그래핀 기반 위상 플라즈몬 결정에서 의사 스핀 의존 단방향 전송

초록

응축 물질 상태에 대한 조사에서 시작된 양자 홀 효과 및 양자 스핀 홀 효과(QSHE)의 개념은 최근 다른 물리학 및 공학 분야(예:광자 및 음음)로 확장되어 산란. 여기에서 우리는 중적외선 주파수에서 그래핀 플라즈몬 결정(GPC)에서 QSHE의 플라즈몬 유사체를 제시합니다. 밴드 반전은 허니컴 격자 GPC를 변형할 때 발생하며, 이는 토폴로지 밴드 갭과 가장자리 상태의 유사 스핀 기능으로 이어집니다. 서로 다른 토폴로지로 밴드 갭을 중첩하여 에지 상태의 의사 스핀 종속 단방향 전파를 수치적으로 시뮬레이션했습니다. 설계된 GPC는 토폴로지 플라즈몬 분야에서 잠재적인 응용을 찾고 고밀도 나노광자 집적 회로에서 유사스핀 다중화 기술의 탐색을 촉발할 수 있습니다.

<섹션 데이터-제목="배경">

배경

광자 위상 절연체 [1,2,3,4], 내부의 광 투과를 금지하지만 가장자리를 따라 전파를 허용하는 중요하지 않은 위상 위상의 광학 재료는 집광에서 양자 홀 효과(QHE)의 발견 이후 집중적으로 연구되었습니다. 문제. 위상 물리학의 주요 징후는 구조적 결함이나 국부적 장애에 대해 강력한 에지 상태의 존재입니다. 특히, 벌크 에지 대응[5, 6]을 활용하여 에지 상태 또는 에지 토폴로지 불변량을 조사하여 다른 토폴로지 위상을 조사할 수 있습니다. 최근 몇 년 동안 위상 에지 상태는 자이로마그네틱 광결정[7,8,9], 이중 이방성 기반 광 위상 절연체[10, 11], 결합 도파관 네트워크와 같은 많은 광 위상 위상 밴드 갭 시스템에서 예측 및 관찰되었습니다. [12, 13] 및 Floquet 광자 격자 [14, 15]에서 토폴로지 보호를 제공하기 위해 다양한 물리적 메커니즘이 제안됩니다. 특히, 이중 Dirac 원뿔은 유사 시간 역전 대칭을 보존하는 잘 알려진 벌집 격자 광자 결정에서 위상적으로 중요하지 않은 밴드 갭을 얻기 위해 열리며, 이는 가장자리 상태의 유사 스핀 종속 단방향 전송을 발생시킵니다[16, 17]. 광자 시스템 외에도 포노닉 시스템에서 유사스핀 종속 에지 상태가 조사되었습니다[18,19,20]. 그러나 플라즈몬 나노구조의 유추는 아직 보고되지 않았으며, 이는 Au 및 Ag와 같은 전통적인 플라즈몬 물질을 따라 전파되는 플라즈몬의 엄청난 저항 손실 때문입니다.

금속과 유전체 사이의 계면에서 광자 및 자유 전자 진동에 의해 결합된 기본 여기인 표면 플라즈몬 폴라리톤(SPP) [21]은 회절 제한을 우회하고 장치의 소형화를 촉진하는 유망한 물리적 메커니즘으로 간주됩니다. . Iurov et al. 플라즈몬 모드의 역작용과 혼성화를 탐구하고 그래핀에서 Dirac 전자에 의해 유도된 광학 분극을 발견했습니다[22]. Memmi et al. SPP와 분자 진동 사이의 강한 결합을 보고했습니다[23]. 금과 은과 같은 일반적으로 사용되는 귀금속은 대부분 스펙트럼의 가시광선 및 근적외선 영역에서 플라즈몬 특성을 나타내지만, 그래핀은 최근 플라즈몬 분야를 적외선 및 테라헤르츠(THz)로 확장할 수 있는 유망한 대안으로 부상했습니다. 파장. 더 중요한 것은 귀금속과 달리 그래핀 플라즈몬은 정전기 바이어스[24, 25]를 통해 동적으로 조정될 수 있으며, 이는 재구성 가능한 플라즈몬 장치의 차세대를 가능하게 합니다. 또한 고품질 그래핀에서 여기된 SPP는 현저하게 긴 고유 이완 시간에 도달할 수 있고 전례 없는 수준의 필드 구속을 제공할 수 있습니다[26]. 이러한 특별한 특성으로 인해 그래핀은 완전히 통합된 토폴로지 플라즈몬 구성 요소에 대한 이상적인 후보입니다. 아주 최근에 Jin et al. 시간 역전 자기장 하에서 그래핀 플라즈몬의 밴드 토폴로지가 자세히 연구된 주기적으로 패턴화된 단층 그래핀에서 위상적으로 보호된 단방향 에지 플라즈몬을 실현했습니다[27]. 및 Panet al. 는 중간 정도의 정적 자기장 하에서 초격자 접합부에서 상당한 비가역적 거동을 보여주어 토폴로지로 보호된 에지 상태와 국부적인 벌크 모드의 출현으로 이어졌습니다[28].

이 연구에서 우리는 주기적으로 배열된 그래핀 나노디스크에 의해 구성된 2차원(2D) 그래핀 플라즈몬 결정(GPC)의 위상 특성을 이론적으로 탐구합니다. Brillouin 존(BZ) 모서리의 디락 콘은 존 폴딩 메커니즘을 활용하여 BZ 중앙의 이중 디락 콘으로 접힙니다. 토폴로지 밴드 갭을 얻기 위해 벌집 격자에서 추가 변형을 수행합니다. 그래핀 나노디스크를 축소하거나 확장함으로써 이중 Dirac 콘이 열리고 의사스핀 쌍극자와 사중극자 모드 사이에서 대역 반전이 발생하여 중요하지 않은 상태와 사소한 상태 사이의 위상 상전이가 추가로 발생합니다. 또한 에지 상태의 단방향 전파는 사소한 GPC로 구성된 인터페이스를 따라 수치적으로 시뮬레이션되며, 이는 우리가 설계된 플라즈몬 결정의 유사스핀 특성과 토폴로지 견고성을 추가로 보여줍니다.

방법

우리는 그림 1a에서와 같이 화학적 전위가 다른 동일한 그래핀 시트로 둘러싸인 주기적으로 배열된 그래핀 나노디스크 어레이의 2D 플라즈몬 결정에서 SPP의 밴드 토폴로지를 조사합니다. 격자 상수 a =40nm, μ _c1 , 및 r 는 그래핀 나노디스크의 화학적 포텐셜과 반경입니다. μ _c2 주변 그래핀의 화학적 포텐셜을 나타낸다. 경계 조건이 있는 Maxwells 방정식을 풀면 공기와 실리카로 둘러싸인 그래핀 층에 지지되는 횡방향 자기(TM)-편광 SPP 모드에 대한 분산 관계를 얻을 수 있습니다[29].

$$ \frac{\varepsilon_{\mathrm{공기}}}{\sqrt{\beta^2-{k}_0^2{\varepsilon}_{공기}}}+\frac{\varepsilon_{Si{O }_2}}{\sqrt{\beta^2-{k}_0^2{\varepsilon}_{{\mathrm{SiO}}_2}}}=\frac{\sigma_g}{i{\omega \varepsilon }_0}. $$ (1) <그림>

아 2D GPC의 개략도. ㄴ 브릴루앙 존. ㄷ 녹색 점선으로 표시된 마름모꼴 기본 단위 셀을 기반으로 하는 격자의 밴드 구조, 삽입은 Dirac 점의 고유 전기장 분포를 표시합니다. d 육각형 단위 셀을 기반으로 하는 격자의 밴드 구조, 삽입은 이중 Dirac 점의 고유 전기장 분포를 나타냅니다. 다른 매개변수는 μ로 설정됩니다. _c1 =0.3eV, μ _c2 =0.6 eV, τ =1ps, 격자 상수 a =40nm

여기, ε ₀ 는 자유 공간의 진공 유전율, k ₀ =2π/λ 는 자유 공간의 파동수, λ 는 진공에서 작동 파장입니다. 중적외선 영역에서 슈퍼와 기질에 해당하는 공기와 실리카의 유전상수는 ε라고 가정한다. _항공 =1 및 ε _SiO2 =각각 3.9[30]. β 비지연 체제에서 » 카 ₀ , 식. (3)은 [31]로 단순화될 수 있습니다.

$$ \베타 ={\varepsilon}_0\frac{\varepsilon_{\mathrm{Air}}+{\varepsilon}_{{\mathrm{SiO}}_2}}{2}\frac{2 i\omega} {\sigma_{\mathrm{g}}}, $$ (2)

여기서 β 는 그래핀 층의 전파 상수 SPP이고 유효 굴절률 n _에프 SPP 모드는 n에서 파생될 수 있습니다. _에프 =β /카 ₀ . σ _g 는 대역 내 및 대역 간 기여로 구성된 그래핀의 표면 전도도, 즉 σ _g =σ _인트라 + σ _인터 [29, 30]. 대역내 전도도 σ _인트라 대역내 전자-광자 산란 과정에 해당하는 것은

$$ {\sigma}_{\mathrm{intra}}=\frac{ie^2{k}_BT}{\pi {\mathrm{\hslash}}^2\left(\omega +i/\tau \ 오른쪽)}\left[\frac{\mu_{\mathrm{c}}}{k_BT}+2\ln \left(1+\exp \left(-\frac{\mu_{\mathrm{c}}}) {k_BT}\right)\right)\right], $$ (3)

여기서 μ _ㄷ 는 전자 밀도와 관련된 화학 포텐셜입니다. e 전자 전하, ω 는 플라스몬의 각주파수, ℏ 그리고 k _나 감소된 플랑크 상수와 볼츠만 상수는 각각 T입니다. 는 온도이고 τ 전하 캐리어 산란으로 인한 전자 운동량 완화 시간을 나타냅니다. ℏω » 카 _나 티 그리고 |μ _ㄷ | » 카 _나 티 , 대역간 전도도 σ _인터 대역간 전자 전이에 해당하는 것은 대략적으로 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

$$ {\sigma}_{\mathrm{inter}}=\frac{ie^2}{4\pi \mathrm{\hslash}}\ln \left[\frac{2\mid {\mu}_{ \mathrm{c}}\mid -\mathrm{\hslash}\left(\omega +i/\tau \right)}{2\mid {\mu}_{\mathrm{c}}\mid +\mathrm {\hslash}\left(\omega +i/\tau \right)}\right]. $$ (4)

결과 및 토론

제안된 플라즈몬 결정의 에너지 밴드 구조는 FEM(Finite Element Method) 기반 상용 소프트웨어 COMSOL Multiphysics를 사용하여 얻어집니다. 그림 1a에서 두 개의 그래핀 나노디스크의 마름모꼴 단위 셀(벡터 a로 정의된 녹색 점선 마름모 _s1 그리고 a _s2 ) 및 6개의 그래핀 나노디스크의 육각 단위 셀(격자 벡터 a 포함) ₁ 그리고 a ₂ ) 벌집 격자 플라즈몬 결정을 형성할 수 있습니다. 그림 1b는 M_II의 기약 영역이 있는 마름모꼴 및 육각형 단위 셀에 대한 BZ를 나타냅니다. -Γ _II - K_II - M_II 그리고 M_나 -Γ _나 - K_나 - M_나 각기. 육각형 단위 셀은 마름모꼴 기본 셀보다 3배 더 큽니다. 따라서 마름모꼴 기본 단위 셀의 첫 번째 BZ는 육각형 단위 셀보다 3배 더 큽니다(그림 1b의 파란색 영역). 마름모꼴 원시 단위 셀을 취할 때 이 플라즈몬 결정은 K_II에서 Dirac 원뿔 분산을 나타냅니다. 및 K_II ` 그림 1c와 같이 BZ 모서리의 점. 그림 1c의 삽입은 Dirac 지점에서 두 퇴화 상태의 고유 전기장 분포를 보여줍니다. 고전적인 광자 및 음향 시스템의 유사 스핀[17, 19, 20]과 유사하게 플라즈몬 시스템의 유사 스핀을 모방하려면 자유도를 2중 상태로 증가시켜야 합니다. 따라서 플라즈몬 밴드 구조에서 4중 축퇴된 이중 Dirac 콘이 필요합니다. 존 폴딩 메커니즘[18]을 사용하여 K_II의 Dirac 콘은 및 K_II ` 포인트는 Γ에서 이중 Dirac 원뿔로 접힙니다. 더 큰 육각형 단위 셀을 취할 때 BZ 중심의 점입니다(그림 1d에 표시됨). 그림 1d의 삽입은 쌍극자 및 사중극자 모드가 있는 4중 축퇴 고유 상태를 보여줍니다. 우리가 사용하는 상대 매개변수는 μ입니다. _c1 =0.3eV, μ _c2 =0.6 eV 및 τ =1ps, 실제 그래핀에 대한 이전 연구에서 적당히 선택[32, 33].

2개의 쌍극 모드와 2개의 4극 모드로 구성된 4중 축퇴된 이중 Dirac 원뿔은 C_6v의 2D 환원 불가 표현과 연관됩니다. 점 그룹, 즉 E₁ 홀수 공간 패리티 및 E₂ 모드 짝수 공간 패리티 모드. 양자 역학[34]에서 널리 채택된 기존 표기법에 따라 이러한 모드를 p로 분류할 수 있습니다. _x /p _와 그리고 d _x2-y2 /d _xy 고유 E에 따른 모드 _z 필드 분포는 그림 2와 같습니다. 다음으로 Γ에서 중요한 토폴로지 밴드 갭을 열기 위해 포인트, 우리는 추가 수정을 수행합니다(즉, a의 벌집 격자 변형 /R =3) 육각형 단위 셀에 대칭을 깨뜨립니다. 그래핀 나노디스크를 a로 축소할 때 /R =3.2, 4중 축퇴 이중 Dirac 원뿔은 두 개의 이중 축퇴 상태로 분할되고 벌크 밴드 갭은 그림 2a와 같이 62.1에서 63.5THz로 열립니다. E _z 낮은 대역의 필드에는 p를 나타내는 쌍극자 모드가 있습니다. _± 상위 밴드에는 d를 나타내는 한 쌍의 사중극자 모드가 있습니다. _± Γ 주변의 문자 이것은 쌍극자 모드가 더 높은 차수의 사중극자 모드보다 더 낮은 주파수를 나타내야 한다는 고전적인 광자 이론과 일치합니다. 그러나 그래핀 나노디스크를 a로 확장할 때 밴드 역전이 발생합니다. /R =2.9, 즉, 쌍극자 모드는 사중극자 모드 위로 올라가며, 이는 그림 2c에 표시된 것처럼 62.4THz에서 63.3THz로 토폴로지 밴드 갭을 발생시킵니다. 그림 2d, e는 p 사이의 토폴로지 전환 과정을 보여줍니다. _± 그리고 d _± 상태 및 p와 관련된 평면 내 자기장 _± 그리고 d _± 흰색 화살표로 표시됩니다. E 파동함수의 각운동량 _z 필드 p _± =(p _x ± ip _와 )/$ \sqrt{2} $ 및 d _± =(d _x2-y2 ± id _xy )/$ \sqrt{2} $는 현재 플라즈몬 결정에서 유사스핀을 더 구성한다[17, 18].

