpha} f(t) = {\lim}_{h \to 0} \frac{1}{h^{\alpha}} \sum\limits_{j=0}^{\left[{\frac{t}{h}}\right]}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(t-jh), $$ (2)

이항계수 \({\alpha \choose j}\) 정의:

$$ {\alpha \choose j}= \left\{ \begin{array}{lll} 1 & \textup {for} &j=0 \\ \frac{\alpha (\alpha-1) \dots (\alpha-j+1)}{j!} & \text{for} & j>0. \end{array} \right. $$ (3)

이산 시간 순간 분수 모델 얻기 위해 GL 정의(4) 이산 형태 단순화:

$$ \Delta_{h}^{\alpha} f(t) = \frac {1}{h^{\alpha}} \sum\limits_{j=0}^{t}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(t-j). $$ (4)

GL 식(4) 이산화 방식 여러 가지: 후진 차분(오일러), 사다리꼴(투스틴), 알 알라위 연산자. 오일러 방법으로 이산 시간 k 분수 미분:

$$ \Delta_{h}^{\alpha} f(k)=\frac {1}{h^{\alpha}}\sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(k-j),\; k=0,1,\ldots. $$ (5)

이전 표본 무한 합 실 시스템 제한 메모리/계산 시간으로 유한값 제한. GL 잘림/유한길이 이산시간 근사:

$$ \Delta^{\alpha} f(k) =\frac {1}{h^{\alpha}}\sum\limits_{j=0}^{L}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(k-j),\; k=0,1,\ldots, $$ (6)

f(l)=0 for l<0, L 모델(6) 길이[23]. 표본 수 감소 계산 정확도 저하. 연속 시간 시스템 중요. 다른 해결책: 정수 차 모델로 분수 미분-적분 근사 알고리즘. 우스탈룹 재귀 필터[35] 예. 다른 효과적 유한길이 모델 FFLD, 잘림 모델(6)과 라게르 기반 차분 조합[24,36,37].

모든 식별 결과와 에너지 측정은 관측 윈도우 L 모든 표본 기반, 최대 정확도. 그림 1 적분/미분 단계 응답, 식(6) 기반 k=0,1,…,L, 다양한 적분/미분 차수 α. 상이한 α 값 가정으로 확산 과정 등 물리 공정 더 정확 모델링 가능.

분수 모델 파라미터 추정

본 논문 모든 에너지 측정, 식별 절차 결과 제어 전압원으로 충전된 슈퍼커패시터 얻음. 슈퍼커패시터 전류 i_C(t) 직렬 저항 R으로 제한, 슈퍼커패시터 C와 직렬 연결(그림 2). 모든 슈퍼커패시터 파라미터 추정 입력 전압 스텝 u(t)에 대한 4극 응답 u_C(t) 기반. 적절한 미분 차수 α 값 선택으로 충방전 중 전하 재분배 관련 확산 현상 물리 현상 설명 가능. 병렬 저항 r_P 추가로 누설 전류 모델링 가능. 분수 미분 미적분 슈퍼커패시터 모델링 사용 시 모델 구조 저복잡도. 전압원 충전 슈퍼커패시터 기본 RC 4극만 2요소 모델(그림 2a). 저용량서 직렬 저항 r_S 중요(그림 2b), 누설 전류 I_L 병렬 저항 r_P 추가 표현(그림 2c). 분수 차 미적분 슈퍼커패시터 모델링으로 단자 전압-전류 관계:

$$ i_{C}(t)=C_{\alpha}\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d} t^{\alpha}}, $$ (7)

연산자 d^α/dt^α는 차수 α 미분 연산자, C_α SI 단위 [F/sec^1-α]. 기본 슈퍼커패시터 구성 그림 2a 1차 관성 시스템 취급, 분수 전달함수 표현:

$$ G(s^{\alpha})=\frac{U_{C}(s)}{U(s)}=\frac{1}{Ts^{\alpha} +1}, $$ (8)

