벤 다이어그램을 카르노 맵으로 변환하기: 단계별 가이드

아래 그림 (a)에서 직사각형 A' 우주 안의 원 A로 시작해 벤 다이어그램을 거의 카르노 맵 형태로 변형합니다.

 

 

원 A를 (b)와 (c)에서 확장하고, (d)에서 직사각형 A' 우주에 맞춘 뒤, (e)에서 A를 직사각형으로 변경합니다. A 밖에 남은 것은 A'입니다. (f)에서 A'에 직사각형을 할당합니다. 카르노 맵에서는 음영을 사용하지 않습니다. 지금까지 1변수 카르노 맵과 유사하지만 효용은 적습니다. 다중 변수가 필요합니다.

 

 

위 그림 (a)는 이전 벤 다이어그램의 A와 A' 표시와 동일하나 레이블 A, A'가 영역 안이 아닌 다이어그램 위에 있습니다. (b) 중간 그림처럼 B와 B'에 대한 '정사각형 벤 다이어그램'을 얻기 위해 (a-f)와 유사한 과정을 거쳤다고 상상해 보세요.

이제 그림 (a)와 (b)의 다이어그램을 중첩해 (c)의 결과를 얻습니다. 벤 다이어그램에서 해왔던 것처럼 두 겹치는 영역, 예컨대 A가 B와 겹치는 부분에서 공통된 것을 관찰하기 위함입니다. 그림 (c)의 오른쪽 아래 셀은 A가 B와 겹치는 AB에 해당합니다.

 

 

(c)처럼 카르노 맵을 그리는 데 시간을 낭비하지 않고 왼쪽 위처럼 단순화된 버전을 스케치합니다. A' 아래 두 셀 열은 A'와 연관되고, 헤딩 A는 그 아래 셀 열과 연관됩니다. B' 헤딩 행은 그 오른쪽 셀들과 연관됩니다.

마찬가지로 B는 그 오른쪽 셀들과 연관됩니다. 단순화를 위해 벤 다이어그램만큼 명확하게 영역을 구분하지 않습니다.

오른쪽 위 카르노 맵은 대부분의 교과서에서 쓰이는 대체 형태입니다. 변수 이름이 대각선 옆에 나열됩니다.

대각선 위 A는 변수 A (및 A')가 열에 할당됨을 나타냅니다. 0은 A' 대체, 1은 A 대체. 대각선 아래 B는 행과 연관: 0은 B', 1은 B.

예제:

위 카르노 맵에서 불 식 AB에 해당하는 셀에 1 표시

 

 

해결:

A에 해당하는 영역을 칠하거나 원으로 표시. 그런 다음 B에 해당하는 영역을 칠거나 표시. 두 영역의 겹침이 AB. 이 셀에 1 배치. 위 왼쪽처럼 A와 B 영역을 반드시 표시할 필요는 없습니다.

 

 

3변수 K-맵

위에서 벤 다이어그램 같은 영역으로 시작해 3변수 카르노 맵을 개발합니다. 우주(검은 직사각형 안)는 A'와 A를 위한 두 개의 좁은 직사각형 영역으로 분할. 변수 B'와 B가 우주를 두 정사각형 영역으로 분할. C는 직사각형 중앙의 정사각형 영역을 차지하고 C'는 C 정사각형 양옆의 두 수직 직사각형으로 분할.

최종 그림에서 세 변수를 모두 중첩해 다양한 영역을 명확히 레이블링 시도. 색인쇄 없이는 영역이 덜 명확하지만 다른 세 그림과 비교하면 더 분명합니다.

이 3변수 K-맵(카르노 맵)은 2³ = 8 셀을 가지며, 맵 안의 작은 정사각형들입니다. 각 셀은 세 불 변수(A, B, C)로 고유하게 식별됩니다. 예: ABC'는 오른쪽 아래 셀(*)을, A'B'C'는 왼쪽 위 셀(x)을 고유 선택.

 

 

보통 위 왼쪽처럼 카르노 맵에 레이블하지 않습니다. 이 그림은 단일 불 변수의 4셀 영역 맵 커버리지를 명확히 보여줍니다.

카르노 맵은 오른쪽 그림처럼 레이블합니다. 각 셀은 여전히 3변수 곱 항, 불 AND 식으로 고유 식별. 예: ABC'는 A 행을 따라 오른쪽, BC' 열을 따라 아래로 가며 오른쪽 아래 셀 ABC'에서 교차. 위 그림 (*) 참조.

 

 

위 두 가지 3변수 카르노 맵 형태는 동등하며 최종 형태입니다. 오른쪽 버전이 불 알파벳 헤더와 보수 바를 많이 쓰지 않고 1과 0만 써서 조금 더 편리합니다. 오른쪽 형태를 사용하고 왼쪽 형태는 일부 교과서에서 찾아보세요. 왼쪽 열 헤더 B'C', B'C, BC, BC'는 오른쪽의 00, 01, 11, 10과 동등. 행 헤더 A, A'는 오른쪽 맵의 0, 1과 동등.