<사진>

a가 있는 GPC의 밴드 구조 아 /R =3.2, b 아 /R =3 및 c 아 /R =2.9. d , e E _z p의 쌍극자 모드 및 사중극자 모드의 필드 분포 _± 그리고 d _± a의 상태 및 c 각기. 흰색 화살표는 E와 관련된 평면 내 자기장을 나타냅니다. _z 필드

그림 2a, c에 표시된 밴드 갭의 위상 특성을 추가로 탐색하려면 일반적으로 효과적인 Hamiltonian 설명 및 위상 수와 관련이 있습니다. $ \overset{\rightharpoonup }{k}\cdot \overset{\rightharpoonup }{p} $ 섭동 이론을 적용하면 효과적인 해밀턴 H _에프 (카 ) Γ 주위 기준 [p ₊ , d ₊ , 피 ₋ , d ₋ ]는 [17, 35]로 표현할 수 있습니다.

$$ {H}^{\mathrm{eff}}(k)=\left[\begin{array}{cccc}M+{Bk}^2&{Ak}_{+}&0&0\\ {}{A }^{\ast }{k}_{-}&-M-{Bk}^2&0&0\\ {}0&0&M+{Bk}^2&{Ak}_{-}\\ {}0&0&{ A}^{\ast }{k}_{+}&-M-{Bk}^2\end{array}\right], $$ (5)

여기서 k _± =k _x ± ik _와 , 및 A 1차 섭동 항의 비대각선 요소에서 옵니다. $ {M}_{\alpha \beta}=\left\langle {\Gamma}_{\alpha}\left|\overset{\rightharpoonup }{k }\cdot \overset{\rightharpoonup }{p}\right|{\Gamma}_{\beta}\right\rangle $ with α =1, 2 및 β =3, 4. 유효 해밀턴 H _에프 (카 )는 CdTe/HgTe/CdTe 양자 우물 시스템에 대한 BHZ(Bernevig-Hughes-Zhang) 모델과 유사한 형태를 취하며, 밴드 반전이 발생할 때 토폴로지 밴드 갭을 의미합니다. Eq.로 표현된 Hamiltonian을 기반으로 합니다. (5) 위상 플라즈몬 결정의 스핀 첸 수를 [36]과 같이 평가할 수 있습니다.

$$ {C}_{\pm }=\pm \frac{1}{2}\left[\operatorname{sgn}(M)+\operatorname{sgn}\left(-B\right)\right]. $$ (6)

자, M =(E _p – 이 _d )/2는 E 사이의 주파수 차이입니다. ₂ 및 E ₁ Γ에서의 표현 가리키다. 나 는 2차 섭동 항의 대각선 요소에 의해 결정되며 일반적으로 음수입니다[19]. 따라서 C _± =0은 Fig. 2a와 같이 normal band order를 가질 때 얻어진다. 그리고 우리는 열린 밴드 갭이 사소하다는 결론을 내립니다. 그러나 M 대역 반전이 발생하면 양수가 됩니다. 따라서 C _± =±1은 간단히 얻어지며, 그림 2c의 간격은 사소하지 않습니다.

서로 다른 토폴로지(즉, 토폴로지 중요 및 토폴로지 중요하지 않음)로 밴드 갭을 중첩함으로써 두 플라즈몬 결정 사이의 경계면 주위에 공간적으로 제한된 에지 상태를 생성할 수 있습니다. 여기에서 우리는 동일한 주파수 창에서 두 개의 위상학적으로 사소한 플라즈몬 결정(그림 2a에 표시된 밴드 구조 포함)으로 덮인 두 개의 가장자리가 있는 토폴로지로 중요하지 않은 플라즈몬 결정(그림 2c에 표시된 밴드 구조 포함)의 리본을 고려합니다. 두 개의 사소한 영역은 가능한 가장자리 상태가 여유 공간으로 누출되는 것을 방지합니다. 그림 3a에서 Γ를 따라 계산된 투영 밴드 구조를 제시합니다. 이러한 리본에 대한 K 방향은 벌크 밴드 갭이 이중 퇴화된 빨간색 곡선으로 표시된 추가 토폴로지 가장자리 상태에 의해 확장됩니다. 그림 3b는 점 A( k _x =− 0.05π/a ) 및 B(kx 포함) =0.05π/a ) 그림 3a에 표시되어 있습니다. 유사 스핀업 및 스핀다운 특성은 그림 3b의 오른쪽 패널과 같이 반시계 방향과 시계 방향의 위상 소용돌이에 의해 입증됩니다.