T=RC_α. 직렬 저항 r_S 고려(그림 2b), 위상 지연 보정 시스템, 전달함수(비교[24]):

$$ G(s^{\alpha})=\frac{1}{T_{1}s^{\alpha}+1}+\frac{T_{2}s^{\alpha}}{T_{1}s^{\alpha}+1}, $$ (9)

T₁=C_α(R+r_S), T₂=r_SC_α. 추가 병렬 저항 r_P 누설 전류 I_L 표현(그림 2c), 시스템 전달함수:

$$ G(s^{\alpha})=\frac{T_{2}s^{\alpha} +1}{T_{1}s^{\alpha} +K}, $$ (10)

K=R/r_P+1, T₁=C(Rr_s/r_P+R+r_S), T₂=r_SC. 시간 영역 식(10):

$$ \frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}=\frac{1}{T_{1}}(u(t)-Ku_{C}(t))+\frac{T_{2}}{T_{1}}\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}. $$ (11)

식(11) 정의 모델 시간 응답 그림 3 그래픽 형태 변환 얻음, 적분/미분 연산 분수 차수 α. 이 모델 슈퍼커패시터 파라미터 추정 과정 사용. 시험 슈퍼커패시터 그림 4a 시스템으로 식별. 전체 시스템 제어 절차 Matlab/Simulink xPC Toolbox 개발. 시스템: 데스크톱 PC(xPC Target) NI-DAQ 측정카드 장착, 마스터 컴퓨터(xPC Host). 이더넷 네트워크 상호연결. 슈퍼커패시터 전압 제어 전압원(그림 4b) ±3 A 전류 효율 충방전. 측정 시스템 100 Hz 샘플링, 모든 측정/아날로그 제어 신호 16비트 해상도 처리[25].

시스템 동적 특성 결정 주방법 단계 응답 분석[38]. 시스템 모델 관련 이 방법 파라미터 추정 가능. 본 연구 다양한 전압(0.5/1.0/1.5/2.0/2.7 V) 일정 지속시간(500 s) 스텝 신호 사용(그림 5, 표 2). 슈퍼커패시터 대표적 응용 에너지 축적/전달 전력 시스템서 전압 변화율 작음. 시뮬레이션 위해 400 mVpp, 0.03 rad/s, 2 V 오프셋 신호 사용(그림 6). 추가 전압/주파수 변화 영향 추정 파라미터 검토 위해 다양한 값 사용(표 3).

모델 파라미터 추정 여러 방법. 본 작업 적용 시간영역 식별 절차 주목적 분수 모델(11) 미지 파라미터 벡터 θ=[α,C_α,r_S,r_P] 추정. 최소자승법 초기 오차 최소화. 최적화 기준 표준 오차 \(\|\epsilon (k)\|_{2}^{2}\) 최소화,

$$ \epsilon(k)=u_{C}(k)-\hat{u}_{C}(k), $$ (12)

u_C(k) 시험 시스템 출력 전압 순간 k, \(\hat {u}_{C}(k)\) 모델 출력 전압 입력 u(k). 식별 문제 이제 파라미터 벡터 θ∈Θ_ad 찾아 제곱 기준 J 최소화:

$$ \min_{\theta\in\Theta_{ad}} \left\{ J= \sum_{0}^{N} {\epsilon(k)^{T}\epsilon(k)}\right\}, $$ (13)

Θ_ad 허용 파라미터 값 집합, N 시뮬레이션 시간. 문제(13) 해결 최적화 알고리즘 다수. 본 논문 결과 Matlab 환경 유전 알고리즘 구현 얻음.

에너지 계산

슈퍼커패시터 저장 에너지 변화 단위시간당 공급 전력 의존,

$$ \mathrm{d}E(t) =P(t)\mathrm{d}t. $$ (14)

커패시터 공급 전력 단자 전류-전압 곱 표현, 주어진 시간 t 에너지 변화: