복소 임피던스를 이용한 직렬-병렬 RC/RL 회로 분석

직렬 및 병렬 교류 회로 분석이 직류 회로 분석과 근본적으로 다르지 않음을 보았으므로, 직렬-병렬 분석도 마찬가지일 것임은 놀랍지 않습니다. 복소수를 사용해 전압, 전류, 임피던스를 표현할 뿐입니다. 다음 직렬-병렬 회로를 예로 들어보겠습니다:

첫 번째 순서는 언제나 그렇듯, 교류 전원의 주파수에 기반해 모든 소자의 임피던스(Z) 값을 결정하는 것입니다. 이를 위해 먼저 모든 인덕터와 커패시터의 리액턴스(X) 값을 구한 다음, 리액턴스(X)와 저항(R) 수치를 적절한 임피던스(Z) 형태로 변환합니다:

이제 초기값을 표에 설정할 수 있습니다:

직렬-병렬 조합 회로이므로, 총 임피던스로 환원하는 데 한 단계 이상이 필요합니다. 첫 단계는 L과 C₂를 직렬 임피던스 조합으로 결합하는 것입니다(임피던스 더하기).

그러면 그 임피던스가 저항의 임피던스와 병렬로 결합되어 또 다른 임피던스 조합이 됩니다. 마지막으로 그 양이 C₁의 임피던스에 더해져 총 임피던스가 됩니다.

표가 이 모든 단계를 따라가려면, 각 단계를 표현할 추가 열이 필요합니다.

위 표에 가로로 열을 추가하는 것은 서식상 비현실적이므로, 각 열이 해당 소자 조합으로 지정된 새로운 행을 아래에 배치하겠습니다:

이 새로운(조합) 임피던스 계산에는 직렬 조합에 복소수 덧셈, 병렬 조합에 복소 임피던스의 '역수' 공식이 필요합니다. 이번엔 역수 공식을 피할 수 없습니다: 필수 수치에 도달하는 다른 방법이 없습니다!

두 번째 표에 'Total' 열이 있으므로, 첫 번째 표의 해당 열은 버릴 수 있습니다. 이렇게 네 열짜리 표 하나와 세 열짜리 표 하나가 생깁니다.

이제 총 임피던스(818.34Ω ∠ -58.371°)와 총 전압(120V ∠ 0°)을 알았으므로, 'Total' 열에서 옴의 법칙(I=E/Z)을 수직으로 적용해 총 전류를 구합니다:

이 시점에서 질문합니다: 총 전압 또는 총 전류를 공유하는 소자나 소자 조합이 있는가? 이 경우 C₁과 병렬 조합 R//(L-C₂) 모두 총 전류를 공유합니다. 총 임피던스가 두 임피던스 세트의 직렬로 구성되기 때문입니다.

따라서 총 전류 수치를 두 열 모두에 전달합니다:

이제 옴의 법칙(E=IZ)을 해당 표 열에서 수직으로 적용해 C₁과 R//(L-C₂) 직렬-병렬 조합 양단 전압 강하를 계산합니다:

이 시점에서 빠른 교차 검증: C₁과 R//(L-C₂) 조합의 전압 강하가 총 전압과 합쳐지는가? 키르히호프의 전압 법칙에 따르면 그래야 합니다!

이 단계는 예방 조치였습니다. 이 문제처럼 단계가 많은 경우 실수할 기회가 많습니다. 이런 가끔의 교차 검증이 최종 단계 전에 문제를 식별해 많은 작업과 좌절을 줄여줍니다.

C₁과 R//(L-C₂) 조합 양단 전압 강하를 구했으니, 다시 질문합니다: 같은 전압이나 전류를 공유하는 다른 소자가 있는가?

이 경우 저항(R)과 인덕터-두 번째 커패시터 조합(L-C₂)이 같은 전압을 공유합니다. 이 임피던스 세트들이 서로 병렬이기 때문입니다. 따라서 방금 구한 전압 수치를 R과 L-C₂ 열에 전달합니다:

이제 저항과 직렬 조합 L-C₂를 흐르는 전류를 계산할 준비가 되었습니다. 옴의 법칙(I=E/Z)을 두 열에서 수직으로 적용하기만 하면 됩니다:

또 다른 빠른 검증: L-C₂와 R의 전류 수치들이 총 전류와 합쳐지는가? 키르히호프의 전류 법칙에 따르면 그래야 합니다:

L과 C₂가 직렬 연결되어 있고, 그들의 직렬 조합 임피던스를 흐르는 전류를 알므로, 직렬 회로 규칙(직렬 소자는 같은 전류 공유)에 따라 그 전류 수치를 L과 C₂ 열에 분배합니다:

마지막 단계(실제로는 두 계산)로 분석 표를 완성합니다. L과 C₂에 임피던스와 전류 수치가 있으므로, 옴의 법칙(E=IZ)을 두 열에서 수직으로 적용해 전압 강하를 계산합니다:

이제 SPICE로 컴퓨터 검증을 해봅시다:

ac series-parallel r-l-c circuit
v1 1 0 ac 120 sin
vit 1 2 ac 0
vilc 3 4 ac 0
vir 3 6 ac 0
c1 2 3 4.7u
l 4 5 650m
c2 5 0 1.5u
r 6 0 470
.ac lin 1 60 60
.print ac v(2,3) vp(2,3) i(vit) ip(vit)
.print ac v(4,5) vp(4,5) i(vilc) ip(vilc)
.print ac v(5,0) vp(5,0) i(vilc) ip(vilc)
.print ac v(6,0) vp(6,0) i(vir) ip(vir)
.end

freq v(2,3) vp(2,3) i(vit) ip(vit) C1
6.000E+01 8.276E+01 -3.163E+01 1.466E-01 5.837E+01
freq v(4,5) vp(4,5) i(vilc) ip(vilc) L
6.000E+01 1.059E+01 -1.388E+02 4.323E-02 1.312E+02
freq v(5) vp(5) i(vilc) ip(vilc) C2
6.000E+01 7.645E+01 4.122E+01 4.323E-02 1.312E+02
freq v(6) vp(6) i(vir) ip(vir) R
6.000E+01 6.586E+01 4.122E+01 1.401E-01 4.122E+01

SPICE 출력 각 줄은 C₁, L, C₂, R 순으로 전압, 전압 위상각, 전류, 전류 위상각을 제공합니다. 보시다시피 이 수치들은 손으로 계산한 회로 분석 표의 수치들과 일치합니다.

직렬-병렬 교류 회로 분석이 어려운 작업으로 보일 수 있지만, 복소수 사용 외에는 새로운 것이 아무것도 없음을 강조해야 합니다. 옴의 법칙(새 형태 E=IZ)도 여전히 성립하며, 키르히호프의 전압 및 전류 법칙도 마찬가지입니다.

필요한 복소수 계산에서 인적 오류 가능성이 더 높지만, 직렬-병렬 회로 축약의 기본 원리와 기법은 정확히 동일합니다.

복습

• 직렬-병렬 교류 회로 분석은 직렬-병렬 직류 회로와 매우 유사합니다. 유일한 실질적 차이는 모든 수치와 계산이 스칼라가 아닌 복소(complex) 형태라는 점입니다.
• 직렬-병렬 축약(단순화)을 시작하기 전에, 모든 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스(Z)를 결정해야 함을 기억하는 것이 중요합니다. 그렇게 하면 모든 소자 값이 공통 용어(Z)로 표현되어, 저항(R), 인덕턴스(L), 정전용량(C)의 호환되지 않는 혼합 대신 공통 언어로 분석할 수 있습니다.

관련 워크시트

• 직렬-병렬 조합 교류 회로 워크시트