<그림>

아 양쪽에 12개의 사소한 단위 셀로 덮인 16개의 중요하지 않은 단위 셀로 구성된 슈퍼셀의 예상 밴드 구조. ㄴ 점 A와 B, 즉 k에서 사소한 플라즈몬 결정과 중요하지 않은 플라즈몬 결정 사이의 경계면 주변의 전기장 분포 _x =− 0.05π/a 및 0.05π/a

에지 상태의 유사 스핀 종속 단방향 전송도 유한 20a × 18a 사소하고 사소하지 않은 결정으로 구성된 격자. 그림 4a, b와 같이 Pseudo spin-up(spin-down) 소스 S에 의해 여기될 때 SPP파가 왼쪽(오른쪽) 방향으로 단방향 전파 ₊ (S ₋ ) 면내 자기장의 반시계 방향(시계 방향) 원형 편광. 토폴로지 에지 상태의 가장 두드러진 특징 중 하나는 섭동/불완전성에 강하다는 것입니다. 이 견고성을 검증하기 위해 우리는 그림 4c에 표시된 것처럼 SPP 파동의 단방향 전송이 의사 스핀다운 소스 S에 의해 여기되는 날카로운 굽힘을 구성합니다. ₋ . SPP 파동은 그래핀 재료의 고유 손실로 인해 급격한 굴곡을 따라 긴 이동 거리 후에 결국 사라졌습니다. 이 토폴로지 전송을 추가로 확인하기 위해 비교를 위해 그래핀의 고유 손실을 무시하여 전계 강도 분포도 표시합니다. 그림 4d에서 볼 수 있듯이 SPP파는 설계된 경로를 따르며 후방 산란이 거의 없이 단방향 전파를 유지합니다.

<그림>

아 왼쪽 및 b π/2 위상 차이를 갖는 평면 내 자기장에 의해 여기된 오른쪽 단방향 에지 상태:$ {S}_{\pm }={H}_0\left(\overset{\rightharpoonup }{x}\mp i\overset{\rightharpoonup }{y}\right) $. ㄷ 급격한 굴곡을 따라 이동하는 토폴로지 가장자리 상태. d 그래핀 재료의 고유 손실을 고려하지 않은 위상 단방향 전송의 전계 강도 분포

결론

요약하면, 우리는 주기적으로 패턴화된 그래핀 나노디스크에 의해 구성된 GPC의 밴드 토폴로지를 체계적으로 조사했습니다. 존 폴딩 메커니즘을 사용하여 BZ 모서리의 Dirac 콘이 BZ 중앙의 이중 Dirac 콘으로 접힙니다. 또한, 허니컴 격자 GPC를 변형하여 토폴로지 밴드 갭을 실현합니다. $ \overset{\rightharpoonup }{k}\cdot \overset{\rightharpoonup }{p} $ 섭동 이론에서 파생된 유효 해밀턴식을 기반으로 스핀 첸 수를 평가합니다. 반시계 방향과 시계 방향의 위상 소용돌이로 입증된 의사 스핀 특성은 두 개의 위상적 사소하고 사소하지 않은 플라즈몬 결정으로 구성된 경계면을 따라 에지 상태의 단방향 전송을 실현하는 데 성공적으로 사용되었습니다. 설계된 GPC는 위상 현상을 연구하는 새로운 경로를 제공하고 위상 플라즈몬 분야에서 잠재적인 응용을 찾을 수 있습니다. 또한 고밀도 나노광자 집적 회로에서 유사스핀 플라즈모닉스와 유사스핀 다중화 기술의 탐구를 촉발할 수도 있습니다.

약어

BHZ:: 베르네비그-휴즈-장
BZ:: 브릴루앙 존
FEM:: 유한요소법
GPC:: 그래핀 플라즈몬 결정
QHE:: 양자 홀 효과
QSHE:: 양자 스핀 홀 효과
SPP:: 표면 플라즈몬 극성

S-도핑된 Sb2O3 나노결정:유기 분해를 위한 효율적인 가시광선 촉매 천연 및 합성 나노물질의 전기화학적, 생의학적, 열적 특성의 비교 연구

나노물질